4.2.1 4.2.2等差數列的概念 等差數列通項公式

4..2等差數列的概念等差數列通項公式【考點梳理】考點一：等差數列的概念一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，公差通常用字母d表示，公差可正可負可為零．考點二：等差中項的概念由三個數a，A，b組成的等差數列可以看成是最簡單的等差數列．這時，A叫做a與b的等差中項且2A＝a＋b.考點三：等差數列的通項公式首項為a1，公差為d的等差數列{an}的通項公式an＝a1＋(n－1)d.考點四：從函數角度認識等差數列{an}若數列{an}是等差數列，首項為a1，公差為d，則an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．(1)點(n，an)落在直線y＝dx＋(a1－d)上，這條直線的斜率為d，在y軸上的截距為a1－d

；(2)這些點的橫坐標每增加1，函數值增加d.等差數列的性質考點一：等差數列通項公式的變形及推廣設等差數列{an}的首項為a1，公差為d，則①an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)，②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)，③d＝eq\f(an－am,n－m)(m，n∈N*，且m≠n)．其中，①的幾何意義是點(n，an)均在直線y＝dx＋(a1－d)上．②可以用來利用任一項及公差直接得到通項公式，不必求a1.③可用來由等差數列任兩項求公差．考點二：等差數列的性質1．若{an}，{bn}分別是公差為d，d′的等差數列，則有數列結論{c＋an}公差為d的等差數列(c為任一常數){c·an}公差為cd的等差數列(c為任一常數){an＋an＋k}公差為kd的等差數列(k為常數，k∈N*){pan＋qbn}公差為pd＋qd′的等差數列(p，q為常數)：在等差數列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq.特別地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，則有am＋an＝2ap.3．在等差數列中每隔相同的項選出一項，按原來的順序排成一列，仍然是一個等差數列．4．等差數列{an}的公差為d，則d>0?{an}為遞增數列；d<0?{an}為遞減數列；d＝0?{an}為常數列．【題型歸納】題型一：利用定義法求等差數列的通項公式1．（2023下·遼寧大連·高二大連八中?？迹┰跀盗兄校?，，則數列是（

）A．公差為的等差數列 B．公差為的等差數列C．公差為的等差數列 D．不是等差數列【答案】B【分析】由已知遞推關系式得到，根據等差數列定義可得結果.【詳解】由得：，即，又，數列是以為首項，為公差的等差數列，ACD錯誤，B正確.故選：B.2．（2023下·甘肅天水·高二統(tǒng)考期末）在數列中，，，若，則等于（

）A．671 B．673 C．674 D．675【答案】C【分析】由題意可知是以為首項，為公差的等差數列，求得通項公式，從而可求解.【詳解】由，得，即是以為首項，為公差的等差數列，故，由，解得．故選：C．3．（2022下·北京海淀·高二中關村中學?？计谥校┮阎獢盗兄?，，，則等于（）A． B．12 C． D．16【答案】C【分析】利用等差數列的定義、通項公式即可得出結論．【詳解】由，可得，則數列為等差數列，且公差為，所以，則.故選：C．題型二：等差數列的通項公式基本量的計算4．（2023上·福建龍巖·高二?？茧A段練習）已知等差數列中，，，則首項與公差分別為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意列出方程組，即可求得答案.【詳解】設等差數列的公差為，依題得，解得.故選：D5．（2023下·江蘇揚州·高二校考開學考試）已知數列的通項為，則（

