中心極限定理

中心極限定理HistogramofPrcpodionofHeads0航C45 050 0.55Qflfl0.65PropofliofOHeads本圖描繪了多次拋擲硬幣實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)正面的平均比率，每次實(shí)驗(yàn)均拋擲了大量硬幣。中心極限定理是概率論中討論隨機(jī)變量和的分布以正態(tài)分布為極限的一組定理。這組定理是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)和誤差分析的理論基礎(chǔ)，指出了大量隨機(jī)變量之和近似服從正態(tài)分布的條件。歷史Tis 寫到：中心極限定理有著有趣的歷史。這個(gè)定理的第一版被法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)，他在 年發(fā)表的卓越論文中使用正態(tài)分布去估計(jì)大量拋擲硬幣出現(xiàn)正面次數(shù)的分布。這個(gè)超越時(shí)代的成果險(xiǎn)些被歷史遺忘，所幸著名法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯在 年發(fā)表的巨著TheorieAnalytiquedesProbabilites中拯救了這個(gè)默默無(wú)名的理論拉普拉斯擴(kuò)展了棣莫弗的理論，指出二項(xiàng)分布可用正態(tài)分布逼近。但同棣莫弗一樣，拉普拉斯的發(fā)現(xiàn)在當(dāng)時(shí)并未引起很大反響。直到十九世紀(jì)末中心極限定理的重要性才被世人所知。年，俄國(guó)數(shù)學(xué)家里雅普諾夫用更普通的隨機(jī)變量定義中心極限定理并在數(shù)學(xué)上進(jìn)行了精確的證明。如今，中心極限定理被認(rèn)為是非正式地概率論中的首席定理。

棣莫佛一拉普拉斯定理用正態(tài)分布逼近二項(xiàng)分布棣莫佛一拉普拉斯（ ）定理是中心極限定理的最初版本，討論了服從三項(xiàng)分布的隨機(jī)變量序列。它指出，參數(shù)為的二項(xiàng)分布以為均值、 為方差的正態(tài)分布為極限。內(nèi)容若口是次伯努利實(shí)驗(yàn)中事件出現(xiàn)的次數(shù)， ，則對(duì)任意有限區(qū)間 ：k-npQW三 <b當(dāng)一 及^一及時(shí)，一致地有P{—焉??5一當(dāng)）.%時(shí)，一致地有

F"「②：其中OO<OO<T<OO)在高爾頓板問(wèn)題上的應(yīng)用FIG.7. FIGa. FI6a.FIG.7. FIGa. FI6a.高爾頓繪制的高爾頓板模型，其中的小球顯出鐘形曲線。棣莫佛一拉普拉斯定理指出二項(xiàng)分布的極限為正態(tài)分布。高爾頓板可以看作是伯努利試驗(yàn)的實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ?。如果我們把小球碰到釘子看作一次?shí)驗(yàn)，而把從右邊落下算是成功，從左邊落下看作失敗，就有了一次_1廣口的伯努利試驗(yàn)。小球從頂端到底層共需要經(jīng)過(guò)排釘子，這就相當(dāng)于一個(gè)次伯努利試驗(yàn)。小球的高度曲線也就可以看作二項(xiàng)分布隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)。因此，中心極限定理解釋了高密頓板小球累積高度曲線為什么是正態(tài)分布獨(dú)有的鐘形曲線。林德伯格一列維定理口目口目中心極限定理的動(dòng)態(tài)展示，獨(dú)立同分布隨機(jī)變量之和趨近正態(tài)分布。林德伯格一列維（）定理，是棣莫佛一拉普拉斯定理林德伯格一列維（）定理，是棣莫佛一拉普拉斯定理的擴(kuò)展，討論獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列的中心極限定理。它表明，獨(dú)立同分布、且數(shù)學(xué)期望和方差有限的隨機(jī)變量序列的標(biāo)準(zhǔn)化和以標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布為極限:內(nèi)容設(shè)隨機(jī)變量獨(dú)立同分布，且具有有限的設(shè)隨機(jī)變量獨(dú)立同分布，且具有有限的數(shù)學(xué)期望和方差_X一升，仃.二，則.y-其中①）是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)。證明

記-M的特征函數(shù)為爐㈤，則Z的特征函數(shù)為卜（而01由于=O故H（o）=o：，（。）=一，.因此中⑴=1-/沼+武巧所以由于E-祥/2是連續(xù)函數(shù)，它對(duì)應(yīng)的分布函數(shù)為①）因此由逆極限定理知1mP&工？）T中⑶定理證畢。林德伯格費(fèi)勒定理林德伯格一費(fèi)勒定理，是中心極限定理的高級(jí)形式，是對(duì)林德伯格一列維定理的擴(kuò)展，討論獨(dú)立，但不同分布的情況下的隨機(jī)變量和。它表明，滿足一定條件時(shí)，獨(dú)立，但不同分布的隨機(jī)變量序列的標(biāo)準(zhǔn)化和依然以標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布為極限：內(nèi)容且有有限方記隨機(jī)變量序列（獨(dú)立但不一定同分布，且有有限方差）部分和為

i=l記J=Var（XOn幡=￡學(xué)=癡區(qū)）!=i如果對(duì)每個(gè)￡ ，序列滿足1也lim-￡m2；{|X|>^}]=0rbc jt4Un1=1則稱它滿足林德伯格（ ）條件。滿足此條件的序列趨向于正態(tài)分布，即冬自4v（o」）與之相關(guān)的是李雅普諾夫（ ）條件：1R列苞出<8.典當(dāng)育工研智斗=0%1=1滿足李雅普諾夫條件的序列必滿足林德伯格條件。證明在此只對(duì)較強(qiáng)的李雅普諾夫條件給出證明。以下證明對(duì)每一實(shí)數(shù)，特征函數(shù)滿足中多1/外⑴一-1-/2n甲右⑴吟-n廠對(duì)端fc=l泰勒展開(kāi)，上式可近似為nfc=lInfc=lI/|3n ±4n由李雅普諾夫條件，當(dāng)口八時(shí)，第一項(xiàng)收斂于零。令""‘『管"尸’町廠，則由李