專題04 數(shù)列1（等差、等比、通項公式、遞推關(guān)系）-2024屆高考數(shù)學二輪專題復(fù)習考點分層與專項檢測（新高考專用）原卷版

專題04數(shù)列1（等差、等比、通項公式、遞推關(guān)系）（新高考）目錄目錄【備考指南】 2 【真題在線】 3【基礎(chǔ)考點】 5【基礎(chǔ)考點一】等差數(shù)列基本量的運算 5【基礎(chǔ)考點二】等比數(shù)列基本量的運算 6【基礎(chǔ)考點三】等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用 6【基礎(chǔ)考點四】等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用 7【基礎(chǔ)考點五】遞推關(guān)系與數(shù)列周期性 8【綜合考點】 9【綜合考點一】累加、累乘求通項公式 9【綜合考點二】構(gòu)造法、定義法求通項公式 10【綜合考點三】Sn與an的關(guān)系求通項公式【綜合考點四】等差、等比數(shù)列的函數(shù)特性 12【培優(yōu)考點】 13【培優(yōu)考點一】數(shù)列的結(jié)構(gòu)不良最值問題 13【培優(yōu)考點二】數(shù)列的不等式恒成立問題 15【總結(jié)提升】 16【專項檢測】 18備考指南備考指南考點考情分析考頻等差數(shù)列模型2023年新高考Ⅰ卷T72023年新高考Ⅰ卷T202023年新高考Ⅱ卷T182023年全國甲卷T102022年新高考Ⅱ卷T32021年新高考Ⅱ卷T172021年全國乙卷T193年7考等比數(shù)列模型2023年新高考Ⅱ卷T82023年全國甲卷T152023年全國乙卷T152022年全國乙卷T102年4考等差與等比綜合2022年新高考Ⅱ卷T17數(shù)列分段遞推公式2021年新高考Ⅰ卷T17數(shù)列并項遞推公式2023年全國甲卷T17數(shù)列結(jié)構(gòu)不良型模型2021年全國甲卷T18數(shù)列前n項和與通項關(guān)系2022年全國甲卷T17數(shù)列與不等式綜合2022年新高考Ⅰ卷T17數(shù)列單調(diào)性2022年全國乙卷T14預(yù)測：等差、等比數(shù)列的基本運算和性質(zhì)的考查是高考熱點，經(jīng)常以小題形式出現(xiàn).數(shù)列的通項也是高考熱點，難度中檔以下.求數(shù)列的通項公式是高考的重點內(nèi)容，等差、等比數(shù)列可直接利用其通項公式求解，但有些數(shù)列是以遞推關(guān)系給出的，需要構(gòu)造新數(shù)列轉(zhuǎn)為等差或等比數(shù)列，再利用公式求解.利用數(shù)列的遞推關(guān)系求數(shù)列的通項，常見的方法有：(1)累加法，(2)累乘法，(3)構(gòu)造法(包括輔助數(shù)列法，取倒數(shù)法，取對數(shù)法等).近三年全國卷的考察難點整體是中檔以下，也出現(xiàn)結(jié)構(gòu)不良及數(shù)列與不等式綜合性的問題.建議二輪復(fù)習時在做好查缺補漏的基礎(chǔ)上要適當拓寬學生的思維，有一定量的思維難度.近幾年一些省市的高考試卷也出現(xiàn)了數(shù)列與不等式放縮，數(shù)列與導數(shù)的綜合問題.值得關(guān)注一下.真題在線真題在線一、單選題1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）記為等差數(shù)列的前項和．若，則（

）A．25 B．22 C．20 D．152．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，前n項和，若，，則（

）A． B． C．15 D．403．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知等差數(shù)列的公差為，集合，若，則（

）A．－1 B． C．0 D．4．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）記為數(shù)列的前項和，設(shè)甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件5．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）記為等比數(shù)列的前n項和，若，，則（

）．A．120 B．85 C． D．6．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知等比數(shù)列的前3項和為168，，則（

）A．14 B．12 C．6 D．37．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）嫦娥二號衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進行深空探測，成為我國第一顆環(huán)繞太陽飛行的人造行星，為研究嫦娥二號繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列：，，，…，依此類推，其中．則（