）A． B．8 C．10 D．【答案】B【分析】根據題意中的遞推公式可得，則數列是等差數列，結合題意和等差數列的通項公式求出公差即可求解.【詳解】由，得，所以數列是等差數列，設公差為d，由，解得，所以.故選：B.6．（2022·高二課時練習）已知數列，為等差數列，且公差分別為，，則數列的公差為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用即可整理求得公差.【詳解】，為等差數列，為等差，設其公差為，則.故選：D.題型三：等差中項及應用7．（2022上·甘肅蘭州·高三蘭州市外國語高級中學?？茧A段練習）已知數列滿足，則等于（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】先判斷數列為等差數列，結合等差數列的性質可求結果.【詳解】∵，∴是等差數列．由等差數列的性質可得，，∴，，∴．故選：B．8．（2022上·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期末）在等差數列中，，，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用等差中項的性質可求得的值，進而可求得的值.【詳解】由等差中項的性質可得，則.故選：B.9．（2023下·西藏日喀則·高二統(tǒng)考期末）在等差數列中，若，則.【答案】24【分析】由等差中項的性質即可求解.【詳解】解：因為在等差數列中，有，所以由，得，，又，所以.故答案為：24題型四：等差數列性質的應用10．（2023上·甘肅白銀·高二?？计谥校┮阎炔顢盗袧M足，則.【答案】【分析】由等差數列的性質可得，代入條件式，可求得，再根據，可得解.【詳解】在等差數列中，，又，，解得，又，而，解得.故答案為：.11．（2023·高二課時練習）在等差數列中，，則.【答案】【分析】利用等差數列下標和性質直接化簡求解即可.【詳解】由等差數列性質知：，解得：，.故答案為：.12．（2022上·天津河東·高二統(tǒng)考期末）已知數列滿足，則等于．【答案】7【分析】由，變形得出數列為等差數列，再結合等差數列的性質求解即可.【詳解】因為，所以，所以數列為等差數列，由所以，即，由等差數列的性質有：，所以.故答案為：7.題型五：等差數列的應用13．（2022·四川綿陽·統(tǒng)考三模）在2022年北京冬奧會開幕式上，二十四節(jié)氣倒計時驚艷亮相，與節(jié)氣相配的14句古詩詞，將中國人獨有的浪漫傳達給了全世界．我國古代天文學和數學著作《周髀算經》中記載：一年有二十四個節(jié)氣，每個節(jié)氣的晷長損益相同（晷是按照日影測定時刻的儀器，晷長即為所測量影子的長度），二十四節(jié)氣及晷長變化如圖所示，相鄰兩個節(jié)氣晷長減少或增加的量相同，周而復始．已知雨水的晷長為9.5尺，立冬的晷長為10.5尺，則冬至所對的晷長為（

）【答案】B【分析】設相鄰兩個節(jié)氣晷長減少或增加的量為,則立冬到冬至增加,冬至到雨水減少4,冬至的晷長為,根據題意，結合等差數列的性質，列出方程組求解即得.【詳解】解：設相鄰兩個節(jié)氣晷長減少或增加的量為,則立冬到冬至增加,冬至到雨水減少4,冬至的晷長為,則,解得,故選：B.14．（2021上·陜西漢中·高二校聯(lián)考期中）《周髀算經》中有這樣一個問題：冬至?小寒?大寒?立春?雨水?驚蟄?春分?清明?谷雨?立夏?小滿，芒種這十二個節(jié)氣，自冬至日起，其日影長依次成等差數列，若立春當日日影長為尺，立夏當日日影長為尺，則春分當日日影長為（

）A．尺 B．5尺 C．尺 D．尺【答案】D【分析】設十二節(jié)氣自冬至日起的日影長構成的等差數列為，利用等差數列的性質即可求解.【詳解】設十二節(jié)氣自冬至日起的日影長構成的等差數列為，則立春當日日影長為，立夏當日日影長為，所以春分當日日影長為.故選：D15．（2021上·湖南長沙·高二長郡中學?？计谥校毒耪滤阈g》是我國古代的數學名著，書中有如下問題：“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等，問各得幾何．”其意思為“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢，甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數列．問五人各得多少錢？”（“錢”是古代的一種質量單位）．這個問題中，戊所得為錢．【答案】【分析】設甲、乙、丙、丁、戊所得錢分別為，，，，，根據題意得到方程組，解得答案.【詳解】設甲、乙、丙、丁、戊所得錢分別為，，，，，則根據題意有，解得，所以戊所得為.故答案為：.題型六：等差數列的判定與證明16．（2023上·浙江寧波·高二鎮(zhèn)海中學校考期中）已知等差數列，現在其每相鄰兩項之間插入一個數，使之成為一個新的等差數列．(1)求新數列的通項公式；(2)16是新數列中的項嗎？若是，求出是第幾項，若不是，說明理由．【答案】(1)(2)不是【分析】（1）求出原等差數列的通項公式，利用求解；（2）根據數列的通項公式求解即可.【詳解】（1）設已知的等差數列為，易知，則，則，由題意知：，則.（2）令，故不是新數列中的項.17．（2023上·浙江紹興·高二?？计谥校┮阎獢盗袧M足，（），令.(1)求的值；(2)求證：數列是等差數列，并求出數列的通項公式.【答案】(1)，(2)證明見解析，【分析】（1）采用迭代法，可求，;（2）將轉化為，即可證明數列是等差數列，算出數列的通項公式后即可計算數列的通項公式.【詳解】（1）因為，且，當時，，當時，.（2）因為，所以，兩邊同時取倒數有：，令，有，，所以數列是以為首項，為公差的等差數列，所以，所以.18．（2023下·海南海口·高三統(tǒng)考期中）記為數列的前n項和，已知.(1)證明：數列是等差數列；(2)設k為實數，且對任意，總有，求k的最小值.【答案】(1)證明見解析；(2)2.【分析】（1）利用給定的遞推公式，結合變形，再推理作答.（2）由（1）求出數列的通項公式，再借助恒成立的不等式求解作答.【詳解】（1）數列的前n項和，則，于是，即，因此，而，解得，所以數列是首項，公差為1的等差數列.（2）由（1）知，即，于是，因此，而恒有成立，所以不等式恒成立時，，即的最小值為2.【雙基達標】一、單選題19．（2023上·福建莆田·高二莆田第二十五中學?？计谥校┰诘炔顢盗兄?，，，則（

