拔高卷-2022-2023學年高二數學上學期期中考前必刷卷（人教A版2019選擇性必修第一冊）（全解全析）

2022-2023學年高二上學期期中考前必刷卷(拔高卷)

高二數學?全解全析

I23456789101112

CABABACAACABCACABD

一、單選題

1?【分析】化直線方程的一般式為斜截式，求得直線的斜率，由直線傾斜角的正切值等于斜率求得直線的

傾斜角.

【解答】解：化直線3x+Gy-4=0為，尸一百萬+竽；

可得直線的斜率為-G，

設直線3x+gy-4=0的傾斜角為a(O。,，a<180。)，

則tana=-6，.'.a=120°.

故選：C.

【點評】本題考查直線的傾斜角，考查了直線的傾斜角與斜率的關系，是基礎題.

2.【分析】根據題意，由空間向量平行的判斷方法，可得x、y的值，分析選項可得答案.

【解答】解：根據題意,向量1=(-l,2,-D,6=(x,-l,y).

若,設6=疝，即(x,-1.y)=f(-l,2,-1)=(-t,2t,-t)

解可得：r=_l,

2

則有x=y=L

2

由此分析選項：x+y=l,

故選：A.

【點評】本題考查空間向量平行的判斷方法，注意空間向量的坐標表示方法，屬于基礎題.

3.【分析】根據已知條件，求出累計感染病例數/⑺，再求出累計感染病例數增加1倍需要的時間.

【解答】解：將飛=3.28,7=6代入0=l+rT,解得/'=0.38,

則累計感染病例數

當f=0時,/(0)=1,則成油=2,

兩邊取對數可得0.38，=加2,解得好媽。1.8.

0.38

故選：B.

【點評】本題主要考查函數的實際應用，考查對數的運算，屬于基礎題.

4.【分析】根據焦點在y軸上的橢圓的方程的特點是方程中產的分母比x?分母大且是正數，列出不等式組,

求出，，，的范圍.

22

【解答】解：方程」一+工=1表示焦點在y軸上的橢圓，焦距為2,

5-mm-2

二.帆―2>5—帆>0并且機一2—5+加=1,

解得加=4,

故選：A.

【點評】解決橢圓的方程，注意焦點的位置在哪個坐標軸上，方程中哪個字母的分母就大.

5.【分析】直接利用平行線間的距離公式的應用求出結果.

【解答】解：直線4：4x+2y+2=0,整理得：2x4-y+1=0,

則乙，/,的距離“=二=班.

故選：B.

【點評】本題考查的知識要點：平行線間的距離公式，主要考查學生的運算能力和數學思維能力，屬于基

礎題.

6.【分析】求出直線的斜率的表達式，通過角的范圍求解斜率的范圍即可.

STT

【解答】解：xcos，+ysin，=O,?！辏?,—），

6

可得直線的斜率為：一里叱=一一!一,

sin0tan0

因為6e（0,生），

6

所以tan。e（-8,-日）。（0,+8）,

所以0）D（0，+oo）.

tan〃

—e（0,百）U（F,0）.

tan，

又。時，直線為y=0,直線的斜率為0,

所以直線xcos0+ysin9=0,（0,由）的斜率的取值范圍為（-8,6）.

6

故選：A.

【點評】本題考查直線的斜率與三角函數求值，考查計算能力，是基礎題.

7.【分析】通過建立坐標系，設出MN的坐標，求出P的坐標，利用距離公式得到AP長度的最小值，然后

由”長度的最小值就是圓心到(T,3)距離最小一半，得到結果.

【解答】解：以Afi為x軸，以4)為y軸建立直角坐標系系，

在矩形A88中，AB=4,AD=3,

M,N分別為邊BC,CD上的動點，P為MV的中點，

設M(4,y),N(x,3),貝-.-MN=2.

