2024屆陜西省西安市部分學(xué)校高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題（解析版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第Page\*MergeFormat1頁共NUMPAGES\*MergeFormat15頁2024屆陜西省西安市部分學(xué)校高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)集合的交運算即可求解.【詳解】由得，又，所以，故選：A2．（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】結(jié)合復(fù)數(shù)的運算,計算即可.【詳解】根據(jù)題意：,故選：D.3．“”是“”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)對數(shù)不等式可得，即可由必要不充分條件的定義判斷.【詳解】由可得，所以“”是“”的必要不充分條件，故選：C4．設(shè)等比數(shù)列的前項和為，且，則（

）A．3 B．9 C．12 D．15【答案】B【分析】根據(jù)條件列出關(guān)于首項和公比的方程組，求出首項和公比，然后根據(jù)等比數(shù)列前n項和公式計算即可求解.【詳解】由，得，解得，，所以.故選：B.5．已知，且，則（

）A．有最小值8 B．有最小值C．有最大值8 D．有最大值【答案】A【分析】根據(jù)基本不等式可得，即可由不等式的性質(zhì)求解.【詳解】由可得，所以，由于，且，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故，因此有最小值8，故選：A6．已知，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)與對數(shù)的單調(diào)性即可與中間值比較作答.【詳解】由可得，因此可得，故，故選：D7．在中，內(nèi)角所對的邊分別是，若，且外接圓的半徑為2，則面積的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)正弦定理得，由余弦定理結(jié)合不等式可得，進而由面積公式即可求解.【詳解】由于，且外接圓的半徑為2，所以．由余弦定理得，，則故選：D．8．窗戶，在建筑學(xué)上是指墻或屋頂上建造的洞口，用以使光線或空氣進入室內(nèi).如圖1，這是一個外框為正八邊形，中間是一個正方形的窗戶，其中正方形和正八邊形的中心重合，正方形的上?下邊與正八邊形的上?下邊平行，邊長都是4.如圖2，是中間正方形的兩個相鄰的頂點，是外框正八邊形上的一點，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用平面向量數(shù)量積的定義，結(jié)合線段長即可得解.【詳解】記正八邊形右下角的兩個頂點分別為，連接，由題意易得是等腰直角三角形，，則，不妨設(shè)，由于題目要求的最大值，故只考慮的情況，過作，垂足為，則，又，所以，顯然，當(dāng)點與點重合時，取得最大值，所以的最大值為.故選：A.9．已知為第二象限角，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二倍角公式以及同角關(guān)系即可求解.【詳解】由于為第二象限角，則,則，由可得，，，由于，所以，故，所以，故選：B10．已知正四棱錐內(nèi)切球的半徑為，且，則正四棱錐的體積是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)等體積法即可求解棱長，進而由體積公式即可求解.【詳解】在正四棱錐中，連接，，，連，則平面，設(shè)，則，由等體積法可得，故，解得，故故選：D．11．已知函數(shù)在上恰有3個零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)整體法求解的根，即可根據(jù)三個零點列不等式求解.【詳解】令,則，進而可得或，因此的非負零點有，要使得在上恰有3個零點，則，解得，故選：C12．已知函數(shù)，是函數(shù)的4個零點，且，給出以下結(jié)論：①的取值范圍是，②，③的最小值是4，④的最大值是.其中正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】作出圖象，結(jié)合圖象判斷①；對方程化簡計算判斷②；由對數(shù)的運算性質(zhì)得出，利用基本不等式判斷③④.【詳解】作出函數(shù)的圖象如下圖所示：因為是函數(shù)的4個零點，所以直線與函數(shù)的圖象有四個交點，且，根據(jù)圖象知：，所以①錯誤；對于②，由圖可知，，則，所以，，則，所以，所以，所以，正確；對于③，由圖可知，，由得，即，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，顯然不滿足，所以，錯誤；對于④，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，即的最大值是，正確.綜上，正確結(jié)論為②④，共2個.故選：B.【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.二、填空題13．已知向量，，若，則．【答案】2【分析】由算出答案即可.【詳解】因為，，，所以，解得，故答案為：214．在正方體中，是棱的中點，則異面直線與所成角的余弦值是.【答案】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的夾角即可求解.【詳解】因為是正方體，建立以為原點的坐標(biāo)系，如圖，設(shè)正方體的棱長為2，則有，，，，，，設(shè)異面直線與所成角為，．故答案為：．15．對于數(shù)列，定義為的“優(yōu)值”.若數(shù)列的“優(yōu)值”，則.【答案】【分析】根據(jù)給的定義可得，即可作差求解.【詳解】由題意可得，所以，故，，相減可得，所以，故答案為：：16．已知函數(shù)，直線，若直線與的圖象交于點，與直線交于點，則之間的最短距離是.【答案】【分析】由題意，函數(shù)圖象上的點到直線的最短距離，利用相切時到的最短距離即可求解．【詳解】函數(shù)，直線，若直線與的圖象交于點，與直線交于點，直線的斜率為，直線的斜率為，兩直線垂直，則函數(shù)圖象上的點到直線的最短距離，即為，之間的最短距離，由題意可得，．令，則，解得，，取點，點到直線的距離，則，之間的最短距離是．故答案為：．三、解答題17．已知函數(shù)，且.(1)求的解析式；(2)若對任意的，不等式成立，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）代入即可求解，（2）根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性求解值域，即可結(jié)合對數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】（1）由，且可得，解得，所以（2）由可得對任意的恒成立，