）A． B． C． D．8．（2021·全國·高考真題）記為等比數(shù)列的前n項和.若，，則（

）A．7 B．8 C．9 D．109．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）等比數(shù)列的公比為q，前n項和為，設(shè)甲：，乙：是遞增數(shù)列，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件二、多選題10．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)正整數(shù)，其中，記．則（

）A． B．C． D．三、填空題11．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）記為等比數(shù)列的前項和．若，則的公比為．12．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知為等比數(shù)列，，，則.13．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）記為等差數(shù)列的前n項和．若，則公差．基礎(chǔ)基礎(chǔ)考點【考點一】等差數(shù)列基本量的運算【典例精講】（多選）（2024·浙江臺州·統(tǒng)考一模）已知等差數(shù)列中，，公差為，，記為數(shù)列的前n項和，則下列說法正確的是（

）A．B．C．若，則D．若，則【變式訓練】一、單選題1．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列的前項和為.若，，則（

）A．95 B．100 C．135 D．1752．（2023上·重慶沙坪壩·高三重慶南開中學?？茧A段練習）已知等比數(shù)列的前項和為，公比為2，且成等差數(shù)列，則（

）A．62 B．93 C．96 D．64二、多選題3．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知公差為d的等差數(shù)列的前n項和為，且滿足，則（

）A． B．C．對任意的正整數(shù)n，有 D．使得的最小正整數(shù)n為4047三、填空題4．（2023·四川攀枝花·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知正項等差數(shù)列的前項和為，若成等比數(shù)列，則的最小值為．【考點二】等比數(shù)列基本量的運算【典例精講】（多選）（2023·福建福州·?？寄M預(yù)測）設(shè)是公比為正數(shù)等比數(shù)列的前項和，若，，則（

）A． B． C．為常數(shù) D．為等比數(shù)列【變式訓練】一、單選題1．（2023·北京東城·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列中，，，為其前項和，則（

）A． B． C． D．2．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知為等比數(shù)列且各項均不為0，向量，且，則（

）A．4 B．2 C．8 D．6二、多選題3．（2023·廣西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若數(shù)列滿足，則稱為“平方遞推數(shù)列”.已知數(shù)列是“平方遞推數(shù)列”，且，則（

）A．是等差數(shù)列 B．是等比數(shù)列C．是“平方遞推數(shù)列” D．是“平方遞推數(shù)列”三、填空題4．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列滿足且，則的取值范圍是．【考點三】等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用【典例精講】（多選）（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考三模）已知等差數(shù)列的前項和為，等比數(shù)列的前項積為，則下列結(jié)論正確的是(

)A．數(shù)列是等差數(shù)列 B．數(shù)列是等差數(shù)列C．數(shù)列是等比數(shù)列 D．數(shù)列是等差數(shù)列【變式訓練】一、單選題1．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知為等差數(shù)列的前項和，，則（

）A．240 B．60 C．180 D．1202．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考二模）設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，若，，則（

）A．0 B． C． D．二、多選題3．（2023·山東德州·德州市第一中學校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，公差為，，，，下列結(jié)論正確的是（

）A．B．當時，的最大值為C．數(shù)列為等差數(shù)列，且和數(shù)列的首項、公差均相同D．數(shù)列前項和為，最大三、填空題4．（2023·河南·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的前n項和為，若，，則．【考點四】等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用【典例精講】（多選）（2023·遼寧·朝陽市第一高級中學校聯(lián)考三模）已知數(shù)列的前n項和是，則下列說法正確的是（

）A．若，則是等差數(shù)列B．若，，則是等比數(shù)列C．若是等差數(shù)列，則，，成等差數(shù)列D．若是等比數(shù)列，則，，成等比數(shù)列【變式訓練】一、單選題1．（2023·四川成都·校聯(lián)考一模）在等比數(shù)列中，，是方程兩根，若，則m的值為（