'22

.?.MM=(x-4)2+(y-3>=4,

表示(x,y)以(4,3)為圓心，半徑為2的圓，

AP=；J(x+4)2+(y-3)2,

小長度表示圓上的點(x,y)至U(-4,3)距離最小得一半，

距離的最小值為4+4=8，,AP長度的最小值為4.

故選：C.

【點評】本題考查軌跡方程的求法，距離公式的應用，考查分析問題解決問題的能力.

8.【分析】設對稱點為(sj),運用中點坐標公式和兩直線垂直的條件：斜率之積為-1,解方程即可得到所

求對稱點的坐標.

【解答】解：設對稱點為(s,f),

.?上3=-2①，(對稱點與該點的連線垂直于對稱軸)

s-2

對稱點與該點所成線段的中點為(審，與當在直線x-2y+l=0上，

$+2-1+4

/.--------2x——+1=0@,

22

聯(lián)立①②解出對稱點為(4,0).

故選：A.

【點評】本題考查點關于直線的對稱點問題，考查中點坐標公式和兩直線垂直的條件：斜率之積為-1,考

查運算能力，屬于中檔題.

二、多選題

9.【分析】類比平面直角坐標系中點的性質，對空間直角坐標系O-Ji*中點的坐標與對稱性說法，判斷正

誤即可.

【解答】解：2,3),

1a

.??OP的中點坐標為q,1,1),故A正確；

點P關于X軸對稱的點的坐標為(1,-2,-3),故5錯誤；

點P關于原點對稱的點的坐標為(-1,-2,-3),故C正確；

點尸關于面對稱的點的坐標為(1，2,-3),故O錯誤；

故選：AC.

【點評】本題考查考查對稱的性質的應用，是基礎題.

10.【分析】由得出RO_L平面AEF,進而得出CC；_LEF,可判斷A:取用G的中點。，連

接AQ，GQ>利用線面平行的判定定理，可判斷8；連接AR,FD、,得到平面AQFE為平面AFE截正

方體所得的截面，再計算其面積即可判斷C;利用反證法即可判斷￡).

【解答】解：對于A,若烏DLAF,

因為力Q_LAE'且4￡「|4尸=A,所以RO_L平面犯L

所以〃所以此時不成立，所以線OQ與直線AF不垂直，故4正確；

對于8,如圖所示，取4G的中點Q,連接AQ,GQ,

由條件可知：GQ//EF,AQ〃4E,S.GQ^\A,Q=Q,EF^\AE=E,

又GQ<t平面AE尸，EFu平面AEF,4。仁平面A￡F,AEu平面

.?.6。//平面?/，A?！捌矫婢?，又GQnAQ=Q，

所以平面AGQ〃平面又因為AGu平面AGQ,

所以AG//平面尸，故5正確；

對于C,因為E,F為BC，CC的中點，所以EF//AR,

所以A,E,F,2四點共面，所以截面即為梯形AEF.,

由題得該等腰梯形的上底所=立，下底，腰長為亞，所以梯形面積為2,故C正確；

228

對于O,假設C與G到平面A%的距離相等，即平面AE尸將CG平分，則平面心必過CG的中點，連

接CG交EF于H,而“不是CG中點，則假設不成立，故。錯誤.

故選：ABC.

【點評】本題主要考查直線與直線的位置關系，線面平行的判定，立體幾何中的界面問題，點面距離的計

算等知識，屬于中等題.

11?【分析】直接根據函數的定義分別代入求解即可判斷.

【解答】解：?.?函數/'(X)=/-4x+2,g(x)=x+l,

fig(3)]=/(3+l)=/(4)=4-4x4+2=2,

,f[g(x)]=.f(x+l)=(x+l)2-4(x+1)+2=x2-2x-\,

g"(x)]=g，-4x+2)=x?-4x+2+1=x?-4x+3,

g[f(2)]=g(22-4x2+2)=g(-2)=-2+l=-l,

故選：AC.

【點評】本題主要考查二次函數和一次函數的性質的應用，屬基礎題.

