2023學年陜西省西安市高考數(shù)學押題試卷含解析

2023年高考數(shù)學模擬試卷

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）

填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角〃條形碼粘貼處〃o

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3,非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先

劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.若兩個非零向量入B滿足伍+B）?僅-B）=o,且歸+q=2歸一%則￡與B夾角的余弦值為（）

D.±_

一2

2.雙曲線G：「—與=1（?＞（）,。＞0）的一個焦點為/（c,。）（c＞0）,且雙曲線G的兩條漸近線與圓C：

crb2

（尤-。）2+丁=￡1均相切，則雙曲線孰的漸近線方程為（）

4

A.x±y/3y=0B.y/3x±y=0C.y/5x±y=0D.x±\/5y-0

3.已知函數(shù)/(x)=lnx+l,g(x)=2e*T，若/(m)=g(〃)成立，貝梅-”的最小值是()

A.—bln2B.C-2C.In2---D.y/c--

222

2020

4.著名的斐波那契數(shù)列｛4｝：1,1,2,3,5,8,…，滿足4=4=1，。“+2=%+1+4，〃eN*,若q=￡。2,1，

“=1

貝！I4=()

A.2020B.4038C.4039D.4040

'x+y<2

5.若變量滿足＜2x-3y＜9,則犬+產(chǎn)的最大值為（)

x>0

81

A.3B.2C.—D.10

13

6.圓柱被一平面截去一部分所得幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）

d4—2BO

正視圖側(cè)視圖俯視圖

A.一兀B.二4C.27rD.37r

22

7.已知集合4={劃卜—l|43,xeZ},8={xeZ|2，eA},則集合8=()

A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{1,2}D.{0,1,2}

-TT

8.如圖，四面體ABCD中，面曲和面BC。都是等腰直角三角形，AB=g，ZBAD=ZCBD=-,且二面角

2

2笈

4一3。-。的大小為丁，若四面體ABCO的頂點都在球。上，則球。的表面積為（）

___2_________1___

9.如圖，在AA3C中，AN=-NC,P是8N上一點，若=f入耳+-印。，則實數(shù)f的值為（）

33

10.已知向量萬=(1,2),5=(2,-2),c=(A,-l),若評(21+6),則丸=()

11.如圖，已知直線/：y=%（x+l）（左＞0）與拋物線C：V=4x相交于A,B兩點,且4、8兩點在拋物線準線上的

投影分別是M,N,若|AM|=2怛N|,則Z的值是()

2叵

D.2萬

12.如圖，拋物線M：丁=8》的焦點為尸，過點尸的直線/與拋物線/交于A,B兩點,若直線/與以尸為圓心,

線段O尸(。為坐標原點)長為半徑的圓交于C,D兩點,則關(guān)于值的說法正確的是()

A.等于4B.大于4C.小于4D.不確定

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知等差數(shù)列｛4｝的前”項和為S“，4=9,今一區(qū)=-4,則％=.

14.在一次體育水平測試中，甲、乙兩校均有100名學生參加，其中:甲校男生成績的優(yōu)秀率為70%,女生成績的優(yōu)秀

率為50%;乙校男生成績的優(yōu)秀率為60%,女生成績的優(yōu)秀率為40%.對于此次測試，給出下列三個結(jié)論：

①甲校學生成績的優(yōu)秀率大于乙校學生成績的優(yōu)秀率；

②甲、乙兩校所有男生成績的優(yōu)秀率大于甲、乙兩校所有女生成績的優(yōu)秀率；

③甲校學生成績的優(yōu)秀率與甲、乙兩校所有學生成績的優(yōu)秀率的大小關(guān)系不確定.其中，所有正確結(jié)論的序號是

15.函數(shù)=-匕(e為自然對數(shù)的底數(shù)，beR),若函數(shù)g(x)=/(/(x)-g)恰有4個零點，則實數(shù)〃的

取值范圍為.

X

16.已知函數(shù)/'(x)=2"'(e)lnx-一，則函數(shù)〃幻的極大值為

e

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知函數(shù)/(x)=|2x-l|+|x+I|

(1)解不等式/(元)23；

(2)若a、b、c均為正實數(shù)，且滿足a+力+c=m,加為/(力的最小值，求證：-+—+—

abc2

18.(12分)設(shè)F為拋物線C：V=4x的焦點，P,。為拋物線。上的兩個動點，0為坐標原點.