）A．3 B．9 C． D．2．（2023·四川巴中·南江中學?？寄M預(yù)測）在等比數(shù)列中，，，則（

）A．3 B．6 C．9 D．18二、多選題3．（2023下·江西上饒·高二?？茧A段練習）設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項和為，前項積為，并且滿足條件，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．1C．的最大值為 D．的最大值為三、填空題4．（2021·四川成都·校聯(lián)考三模）已知等比數(shù)列的前項和滿足，數(shù)列滿足，其中，給出以下命題：①；②若對恒成立，則；③設(shè)，，則的最小值為；④設(shè)，若數(shù)列單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為．其中所有正確的命題的序號為．【考點五】遞推關(guān)系與數(shù)列周期性【典例精講】（多選）（2023·遼寧·朝陽市第一高級中學校聯(lián)考三模）已知數(shù)列的前n項和是，則下列說法正確的是（

）A．若，則是等差數(shù)列B．若，，則是等比數(shù)列C．若是等差數(shù)列，則，，成等差數(shù)列D．若是等比數(shù)列，則，，成等比數(shù)列【變式訓練】一、單選題1．（2023·四川成都·校聯(lián)考一模）在等比數(shù)列中，，是方程兩根，若，則m的值為（

）A．3 B．9 C． D．2．（2023·四川巴中·南江中學?？寄M預(yù)測）在等比數(shù)列中，，，則（

）A．3 B．6 C．9 D．18二、多選題3．（2023下·江西上饒·高二校考階段練習）設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項和為，前項積為，并且滿足條件，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．1C．的最大值為 D．的最大值為三、填空題4．（2021·四川成都·校聯(lián)考三模）已知等比數(shù)列的前項和滿足，數(shù)列滿足，其中，給出以下命題：①；②若對恒成立，則；③設(shè)，，則的最小值為；④設(shè)，若數(shù)列單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為．其中所有正確的命題的序號為．綜合考點綜合考點【考點一】累加、累乘求通項公式【典例精講】（多選）（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，，，則下列結(jié)論正確的有（

）．A．數(shù)列是遞增數(shù)列 B．C． D．【變式訓練】一、單選題1．（2023·河南鄭州·?？寄M預(yù)測）在數(shù)列中，，則的前項和的最大值為（

）A．64 B．53 C．42 D．252．（2023·河南·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，，則（

）A．2023 B．2024 C．4045 D．4047二、多選題3．（2023·遼寧朝陽·校聯(lián)考一模）已知數(shù)列滿足，且，則下列說法正確的是（

）A．數(shù)列為遞減數(shù)列 B．C． D．三、填空題4．（2023·江西贛州·統(tǒng)考二模）設(shè)為數(shù)列的前項和，滿足，其中，數(shù)列的前項和為，滿足，則．【考點二】構(gòu)造法、定義法求通項公式【典例精講】（多選）（2023下·黑龍江雞西·高二雞西市第四中學校考期中）已知數(shù)列滿足，，的前項和為，則（

）A． B．C． D．【變式訓練】一、單選題1．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在數(shù)列中，，，且，則下列結(jié)論成立的是（

）A． B．C． D．2．（2023·安徽·校聯(lián)考二模）已知數(shù)列的前項和為，若，則（

）A． B． C． D．2023二、多選題3．（2022·福建·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知下圖的一個數(shù)陣，該陣第行所有數(shù)的和記作，，，，，數(shù)列的前項和記作，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題4．（2020·四川成都·高三校聯(lián)考階段練習）已知數(shù)列{an}對任意m，n∈N*都滿足am+n=am+an，且a1=1，若命題“?n∈N*，λan≤+12”為真，則實數(shù)λ的最大值為.【考點三】Sn與a【典例精講】（多選）（2023·遼寧沈陽·東北育才學校?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列的前n項和為，且滿足，，則下列說法正確的是（

）A．數(shù)列的前n項和為B．數(shù)列的通項公式為C．數(shù)列不是遞增數(shù)列D．數(shù)列為遞增數(shù)列【變式訓練】一、單選題1．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，若，則（

）A．3 B．6 C．9 D．122．（2023·湖南永州·統(tǒng)考一模）若數(shù)列的前項和為，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．二、多選題3．（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)數(shù)列前項和為，滿足，且，則下列選項正確的是（