12?【分析】利用線面平行的判定定理，即可判斷選項4；建立空間直角坐標系，利用向量的數量積判斷垂

直，即可判斷選項8；求出平面A8G的法向量，由向量的數量積判斷砂與平面ABC,相交，即可判斷選項

C；利用向量的數量積求夾角即可判斷選項￡(.

【解答】解：由題意，GR//CD,CQU平面C”D,CDu平面CHD,所以AG〃平面故A正

確；

建立空間直角坐標系，如圖所示；

由AB=1,則A(l,0,0),B(1,1,0),￡)(0,0,0),G(0,1,1),4(1,0,1),

則猬=(-1,1,1),BD=(-1,-],0),西=(1,0,1)；

所以AC；?百萬=1-1+0=0,猬?￡>]=-1+0+1=0,

所以離_LB萬，同_1防，

所以AG_L平面以乃，故8正確；

￡(1,g,0),F(0,0,；),

所以麗=(-1,-1,1),

因為8C；=(-1,0,1),宿=(-1,I,1),西=(1,0,1),

所以D<.BC；=0,D<AC；=0，

所以DA；為平面ABC,的法向量，

喬?西=-l+g=-g,所以EF與平面ABG相交，且交點為E,

所以所與直線BG不相交，故C錯誤;

E戶?BC；x/3

cos<EF,BC、>=

所以前與8C；所成的角是30。，故。正確.

故選：ABD.

【點評】本題主要正方體的結構特征，空間中的平行與垂直關系的判斷，異面直線所成角的求法，屬于中

檔題.

三、填空題

13.【分析】利用已知條件列出方程組求解c?即可.

【解答】解:橢圓I+￡=l(a>b>0)的兩個焦點分別為耳，居，離心率《=立，點P在橢圓上頂點，△PFF，

a~b2

的面積為1,

bc=\

可得,￡=，解得Z?=1,c=1>a->/2,

a2

c2=a2-b2

所以右焦點F2的坐標為(1,0).

故答案為：(1,0).

【點評】本題考查橢圓的簡單性質的應用，焦點坐標的求法，是基礎題.

14?【分析】根據題意，將兩個圓的方程變形為一般方程，聯(lián)立兩個圓的方程，計算可得答案.

【解答】解：根據題意，圓C：(x+3r+(y+2)2=4,即f+y2+6x+4y+9=0,

圓C2：(x-iy+y2=9,即f+y2-2x-8=0,

聯(lián)立兩個圓的方程：卜：+1+6x+4y+9=0,有81+分+17=0,

x~+y~-2x—8=0

即直線Afi的方程為8x+4y+17=0；

故答案為：8x+4y+17=0.

【點評】本題考查圓方程的綜合應用，涉及圓與圓的位置關系，屬于基礎題.

15?【分析】利用已知條件求解正方體的外接圓的半徑，然后求解球的半徑，即可求解球的體積.

【解答】解：面積為16的正方形的四個頂點均在球O的球面上，。01為正方形反CD的外接圓,

正方體的棱長為：4,所以外接圓的半徑為，20,

△A?。為等腰直角三角形，所以外接球的半徑為：275x0=4.

所以球O的體積為：9x4'=空萬.

33

故答案為：—

3

【點評】本題考查幾何體的外接球的體積的求法，考查轉化思想以及計算能力，是中檔題.

16?【分析】首先寫出圓的標準方程，然后結合面積公式可得他的長度，最后結合圓的性質分類討論即可

求得cosNAOB的值.

【解答】解：圓的方程即（x—2）2+（y+2）2=8,

I產廠

由三角形面積公式可得：Si4BC=-|C4|x|CB|xsinC=ysinC=4sinC=2V3,

則sinC=3,三角形為銳角三角形，則。=工，AABC為等邊三角形，

23

從而|AB|=|AC|=r=2夜，

如圖所示，點A,O,8的位置如圖所示，其中B'是與點8不同的位置，

由于圓的圓心角是同一段弧對應的圓周角的2倍，

故cosZ.AOB=cos—=或cosZAOB=cos—=--.