由于的對稱軸為，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且，因此當(dāng)時，，進而可得，因此，解得18．已知函數(shù).(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)將的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，求在上的值域.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)三角恒等變換可得，然后根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即得；（2）根據(jù)圖象變換規(guī)律可得，然后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】（1）因為，令，解得，則的單調(diào)遞增區(qū)間是；（2）因為，將的圖象向右平移個單位長度，可得．因為，所以，所以，則，即在區(qū)間內(nèi)的值域為．19．如圖，在直三棱柱中，是的中點.(1)證明：平面.(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量垂直證明線線垂直，即可由線面垂直的判定求證，（2）利用法向量的夾角即可求解.【詳解】（1）由于三棱柱為直三棱柱，所以平面，又所以取中點為，過作的平行線作為軸，以為軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則,所以,由于故，因此，又平面，所以平面，.（2）由（1）知平面的一個法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，取則，故，設(shè)平面與平面所成銳二面角為，則,故平面與平面所成銳二面角的余弦值為20．設(shè)數(shù)列的前項和為，且.(1)求的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義可得為公差為1的等差數(shù)列，即可求解，（2）由裂項求和即可求解.【詳解】（1）由以及可得，所以，，故為公差為1的等差數(shù)列，所以，所以，（2），所以21．在中，角的對邊分別是，且.(1)若，求的值；(2)若外接圓的半徑為4，求的最大值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用正弦定理進行邊化角，結(jié)合已知以及利用平方關(guān)系解出即可；（2）利用正弦定理進行邊化角，結(jié)合已知以及輔助角公式轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，求解即可.【詳解】（1）根據(jù)題意：因為由正弦定理得：,化簡得：，因為，所以，即，聯(lián)立，消去得：,解得：或（舍去），在三角形內(nèi)，,可得：，所以.（2）因為外接圓的半徑為4，利用正弦定理可得：結(jié)合上問可知：，代入可得：,在三角形內(nèi)，,所以，所以當(dāng)時，即時，，故的最大值為.四、證明題22．已知函數(shù).(1)設(shè)函數(shù)，其中是的導(dǎo)數(shù)，討論的單調(diào)性；(2)若，證明：.【答案】(1)時，在單調(diào)遞增，時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，(2)證明見解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)，結(jié)合分類討論即可由導(dǎo)函數(shù)的正負確定函數(shù)的單調(diào)性，（2）利用導(dǎo)數(shù)證明，即可利用放縮法結(jié)合導(dǎo)數(shù)證明，即可求證.【詳解】（1）由得，所以，故，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，令，則，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，綜上可得：時，在單調(diào)遞增，時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，（2）先證明，記，當(dāng)單調(diào)遞減，當(dāng)單調(diào)遞增，所以，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時取到等號，記，則，則當(dāng)單調(diào)遞增，當(dāng)單調(diào)遞減，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取到等號，由于，所以，故進而，因此所以時，，則，由于等號成立的條件不一樣，所以等號取不到，故，即，