(I)若點/在線段上，求|PQ|的最小值；

(H)當OPLPQ時，求點。縱坐標的取值范圍.

19.(12分)已知〃x)=|2x+3]-|2x-l|.

(1)求不等式/(》)<2的解集；

(2)若存在xeR,使得/(x)>|3a-2|成立，求實數(shù)”的取值范圍

20.(12分)追求人類與生存環(huán)境的和諧發(fā)展是中國特色社會主義生態(tài)文明的價值取向.為了改善空氣質(zhì)量，某城市環(huán)

保局隨機抽取了一年內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)的檢測數(shù)據(jù)，結(jié)果統(tǒng)計如下：

AQI[0,50](50,100](100,150](150,200](200,250](250,3(X)]

空氣質(zhì)量優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴重污染

天數(shù)61418272510

(D從空氣質(zhì)量指數(shù)屬于[0,50],(50,1(X)]的天數(shù)中任取3天，求這3天中空氣質(zhì)量至少有2天為優(yōu)的概率；

0,0M100,

(2)已知某企業(yè)每天的經(jīng)濟損失》(單位：元)與空氣質(zhì)量指數(shù)x的關(guān)系式為y=220,100<%,250,,試估計該

1480,250<%,300,

企業(yè)一個月(按30天計算)的經(jīng)濟損失的數(shù)學期望.

21.(12分)已知數(shù)列伍“｝的前〃項和為S”，且滿足S"=2a“T("eN*).

(I)求數(shù)列｛%｝的通項公式；

白14

(II)證明：E—<7.

&=i4J

22.(10分)如圖，在四棱錐產(chǎn)一ABC。中，底面ABCD為矩形，側(cè)面Q46，底面ABCD,”為棱AB的中點，E

為棱DC上任意一點，且不與。點、C點重合.AB=2,AD=PA=1,PH=近.

p

(1)求證：平面A/￡_L平面ABC。；

(2)是否存在點E使得平面APE與平面所成的角的余弦值為逅？若存在，求出點E的位置；若不存在，請

3

說明理由.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.A

【解析】

設(shè)平面向量4與區(qū)的夾角為6,由已知條件得出口=M，在等式,+q=2忖-q兩邊平方，利用平面向量數(shù)量積的運

算律可求得cos。的值，即為所求.

【詳解】

設(shè)平面向量.與石的夾角為8,'-(a+b)-(a-b)=a-b=0,可得口=收，

在等式歸+q=2,-?兩邊平方得片+27叢片=4/一87B+4不，化簡得cos6=|.

故選：A.

【點睛】

本題考查利用平面向量的模求夾角的余弦值，考查平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)的應用，考查計算能力，屬于中等題.

2.A

【解析】

he

根據(jù)題意得到“=f,化簡得到42=3〃，得到答案.

yJa2+b2

【詳解】

八、b?bec

根據(jù)題意知：焦點b(c,0)到漸近線y=上X的距離為d=],,=-,

ayJa+b~2

故「2=3",故漸近線為尤±6y=().

故選：A.

【點睛】

本題考查了直線和圓的位置關(guān)系，雙曲線的漸近線，意在考查學生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.

3.A

【解析】

分析：設(shè)/(M>=g(")=f,貝h>0,把人〃用/表示，然后令/7(f)=根一雇，由導數(shù)求得〃?)的最小值.

詳解：設(shè)/(m)=g(〃)=，，貝！I/>0,m-el]f〃=ln—I—=InZ—In2d—,

222

:.m—n=d"—lnr+ln2——,令-ef~x-lnZ+ln2--,

22

則〃=/2"(f)=e'T+!>0,是(0,+8)上的增函數(shù)，

tr

又"(1)=0,.?.當fe(O,l)時，〃Q)<0,當，e(l,+oo)時，//⑴>0,

即〃(。在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,y)上單調(diào)遞增，/D是極小值也是最小值，

/?(1)=L+In2,.,.機的最小值是，+ln2.

22

故選A.

點睛：本題易錯選B,利用導數(shù)法求函數(shù)的最值，解題時學生可能不會將其中求人-。的最小值問題，通過構(gòu)造新函數(shù),

轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問題，另外通過二次求導，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間也很容易出錯.

4.D

【解析】

計算?,+a,=%，代入等式，根據(jù)4+2=+4化簡得到答案.

【詳解】

%=1,a,=2,4=3,故4+%=%，

2020

=4+“3+…+“4039=%+%+%+…+。4039=%+%+…+。4039=…=。4040，

〃=1

故攵=4040.