6262

故答案為：20,且或-3.

22

【點評】本題主要考查圓的方程及其應用，數形結合的數學思想，分類討論的數學思想等知識，屬于中等

題.

四、解答題

17?【分析】（1）連結AC交應）于點O,連結。E,由中位線定理可得SV/OE,利用線面平行的判定定理

證明即可；

（2）建立合適的空間直角坐標系，求出所需點的坐標，求解兩條直線的方向向量的坐標，然后利用向量的

夾角公式求解即可.

【解答】（1）證明：連結AC交班）于點O,則O為AC的中點，連結OE,

因為￡為SC的中點，所以&4//OE,

因為部《平面比花，OEu平面83E,

所以54〃平面也比：

（2）解：因為S-鉆8是正四棱錐，所以O為頂點S在底面的射影，

故50，底面他6?,且4cl.

故以點O為坐標原點，建立空間直角坐標系如圖所示，

因為幺=4,AB=2,SE=3EC,

則A(42,0,0),S(0,0,Vl4),fi(0,y/2,0),C(-72,0,0),E(-述,0,恒),

44

所以玄=(0,0,-4?),BE=(--,-y/2,—),

44

故異面直線SA與BE所成角的余弦值為-.

8

【點評】本題考查了線面平行的證明以及異面直線所成角的求解，對于空間角問題，經常選擇建立空間直

角坐標系，將問題轉化為空間向量進行研究，屬于中檔題.

18?【分析】（口）由題意利用待定系數法確定圓的方程即可；

（□）由圓心到直線的距離與半徑的大小關系可確定直線與圓的位置關系，利用弦長公式可求得弦長.

【解答】解：（口）設圓M的方程為：（x-a）2+（y-b）2=，（r>（））,

(l-a)2+(-1-6)2=戶a=l

根據題意得(-1-4)2+(1-6)2=,=></?=1，

。+力一2=0r=2

故所求圓”的方程為：（x-l>+（y-l）2=4.

（□）圓心（1,1）到直線的距離d=13：4-2|=]<2,

79+16

故直線與圓相交，

由弦長公式可得直線m被圓M截得的弦長為2Hi=2x/3.

【點評】本題主要考查圓的方程的求解，直線與圓的位置關系，圓的弦長公式等知識，屬于基礎題.

19.【分析】（1）當4=1時，CE//平面FBD.連接AC,交6。于點M,連接〃尸.推出E4:EF=2:1.得

3

到MF//CE.然后證明CE//平面8。尸.

（2）取的中點O,連接EO,OD.EOLAB.然后推出OE?_LAB,由08,OD,OE兩兩垂直，建

立如圖所示的空間直角坐標系如，z.求出平面次站的法向量，利用空間向量的數量積求解直線旗與平面

瓦）廠所成角的正弦值.

【解答】解：（1）當/l=L時，CE//平面FBD.

3

證明如下：連接AC,交比>T?點M,連接M/L

因為AB//8,

所以AM:MC=A8:C￡>=2:1

又EF=—￡A,

3

所以E4:EF=2:1.

所以4W:A7C=AF:瓦'=2:1.

所以MF//CE.

又MFu平面BDF,CE丈平面BDF,

所以CE//平面比廳.

(2)取回的中點O,連接EO,OD.

則EO1.AB.

又因為平面ME_L平面A8CD,平面A3EC平面A88=A8,EOu平面ABE,

所以EOL平面4JCD,

因為Q￡)u平面ABCD,

所以EO_LO￡).

由8c_LC￡>,及AB=2CD,AB"CD,得OD上AB,

由03,OD,OE兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系。與，z.