）A．39 B．76 C．78 D．117【答案】C【分析】根據等差數列通項的性質轉化求解即可.【詳解】在等差數列中，，，則.故選：C.20．（2023上·江蘇南通·高二統(tǒng)考階段練習）已知等差數列的前n項和為，，則使得不等式成立的最大的n的值為(

)A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B【分析】根據等差數列的基本性質求解即可.【詳解】因為等差數列中，，則，則，因為，，即，所以使得不等式成立的最大的n的值為9，故選：B21．（2023上·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級中學校考階段練習）在等差數列中，若，則（

）A．13 B．26 C．39 D．52【答案】D【分析】根據等差數列的性質，得到，求得，再由，即可求解.【詳解】因為是等差數列，所以，解得，所以．故選：D．22．（2023上·重慶·高三統(tǒng)考期中）記等差數列的公差為，若是與的等差中項，則d的值為（

）A．0 B． C．1 D．2【答案】C【分析】根據給定條件，利用等差數列通項公式及等差中項的意義列式求解即得.【詳解】等差數列的公差為，由是與的等差中項，得，即，整理得，而，解得，所以d的值為1.故選：C23．（2023上·福建莆田·高二莆田第二十五中學校考期中）已知等差數列的通項公式，則等差數列的公差（

）A． B． C．3 D．4【答案】A【分析】根據題意，分別求得，即可得到公差.【詳解】因為等差數列的通項公式，則，則公差.故選：A24．（2023上·河北保定·高三河北易縣中學?？茧A段練習）現有一張正方形剪紙，沿只過其一個頂點的一條直線將其剪開，得到2張紙片，再從中任選一張，沿只過其一個頂點的一條直線剪開，得到3張紙片，……，以此類推，每次從紙片中任選一張，沿只過其一個頂點的一條直線剪開，若經過10次剪紙后，得到的所有多邊形紙片的邊數總和為（

