2024屆云南省3+3+3高考備考診斷性聯(lián)考卷（一）數(shù)學(xué)（含答案）

云南省2024屆“3+3+3”高考備考診斷性聯(lián)考卷（一）數(shù)學(xué)注意事項：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考場號、座位號填寫在答題卡上.2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.在試題卷上作答無效.3.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回.滿分150分，考試用時120分鐘.一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知集合，，則（）A. B.或C. D.或2.設(shè)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，且，則（）A.i B. C.2 D.3.已知函數(shù)，設(shè)甲：函數(shù)是偶函數(shù)，乙：，則甲是乙的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽之作，書中稱軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓雉，若直角圓雉底面圓的半徑為1，則其內(nèi)接正方體的棱長為（）A. B. C. D.5.若，則（）A.3 B.2 C. D.6.袋子中裝有大小、形狀完全相同的3個白球和2個紅球，現(xiàn)從中不放回地摸取兩個球，已知第二次摸到的是紅球，則第一次摸到紅球的概率為（）A. B. C. D.7.已知曲線的方程為：，點A，B的坐標(biāo)分別為，，過點的直線交曲線于C，D兩點，且B，C，D三點不共線，則的周長為（）A. B. C. D.8.若過點可以作三條直線與曲線：相切，則的取值范圍是（）A. B. C. D.二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項是符合題目要求的，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9.對于下列概率統(tǒng)計相關(guān)知識，說法正確的是（）A.數(shù)據(jù)1，2，3，4，5，6，8，9，11的第75百分位數(shù)是7B.若事件M，N的概率滿足，且M，N相互獨立，則C.由兩個分類變量，的成對樣本數(shù)據(jù)計算得到，依據(jù)的獨立性檢驗，可判斷，獨立D.若一組樣本數(shù)據(jù)的對應(yīng)樣本點都在直線上，則這組樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為10.已知平面向量，滿足，，，，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.，恒成立11.已知圓：，過直線：上一點作圓的兩條切線，切點分別為A，B，則（）A.若點的坐標(biāo)為，則 B.面積的最小值為C.直線過定點 D.12.如圖，在菱形中，，，將沿折起，使到，點不在底面內(nèi)，若為線段的中點，則在翻折過程中，以下說法正確的是（）A.B.四面體的表面積的最大值為C.不存在點，使得D.當(dāng)二面角的余弦值為時，四面體的內(nèi)切球的半徑為三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.的展開式中第五項為______.（系數(shù)用數(shù)字作答）14.已知動圓過點，且與直線相切，則圓心的軌跡方程為______.15.已知函數(shù)的定義域為，且為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點對稱.當(dāng)時，，則______.16.如圖，已知動圓和定圓（為坐標(biāo)原點）的半徑分別為1和2，動圓的圓心的初始坐標(biāo)為，動圓上的點的初始坐標(biāo)為，動圓逆時針沿定圓滾動，則在滾動過程中，點離開其初始位置距離的最大值為______.四、解答題（共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.（本小題滿分10分）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c已知，，成等差數(shù)列，且，.（1）求角；（2）求角的內(nèi)角平分線的長.18.（本小題滿分12分）已知數(shù)列的前項積為，且，.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并且求其通項公式；（2）證明：.19.（本小題滿分12分）某校高一年級舉行數(shù)學(xué)史知識競賽，每個同學(xué)從10道題中一次性抽出4道作答.小張有7道題能答對，3道不能答對；小王每道答對的概率均為，且每道題答對與否互不影響.（1）分別求小張，小王答對題目數(shù)的分布列；（2）若預(yù)測小張答對題目數(shù)多于小王答對題目數(shù)，求的取值范圍.20.（本小題滿分12分）如圖甲，在矩形中，，，，為邊上的點，且.將沿翻折，使得點到，滿足平面平面，連接，，如圖乙.甲 乙（1）求證：平面平面；（2）求二面角的正弦值的大小.21.（本小題滿分12分）已知雙曲線的方程為：，若點是曲線上一點，以點為切點作雙曲線的切線.（1）求證：切線的方程為；（2）分別過雙曲線的左焦點和右焦點作切線的垂線，垂足分別為，.求證：為定值.22.（本小題滿分12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，且，求證：.2024屆“3+3+3”高考備考診斷性聯(lián)考卷（一）數(shù)學(xué)參考答案一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）題號12345678答案DABCBADD【解析】1.因為，，則，所以，故選D.2.設(shè)（），則，由，可得，所以，所以，故選A.3.為偶函數(shù)，則，解得，當(dāng)時，；又當(dāng)時，為偶函數(shù)，所以甲是乙的必要不充分條件，故選B.4.沿正方體上底面的對角線作圓錐的軸截面，設(shè)正方體的棱長為，則由三角形相似可得，即，所以正方體棱長為，故選C.5.，故選B.6.記為第次摸到的是紅球，則，又，，所以，故選A.7.