）A．B．數(shù)列為等差數(shù)列C．當時有最大值D．設(shè)，則當或時數(shù)列的前項和取最大值三、填空題4．（2023·上海黃浦·格致中學?？既＃┮阎棓?shù)列的前項和為，若，，數(shù)列的前項和為，則下列結(jié)論正確的是.①；②是等差數(shù)列；③；④滿足的的最小正整數(shù)為10.【考點四】等差、等比數(shù)列的函數(shù)特性【典例精講】（多選）（2020上·全國·高三校聯(lián)考階段練習）已知等比數(shù)列首項，公比為q，前n項和為，前n項積為，函數(shù)，若，則下列結(jié)論正確的是（

）A．為單調(diào)遞增的等差數(shù)列B．C．為單調(diào)遞增的等比數(shù)列D．使得成立的n的最大值為6【變式訓練】一、單選題1．（2023·吉林白山·撫松縣第一中學?？寄M預(yù)測）若等差數(shù)列的前項和為，且滿足，對任意正整數(shù)，都有，則的值為（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．20232．（2023·上海閔行·上海市七寶中學?？级＃┮阎獢?shù)列為等比數(shù)列，首項，公比，則下列敘述不正確的是（

）A．數(shù)列的最大項為 B．數(shù)列的最小項為C．數(shù)列為嚴格遞增數(shù)列 D．數(shù)列為嚴格遞增數(shù)列二、多選題3．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，是公差大于0的等差數(shù)列，且，，則（

）A． B． C． D．三、填空題4．（2022上·甘肅酒泉·高二敦煌中學?？计谥校┑缺葦?shù)列是遞減數(shù)列，前n項的積為，若，則．培優(yōu)考點培優(yōu)考點【考點一】數(shù)列的結(jié)構(gòu)不良最值問題【典例精講】（多選）（2022·全國·清華附中朝陽學校?？寄M預(yù)測）數(shù)列滿足，，則下列說法正確的是（

）A．若且，數(shù)列單調(diào)遞減B．若存在無數(shù)個自然數(shù)，使得，則C．當或時，的最小值不存在D．當時，【變式訓練】一、單選題1．（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考一模）數(shù)列前n項和為，且滿足：，，，，下列說法錯誤的是（

）A．B．數(shù)列有最大值，無最小值C．，使得D．，使得2．（2023·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，，，則以下說法不正確的是（

）A．， B．，C．數(shù)列存在最大項 D．數(shù)列不存在最小項二、多選題3．（2023·全國·模擬預(yù)測）大衍數(shù)列來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之數(shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項都代表太極衍生過程．已知大衍數(shù)列滿足，，則（