）A．33 B．34 C．36 D．37【答案】B【分析】根據題意可得次剪紙得到的多邊形紙片的邊數成公差為3的等差數列，進而可得結果.【詳解】設沒剪之前正方形的邊數為，即，沿只過其一個頂點的一條直線將其剪開得到一個三角形和一個四邊形，，然后無論是選擇三角形或四邊形，剪一次后邊數都增加3，所以可知次剪紙得到的多邊形紙片的邊數成公差為3的等差數列，即，故經過10次剪紙后，得到的所有多邊形紙片的邊數總和為，故選：B.25．（2023·全國·高二隨堂練習）已知數列前n項和為．(1)試寫出數列的前5項；(2)數列是等差數列嗎？(3)你能寫出數列的通項公式嗎？【答案】(1)；(2)不是等差數列；(3).【分析】（1）利用分別求解即可；（2）由（1）即可做出判斷；（3）利用進行求解即可【詳解】（1）由得，，，，，所以.（2）由（1）知，所以數列不是等差數列.（3）當時，；當時，；綜上.26．（2023·全國·高二隨堂練習）已知等差數列的通項公式為．(1)求首項和公差；(2)畫出數列的圖象；(3)判斷數列的增減性．【答案】(1)，；(2)圖象見解析；(3)單調遞減.【分析】（1）利用給定的通項公式計算即得.（2）在直角坐標系內作出數列的圖象.（3）利用數列單調性定義判斷單調性即得.【詳解】（1）等差數列的通項公式為，所以首項，公差.（2）數列的圖象，如圖，（3）由，，得，因此，所以數列是單調遞減數列.27．（2023上·云南昆明·高二云南民族大學附屬中學?？计谥校盗袧M足.(1)求的值；(2)設，證明是等差數列.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據數列的遞推關系式求解即可；（2）結合遞推關系式與等差數列的定義證明即可.【詳解】（1）數列滿足所以，（2）∵∴為等差數列.【高分突破】一、單選題28．（2023上·江蘇南通·高二統(tǒng)考期中）已知為等差數列，數列滿足：，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，由結合，可得，由可得，即可得.【詳解】令，，又，則.設公差為，，則.故.故選：B29．（2023上·甘肅蘭州·高二蘭州一中?？计谥校┮阎獔A的半徑為，且，過點的2023條弦的長度組成一個等差數列，最短弦長為，最長弦長為，則其公差為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據題意，結合圓的性質，求得最短弦為，最長弦為，結合，即可求解.【詳解】因為圓的半徑為，且，過點的2023條弦的長度組成一個等差數列，其中最短弦長為，最長弦長為，所以等差數列的公差為.故選：B.30．（2023下·甘肅天水·高二天水市第一中學?？茧A段練習）已知數列滿足，則（

）A．9 B． C．11 D．【答案】B【分析】根據題意，化簡得到，得到數列為等差數列，結合等差數列的通項公式，即可求解.【詳解】由數列滿足，可得，即，因為，可得，所以數列表示首項為，公差為的等差數列，則，所以.故選：B.31．（2023下·河南周口·高二校聯(lián)考階段練習）已知數列的通項公式分別為，將各項并在一起，相等的項即為一項，從小到大排列成一個新的數列，則（

）A．14155 B．6073 C．4047 D．4045【答案】D【分析】首先觀察的項特征，把中的項按個一組劃分，寫出第組的項的格式，從而得解.【詳解】根據題意，得；；故，把中的項按6個一組劃分，則第組可表示為，，，，，，，又，故是第組的第一個數，則．故選：D．二、多選題32．（2023下·江西新余·高二統(tǒng)考期末）已知在數列中，，，則下列結論正確的是（

）A．是等差數列 B．是遞增數列C．是等差數列 D．是遞增數列【答案】CD【分析】根據遞推關系可得，進而根據等差數列的性質即可求解.【詳解】由可得，所以是以公差為1的等差數列，故CD正確，，故不是等差數列，而且為單調遞減數列，故AB錯誤，故選：CD33．（2023·全國·模擬預測）設是數列的前項和．下面幾個條件中，能推出是等差數列的為（

）A．當時， B．當時，C．當時， D．當時，【答案】ABD【分析】由與的關系得出與的關系式即可判斷ABD，通過舉反例即可判斷出C．【詳解】對于A，當時，且，兩式相減可得，即．所以是恒為0的數列，即是公差為0的等差數列，故A正確；對于B，當時，且，兩式相減可得，即，所以，即是常數列，是公差為0的等差數列，故B正確；對于C，如果，令可得，當時，且，兩式相減可得，如果，則，這并不能推出是等差數列，例如：考慮如下定義的數列：1，1，2，2，3，3，，則其通項公式可寫成，．則，．即數列1，1，2，2，3，3，滿足對任意正整數成立，但它并不是等差數列，故C錯誤；對于D，當時，且，兩式相減可得，所以，即，故，即是公差為的等差數列，故D正確；故選：ABD．34．（2023上·重慶·高二重慶八中?？茧A段練習）若正項數列是等差數列，且，則（

