高中文科數(shù)學高頻考點與核心歸納：導數(shù)在函數(shù)中的應用

導數(shù)在函數(shù)中的應用-2-一、導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值-4-命題熱點一命題熱點二命題熱點三利用導數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性【思考】

函數(shù)的導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性具有怎樣的關(guān)系?例1設函數(shù)f(x)=ax2-a-lnx,,其中a∈R,e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù).(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)證明:當x>1時,g(x)>0;(3)確定a的所有可能取值,使得f(x)>g(x)在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)恒成立.-5-命題熱點一命題熱點二命題熱點三-6-命題熱點一命題熱點二命題熱點三-7-命題熱點一命題熱點二命題熱點三題后反思利用函數(shù)的導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的一般步驟:(1)確定函數(shù)的定義域.(2)求導數(shù)f'(x).(3)①若求單調(diào)區(qū)間(或證明單調(diào)性),只需在函數(shù)y=f(x)的定義域內(nèi)解(或證明)不等式f'(x)>0或f'(x)<0;②若已知y=f(x)的單調(diào)性,則轉(zhuǎn)化為不等式f'(x)≥0或f'(x)≤0在單調(diào)區(qū)間上恒成立問題求解.-8-命題熱點一命題熱點二命題熱點三對點訓練1函數(shù)y=x2-lnx的單調(diào)遞減區(qū)間為(

)A.(-1,1] B.(0,1]C.[1,+∞) D.(0,+∞)由y'≤0,解得-1≤x≤1,且x≠0.又x>0,∴0<x≤1.故選B.-9-命題熱點一命題熱點二命題熱點三利用導數(shù)求函數(shù)的極值或最值【思考】

函數(shù)的極值與導數(shù)有怎樣的關(guān)系?如何求函數(shù)的最值?例2已知函數(shù)

,a∈R.(1)當a=2時,求曲線y=f(x)在點(3,f(3))處的切線方程;(2)設函數(shù)g(x)=f(x)+(x-a)cosx-sinx,討論g(x)的單調(diào)性并判斷有無極值,有極值時求出極值.-10-命題熱點一命題熱點二命題熱點三解

(1)由題意f'(x)=x2-ax,所以當a=2時,f(3)=0,f'(x)=x2-2x,所以f'(3)=3,因此曲線y=f(x)在點(3,f(3))處的切線方程是y=3(x-3),即3x-y-9=0.(2)因為g(x)=f(x)+(x-a)cos

x-sin

x,所以g'(x)=f'(x)+cos

x-(x-a)sin

x-cos

x=x(x-a)-(x-a)sin

x=(x-a)(x-sin

x).令h(x)=x-sin

x,則h'(x)=1-cos

x≥0,所以h(x)在R上單調(diào)遞增.因為h(0)=0,所以當x>0時,h(x)>0;當x<0時,h(x)<0.-11-命題熱點一命題熱點二命題熱點三①當a<0時,g'(x)=(x-a)(x-sin

x),當x∈(-∞,a)時,x-a<0,g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;當x∈(a,0)時,x-a>0,g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;當x∈(0,+∞)時,x-a>0,g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增.所以當x=a時g(x)取到極大值,極大值是g(a)=-a3-sin

a,當x=0時g(x)取到極小值,極小值是g(0)=-a.②當a=0時,g'(x)=x(x-sin

x),當x∈(-∞,+∞)時,g'(x)≥0,g(x)單調(diào)遞增;所以g(x)在區(qū)間(-∞,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,g(x)無極大值也無極小值.-12-命題熱點一命題熱點二命題熱點三③當a>0時,g'(x)=(x-a)(x-sin

x),當x∈(-∞,0)時,x-a<0,g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;當x∈(0,a)時,x-a<0,g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;當x∈(a,+∞)時,x-a>0,g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增.所以當x=0時g(x)取到極大值,極大值是g(0)=-a;當x=a時g(x)取到極小值,極小值是g(a)=-a3-sin

a.綜上所述:當a<0時,函數(shù)g(x)在區(qū)間(-∞,a)和(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間(a,0)內(nèi)單調(diào)遞減,函數(shù)既有極大值,又有極小值,極大值是g(a)=-a3-sin

a,極小值是g(0)=-a;當a=0時,函數(shù)g(x)在區(qū)間(-∞,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,無極值;當a>0時,函數(shù)g(x)在區(qū)間(-∞,0)和(a,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間(0,a)內(nèi)單調(diào)遞減,函數(shù)既有極大值,又有極小值,極大值是g(0)=-a,極小值是g(a)=-a3-sin

a.-13-命題熱點一命題熱點二命題熱點三題后反思1.對于函數(shù)y=f(x),若在點x=a處有f'(a)=0,且在點x=a附近的左側(cè)f'(x)<0,右側(cè)f'(x)>0,則當x=a時f(x)有極小值f(a);若在點x=b處有f'(b)=0,且在點x=b附近的左側(cè)f'(x)>0,右側(cè)f'(x)<0,則當x=b時f(x)有極大值f(b).2.求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)y=f(x)的各極值與端點處的函數(shù)值f(a),f(b)比較,其中最大的一個是最大值,最小的一個是最小值.-14-命題熱點一命題熱點二命題熱點三對點訓練2已知函數(shù)f(x)=excosx-x.(1)求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程;(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間