因為AE45為等腰直角三角形，AB=2BC=2CD,

所以。4=08=8=OE,

設08=1,

所以。(0,0,0),A(-l,0,0),8(1,0,0),C(1,1,0),0(0,1,0),E(0,0,1).

所以A￡i=(2,O,O),BZ5=(-l,l,O),(7分)EF=1M=(--,0,--),F(--,0,-),

33333

__.4a

所以FB=(3,O,-/

設平面8。b的法向量為："=(尤，y,z),

則有卜初二°，

n-FB=0

一x+y=0

所以，42，

-x一一z=0

133

取x=1,得”=(1,1,2).

設直線AB與平面BDF所成的角為0,

|2xl+0xl+0x2|_瓜

則sin0=|cos〈A反萬〉|=1'

\AB\\n\2712+12+226

即直線AB與平面BDF所成角的正弦值為逅.

6

【點評】本題考查直線與平面所成角的求法，直線與平面平行與垂直的判斷，考查空間想象能力以及邏輯

推理能力，計算能力.

20?【分析】(1)直接利用中點坐標公式求出B的坐標；

(2)利用點到直線的距離公式求出圓的半徑，進一步確定圓的方程.

【解答】解：(1)點C(l,-2)和A(3,O),且3是線段AC的中點，

故8(2,-1).

(2)利用點到直線的距離公式，

故圓的方程為(X-1)2+(y+2)2=2.

【點評】本題考查的知識要點：中點的坐標公式，圓的方程的確定，點到直線的距離公式，主要考查學生

的運算能力和數學思維能力，屬于中檔題.

21.【分析】(1)設M(x,y),由加_18。=。疝1.加=的/〃M=0,轉化為坐標求解.

(2)圓心E(0,l),求出T(-3,1)關于直線-2=0的對稱點「(3,-5),

\TP\+\PQ\+\QE\=\T'P\+\PQ\+\QE\...\T'E\=^32+62=^45=375,再減去圓的半徑即可求解.

【解答】解：(1)設M(x,y),

因為麗，赭?胸=0,

所以(x,y)?(0-x,2-y)=0,

即x2+y(y-2)=0,

所以M點的軌跡方程為：x2+>'2-2y=0；

(2)圓￡的方程為：x2+(y-l)2=l,圓心E(0,l),

設7(-3,1)關于直線/:x-y-2=0的對稱點為r(x0,%),

則J%(,+3

22

解得收=[,

1%=-5

所以T(3,-)5,

連接線段交圓E于。，交直線/于產,

則|TP|+|PQ|+|QE|=|T'P\+\PQ\+\QE\...\T，E\=斥格=屆=3亞,

當且僅當E,Q,P,7共線時，達到最小值3石，

因為|?！陓=1,

所以(|研+|「。|篇=3后一1.

【點評】本題考查了軌跡方程，點關于直線的對稱點，直線與圓相關的最值問題，屬于中檔題.

22.【分析】(1)證明8E//平面PCD即可得出8E//尸G;

(2)求出平面BEF的法向量弁，計算方和萬的夾角得出直線P3與平面BE尸所成角的大??；

(3)求出。到平面麻戶的距離，與平面BE尸所成角的大小，計算OM的長，得出麗的坐標，從而

得出BM的坐標，進而求出BM的長.

【解答】⑴證明：?.■￡；是4)的中點，BC//AD,BC=-AD,

2

四邊形是平行四邊形，

:.BE//CD,又5EU平面PCD,CDu平面「8,

.1BE//平面尸CD,

又8Eu平面BEF,平面3砂C平面PCD=FG,

:.BEHFG.

(2)解：NADC=90。，.?.平行四邊形3CDE是矩形,

：.BEYAD,

以E4,EB,EP為坐標軸建立空間直角坐標系E-型，如圖所示,

貝I]p(o,0,76),B(0,1,0),E(0,0,0),F(--,1_

22

1

/.PB=(0?1,-x/6),麗=(0,1,0),BF=(--,-一,

22