）A．當時， B．的取值范圍是C．當為整數時，的最大值為29 D．公差的取值范圍是【答案】ABC【分析】對于A，根據等差數列的定義求出公差的值，即可求出；又數列是正項等差數列，根據，即可求出公差的取值范圍，繼而可以判斷B,C,D.【詳解】當,時，公差，，故A正確；因為是正項等差數列，所以，即，且，所以公差的取值范圍是，故D錯誤；因為，所以的取值范圍是，故B正確；，當為整數時，的最大值為29，故C正確；故選：ABC.35．（2023上·甘肅定西·高二甘肅省臨洮中學?？茧A段練習）《九章算術》是我國古代的數學名著，書中有如下問題：“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等．問各得幾何．”其意思為“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢，甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數列．問五人各得多少錢?”（“錢”是古代的一種重量單位）．關于這個問題，下列說法錯誤的是（

）A．戊得錢是甲得錢的一半B．乙得錢比丁得錢多錢C．甲、丙得錢的和是乙得錢的2倍D．丁、戊得錢的和比甲得錢多錢【答案】BD【分析】根據題意列方程，得到，，然后判斷即可.【詳解】依題意，設甲、乙、丙、丁、戊所得錢分別為，，a，，，則由題意可知，，即，又，所以，所以，所以，，，，所以甲得錢，乙得錢，丙得1錢，丁得錢，戊得錢，所以戊得錢是甲得錢的一半，故A正確；乙得錢比丁得錢多錢，故B錯誤；甲、丙得錢的和是乙得錢的倍，故C正確；丁、戊得錢的和比甲得錢多錢，故D錯誤．故選：BD.36．（2023·重慶·統(tǒng)考三模）對于數列，若，，則下列說法正確的是（

）A． B．數列是等差數列C．數列是等差數列 D．【答案】ACD【分析】由，得，兩式相減得，結合可知數列所有奇數項和所有偶數項各自構成等差數列，從而即可對選項進行逐一判斷.【詳解】由，，得，，，所以A選項正確；又，，兩式相減得，令，可得，所以不是等差數列，是等差數列，故B選項錯誤，C正確；同理，令，則，所以是以為首項，公差為2的等差數列，所以，故D正確.故選：ACD三、填空題37．（2023上·江蘇·高二海安市曲塘中學校考期中）寫出一個具有下列性質①②的數列的通項公式．①；②．【答案】（答案不唯一）【分析】由題意可得數列為等差數列，且為遞減數列，即可得解.【詳解】因為，所以數列為等差數列，因為，所以數列數列為遞減數列，則可取.故答案為：.（答案不唯一）38．（2023上·上海浦東新·高二上海市洋涇中學?？计谥校┮阎炔顢盗校?，則．【答案】【分析】根據等差數列的通項性質化簡求解即可得答案.【詳解】已知等差數列，所以則，所以故.故答案為：.39．（2023上·江蘇鹽城·高二鹽城市田家炳中學校聯(lián)考期中）在遞增的等差數列中，是方程的根，則公差d的值為．【答案】【分析】由已知易得，應用等差數列通項公式求公差即可.【詳解】由題設，，可得，所以.故答案為：40．（2023上·福建龍巖·高二校聯(lián)考期中）潮涌杭州，亞運來了！2023年9月23日，第19屆亞運會在杭州盛大開幕，這是杭州歷史上的一件大事，也是中國繼北京奧運會、廣州亞運會后再次舉辦的大型國際體育賽事.某網站全程轉播了該次賽事，為慶祝本次賽事，該網站舉辦了一場針對本網站會員的獎品派發(fā)活動，派發(fā)規(guī)則如下：①對于會員編號能被3整除余1且被5整除余1的可以獲得精品吉祥物一套；②對于不符合①中條件的可以獲得普通吉祥物一套.已知該網站的會員共有2023人（編號為1號到2023號，中間沒有空缺），則獲得精品吉祥物的人數為.【答案】135【分析】將能被3整除余1且被5整除余1的正整數按從小到大排列，所得的數列記為，根據題意結合等差數列的通項求出其通項公式，進而可得出答案.【詳解】將能被3整除余1且被5整除余1的正整數按從小到大排列，所得的數列記為，由已知得是3的倍數，也是5的倍數，所以為15的倍數，所以是首項為0，公差為15的等差數列，所以，令，可得，又，解得且，故獲得精品吉祥物的人數為135.故答案為：135.41．（2023下·北京海淀·高二統(tǒng)考期末）已知各項均不為零的數列，其前項和是，且．給出下列四個結論：①；②為遞增數列；③若，則的取值范圍是；④，使得當時，總有．其中所