上的最大值和最小值.解

(1)因為f(x)=excos

x-x,所以f'(x)=ex(cos

x-sin

x)-1,f'(0)=0.又因為f(0)=1,所以曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程為y=1.(2)設h(x)=ex(cos

x-sin

x)-1,則h'(x)=ex(cos

x-sin

x-sin

x-cos

x)=-2exsin

x.-15-命題熱點一命題熱點二命題熱點三利用導數(shù)求與函數(shù)零點有關(guān)的參數(shù)范圍【思考】

如何利用導數(shù)求與函數(shù)零點有關(guān)的參數(shù)的取值范圍?例3設函數(shù)f(x)=

-klnx,k>0.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;(2)證明:若f(x)存在零點,則f(x)在區(qū)間(1,

]上僅有一個零點.-16-命題熱點一命題熱點二命題熱點三-17-命題熱點一命題熱點二命題熱點三-18-命題熱點一命題熱點二命題熱點三題后反思與函數(shù)零點有關(guān)的參數(shù)范圍問題,往往利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點,并結(jié)合特殊點,從而判斷函數(shù)的大致圖象,討論其圖象與x軸的交點個數(shù)問題(或者轉(zhuǎn)化為兩個熟悉函數(shù)的交點問題),進而確定參數(shù)的取值范圍.-19-命題熱點一命題熱點二命題熱點三對點訓練3(2018天津,文20)設函數(shù)f(x)=(x-t1)(x-t2)(x-t3),其中t1,t2,t3∈R,且t1,t2,t3是公差為d的等差數(shù)列.(1)若t2=0,d=1,求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程;(2)若d=3,求f(x)的極值;(3)若曲線y=f(x)與直線y=-(x-t2)-6

有三個互異的公共點,求d的取值范圍.解

(1)由已知,可得f(x)=x(x-1)(x+1)=x3-x,故f'(x)=3x2-1.因此f(0)=0,f'(0)=-1.又因為曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程為y-f(0)=f'(0)(x-0),故所求切線方程為x+y=0.-20-命題熱點一命題熱點二命題熱點三-21-命題熱點一命題熱點二命題熱點三-22-命題熱點一命題熱點二命題熱點三-23-規(guī)律總結(jié)拓展演練1.求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間,可轉(zhuǎn)化為求不等式f'(x)>0的解集;若f(x)在M上單調(diào)遞增,則f'(x)≥0在M上恒成立.2.f(x)在區(qū)間A上單調(diào)遞減與f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為A不同,當f(x)在區(qū)間A上單調(diào)遞減時,A可能是f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間的一個真子集.若f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[m,n],則在x=m(x=n)兩側(cè)導數(shù)值異號,f'(m)=0(f'(n)=0).3.求可導函數(shù)極值的步驟:(1)確定函數(shù)f(x)的定義域;(2)求f'(x);(3)求f'(x)=0在定義域內(nèi)的根;(4)判定根兩側(cè)導數(shù)的符號;(5)下結(jié)論.要注意函數(shù)的極值點對應的導數(shù)為0,但導數(shù)為0的點不一定是函數(shù)的極值點,必須導數(shù)為0的點的左右附近對應的導數(shù)異號.-24-規(guī)律總結(jié)拓展演練4.求函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值與最小值,首先求出各極值及區(qū)間端點處的函數(shù)值;然后比較其大小,得結(jié)論(最大的就是最大值,最小的就是最小值).5.對于研究方程根的個數(shù)的相關(guān)問題,利用導數(shù)這一工具和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想就可以很好地解決.這類問題求解的通法是:(1)構(gòu)造函數(shù),并求其定義域;(2)求導數(shù),得單調(diào)區(qū)間和極值點;(3)畫出函數(shù)草圖;(4)數(shù)形結(jié)合,挖掘隱含條件,確定函數(shù)圖象與x軸的交點情況進而求解.-25-規(guī)律總結(jié)拓展演練1.已知x0是函數(shù)f(x)=2sinx-πl(wèi)nx(x∈(0,π))的零點,且x1<x2,則①x0∈(1,e);②x0∈(e,π);③f(x1)-f(x2)<0;④f(x1)-f(x2)>0,其中正確的為(

)A.①③ B.①④C.②③ D.②④B解析

因為f(1)=2sin

1-πl(wèi)n

1=2sin

1>0,f(e)=2sin

e-π<0,所以x0∈(1,e),即①正確.綜上可知,當x∈(0,π)時,f