）A．B．C．D．數(shù)列的前2n項和的最小值為2三、填空題4．（2023·北京海淀·中央民族大學附屬中學?？寄M預(yù)測）已知是各項均為正數(shù)的無窮數(shù)列，其前n項和為，．給出下列四個結(jié)論：①；②數(shù)列有最大值，無最小值；③；④存在，使得.其中所有正確結(jié)論的序號是．【考點二】數(shù)列的不等式恒成立問題【典例精講】（多選）（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在①；②這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答問題．設(shè)數(shù)列的前項和為，滿足________，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若存在正整數(shù)，使得對恒成立，求的值．【變式訓練】一、單選題1．（2023·重慶·統(tǒng)考二模）若不等式對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2020·全國·統(tǒng)考一模）已知定義在上的函數(shù)滿足，且當時，.設(shè)在上的最大值為（），且數(shù)列的前項的和為.若對于任意正整數(shù)不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、填空題3．（2023·廣東梅州·大埔縣虎山中學?？寄M預(yù)測）已知等差數(shù)列中，，記數(shù)列的前項和為，若，對任意的恒成立，則整數(shù)的最小值是4．（2022上·山西·高三校聯(lián)考階段練習）已知等比數(shù)列的公比為，前項和為，且滿足.若對一切正整數(shù)，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為.總結(jié)提升總結(jié)提升1.已知Sn求an的步驟(1)先利用a1＝S1求出a1.(2)用n－1替換Sn中的n得到一個新的關(guān)系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出當n≥2時an的表達式.(3)對n＝1時的結(jié)果進行檢驗，看是否符合n≥2時an的表達式，若符合，則數(shù)列的通項公式合寫；若不符合，則應(yīng)該分n＝1與n≥2兩段來寫.2.Sn與an關(guān)系問題的求解思路根據(jù)所求結(jié)果的不同要求，將問題向不同的方向轉(zhuǎn)化.(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn－1的關(guān)系式，再求解.(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含an，an－1的關(guān)系式，再求解.3.構(gòu)造法求數(shù)列通項的常用方法(1)形如an＝pan－1＋q(p≠1，q≠0)的形式，通?？蓸?gòu)造出等比數(shù)列an＋eq\f(q,p－1)＝peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(an－1＋\f(q,p－1)))，進而求出通項公式.(2)形如an＝pan－1＋qn，此類問題可先處理qn，兩邊同時除以qn，得eq\f(an,qn)＝peq\f(an－1,qn)＋1，進而構(gòu)造成eq\f(an,qn)＝eq\f(p,q)·eq\f(an－1,qn－1)＋1，設(shè)bn＝eq\f(an,qn)，從而變成bn＝eq\f(p,q)bn－1＋1，從而將問題轉(zhuǎn)化為第(1)個問題.(3)形如qan－1－pan＝anan－1，可以考慮兩邊同時除以anan－1，轉(zhuǎn)化為eq\f(q,an)－eq\f(p,an－1)＝1的形式，進而可設(shè)bn＝eq\f(1,an)，遞推公式變?yōu)閝bn－pbn－1＝1，從而轉(zhuǎn)變?yōu)樯厦娴?1)個問題.(4)形如an＝eq\f(man－1,k（an－1＋b）)(其中n≥2，mkb≠0)取倒數(shù)，得到eq\f(1,an)＝eq\f(k,m)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(b,an－1)))?eq\f(1,an)＝eq\f(kb,m)·eq\f(1,an－1)＋eq\f(k,m)，轉(zhuǎn)化為(1)中的類型.(5)形如an＝paeq\o\al(r,n－1)(n≥2，an，p>0)兩邊取常用對數(shù)，得lgan＝rlgan－1＋lgp，轉(zhuǎn)化為(1)中的類型.4.等差數(shù)列的通項公式：an＝a1＋(n－1)d；5.等比數(shù)列的通項公式：an＝a1·qn－1.6.等差數(shù)列的求和公式：Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d；7.等比數(shù)列的求和公式：Sn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a1（1－qn）,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1，,na1，q＝1.))8.通項性質(zhì)：若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，則對于等差數(shù)列，有am＋an＝ap＋aq＝2ak，對于等比數(shù)列，有aman＝apaq＝aeq\o\al(2,k).9.前n項和的性質(zhì)(m，n∈N*)：對于等差數(shù)列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差數(shù)列；對于等比數(shù)列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比數(shù)列(q＝－1且m為偶數(shù)情況除外).專項專項檢測一、單選題1．（2023·新疆喀什·校考模擬預(yù)測）若，則（

）A．55 B．56 C．45 D．462．（2023·河南洛陽·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的前18項和為（

）A． B． C． D．3．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列的前n項和為，．若，則n的最大值為（

）A．7 B．6 C．5 D．44．（2023·河南駐馬店·統(tǒng)考二模）設(shè)數(shù)列的前項和為，，且，若恒成立，則的最大值是（

）A． B． C． D．85．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的前n項和為，，則（

）A．60 B．120 C．180 D．2406．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知正項數(shù)列滿足，若存在，使得，則的最小值為（

）A．32 B．64 C．128 D．2567．（2023·甘肅金昌·永昌縣第一高級中學統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)為數(shù)列的前項和，若，，則下列各選項在正確的是（

）A． B．C． D．8．（2022·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)為等差數(shù)列的前項和，且，都有.若，則（

）A．的最小值是 B．的最小值是C．的最大值是 D．的最大值是二、多選題9