設(shè)曲線上任意一點為，則由題設(shè)可得，可得曲線的軌跡是以A，B為焦點且長軸長為的橢圓，所以的周長等于，故選.8.設(shè)一個切點為，則由，可得該點處的切線方程，當(dāng)經(jīng)過點時，有，即，則過點切線的條數(shù)即為方程的解的個數(shù).設(shè)，則，所以在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.當(dāng)時，，當(dāng)時，，又由，，可得時，有三個解，故選D.二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項是符合題目要求的，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）題號9101112答案BCDACDACDAB【解析】9.對于選項A，9個數(shù)據(jù)從小到大排列，由于，所以第75百分位數(shù)應(yīng)該是第7個數(shù)8，故A錯誤；對于選項B，由M，N相互獨立得：，所以，，故B正確：對于選項C，由，可以認(rèn)為和獨立，故C正確：對于選項D，樣本點都在直線，說明是負(fù)相關(guān)且為線性函數(shù)關(guān)系，所以相關(guān)系數(shù)為，故D正確，故選BCD.10.對于A，因為，所以，故A正確；對于B，因為，所以B錯誤；對于C，因為，都是單位向量，由平行四邊形法則和菱形性質(zhì)知對應(yīng)有向線段平分，的夾角，由題設(shè)知，所以C正確；對于D，由A選項知：，所以由向量減法的幾何意義直接看出結(jié)果成立.另法：恒成立，則，即，整理得，此式恒成立，所以，恒成立，所以D正確，故選ACD.11.A選項，如圖1，由圓的切線性質(zhì)及勾股定理可得：，所以A選項正確：B選項，到直線的距離為，而，所以的最小值為，所以三角形面積的最小值為，所以B選項錯誤：C選項，設(shè)，，線段的中點坐標(biāo)為，所以以為直徑的圓的方程為，，由，兩式相減得直線的方程為：，，由解得，所以直線過定點，C選項正確（法二：直線的方程也可直接由圓的切點弦方程直接求出）；D選項，由C選項知，圓心到直線的距離，所以，D選項正確，故選ACD.圖112.對于A選項，如圖2，連接交于點，連接，則由題設(shè)知，，所以平面，故，A選項正確；對于B，由題意可知，因為，故，當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號，故，的最大值為2，而，則四面體的表面積的最大值為，B正確：C選項，不妨假設(shè)存在點，使得，取的中點為，連接，，M為線段的中點，故；由于在菱形中，，，而為線段的中點，故.由于，，平面，故平面，平面，故，而，故，即為正三角形，則，故.又，且，故.由于，故.因為，滿足，即當(dāng)時，使得，C錯誤：對于D，因為，，故為二面角的平面角，即，所以，即，而，則四面體為正四面體，故將其補(bǔ)成如圖3所示正方體，且正方體棱長為，則四面體的體積，則四面體的內(nèi)切球半徑，D錯誤，故選AB.圖2 圖3三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）題號13141516答案1358【解析】13.設(shè)展開式的第項是，令，所以.14.由題意可知：圓心到點的距離與到直線的距離相等，所以根據(jù)拋物線的定義可知圓心的軌跡是以為焦點，為準(zhǔn)線的拋物線，故得圓心的軌跡方程為.15.由已知，且，，即函數(shù)是以24為周期的周期函數(shù)，故.16.如圖4所示，設(shè)圓逆時針繞圓轉(zhuǎn)過的圓心角，點轉(zhuǎn)到點，則由題設(shè)知，過點作軸，再過點作，垂足為，則.設(shè)，則，，所以，令，則，，又，.由，得；，得，易知，故.圖4四、解答題（共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.（本小題滿分10分）解：（1）因為，，成等差數(shù)列，所以.由正弦定理得，又，，所以.由余弦定理得，，，故.（2）由三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)知：，又C，D，B三點共線，所以，所以.18.（本小題滿分12分）證明：（1）由數(shù)列的前項積為，得，由題設(shè)，可得，所以數(shù)列是等差數(shù)列.由題設(shè)，故，，，所以是首項為，公差為的等差數(shù)列，故.（2）.19.（本小題滿分12分）解：（1）設(shè)小張答對的題目數(shù)為，可知隨機(jī)變量服從超幾何分布，的取值分別為1，2，3，4.有，，，，故小張答對的題目數(shù)的分布列為X1234P設(shè)小王答對的題目數(shù)為，可知隨機(jī)變量服從二項分布，的取值分別為0，1，2，3，4，有，，，，.故小王答對的題目數(shù)的分布列為Y01234P（2）由（1）可知，，若預(yù)測小張答對的題目數(shù)多于小王答對的題目數(shù)，則，即，可得.20.（本小題滿分12分）（1）證明：如圖5，過在平面內(nèi)作交于，因為平面平面，平面平面，所以平面.故，又，所以平面，故，在中，，，.同理，在中，，，.又，平面.又平面，平面平面.圖5（2）解：如圖，作，垂足為，在中，可得，，由（1）知，，平面平面，以點為坐標(biāo)原點，，分別為x，y軸，過點垂直平面為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，可得，，，則，，.由（1）知平面，所以是平面的一個法向量.設(shè)平面的一個法向量為，則即令，可得，，，，又，則.所以二面角的正弦值為.21.（本小題滿分12分）證明：（1）法1：導(dǎo)數(shù)法 法2：判別式法（略）由雙曲線的方程，可得，即或，其中函數(shù)的圖象即為雙曲線在軸的上半部分，函數(shù)的圖象即為雙曲線在軸的下半部分.1、當(dāng)時，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知：以點為切點的切線斜率，所以切線方程為：，即①.又，故，代入①整理得，又切點在雙曲線上，故，所以切線方程為：.2、當(dāng)時，以點為切點的切線斜率，所以切線方程為：，即②.又，故，代入②整理得.又切點在雙曲線上，故，所以切線方程為：.3、當(dāng)時，切點為，切線方程為，滿足，綜上：上一點為切點的切線的方程為.（2）由（1）知，切線的方程可化為，由點到直線的距離公式得，由，可得，代入上式分母整理得，所以，所以為定值.22.（本小題滿分12分）（1