故選：D.

【點睛】

本題考查了斐波那契數(shù)列，意在考查學生的計算能力和應用能力.

5.D

【解析】

畫出約束條件的可行域，利用目標函數(shù)的幾何意義求解最大值即可.

【詳解】

'x+y<2

解：畫出滿足條件2x-3y?9的平面區(qū)域，如圖示：

x>0

如圖點坐標分別為A(0,-3),3(3,-1),。(0,2),

目標函數(shù)f+,2的幾何意義為，可行域內(nèi)點(乂)，)與坐標原點(0,0)的距離的平方，由圖可知3(3,-1)到原點的距離

最大，故32+(-1)2=io.

故選：D

【點睛】

本題考查了簡單的線性規(guī)劃問題，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.

6.B

【解析】

三視圖對應的幾何體為如圖所示的幾何體，利用割補法可求其體積.

【詳解】

根據(jù)三視圖可得原幾何體如圖所示，它是一個圓柱截去上面一塊幾何體，

把1該幾何體補成如下圖所示的圓柱，

其體積為萬x「x3,故原幾何體的體積為。萬.

2

故選：B.

【點睛】

本題考查三視圖以及不規(guī)則幾何體的體積，復原幾何體時注意三視圖中的點線關(guān)系與幾何體中的點、線、面的對應關(guān)

系，另外，不規(guī)則幾何體的體積可用割補法來求其體積，本題屬于基礎(chǔ)題.

7.D

【解析】

弄清集合8的含義，它的元素x來自于集合4,且2,也是集合A的元素.

【詳解】

HI%-1|<3,所以一2WxW4,故4={-2,-1,0,1,2,3,4},又xeZ,TeA，則x=(M,2,

故集合8={0』,2}.

故選：D.

【點睛】

本題考查集合的定義，涉及到解絕對值不等式，是一道基礎(chǔ)題.

8.B

【解析】

分別取8。、CD的中點M、N,連接AM、MN、AN,利用二面角的定義轉(zhuǎn)化二面角A—30—C的平面角為

2萬

NAMN=—,然后分別過點M作平面A班）的垂線與過點N作平面8CQ的垂線交于點。，在R/AOMN中計算出

3

OM,再利用勾股定理計算出04,即可得出球。的半徑，最后利用球體的表面積公式可得出答案.

【詳解】

如下圖所示，

分別取8。、CO的中點M、N,連接AM、MN、AN,

由于是以NfiM）為直角等腰直角三角形，”為8D的中點，

vZCBD=-,且加、N分別為BD、CO的中點，所以，MN//BC,所以，MNA.BD,所以二面角A—80—C

2

2萬

的平面角為NAMN=T，

AB=AD=e，則BD=NAB。+,且BC=2，所以，AM=^BD=\,MN=^BC=1,

?.?A的是以/朋Q為直角的等腰直角三角形，所以，AABD的外心為點A7,同理可知，ABCD的外心為點N,

分別過點"作平面曲的垂線與過點N作平面BCD的垂線交于點。，則點。在平面AMN內(nèi)，如下圖所示，

27r7T7T

由圖形可知，ZOMN=ZAMN-ZAMO^—--=-

326

r-2MN2G

MN\J3.OM——市~=----

在RtAOMN中,=cosNOMN=——?Ji3>

OM2'

2

所以，OA=VOM2+AM2=

3

所以，球。的半徑為R=亙，因此，球。的表面積為4萬R2=4萬xj也T|=也.

3I3J3

故選：B.

【點睛】

本題考查球體的表面積，考查二面角的定義，解決本題的關(guān)鍵在于找出球心的位置，同時考查了計算能力，屬于中等

題.

9.C

【解析】

—.2―-

由題意，可根據(jù)向量運算法則得到（1-/?）而，從而由向量分解的唯一性得出關(guān)于t的方程，求出

f的值.

【詳解】

由題意及圖，AP=AB+BP=AB+mBN=AB+〃?（A/V-A8）=mAN,

又，AN=-NC,所以4河=^比，AAP=-mAC+（1-m）AB，

\-m-t

一1一51

又經(jīng)=/48+彳4。，所以21，解得，〃=:，f=：，

3-m=-66

153

故選C.

【點睛】

本題考查平面向量基本定理，根據(jù)分解的唯一性得到所求參數(shù)的方程是解答本題的關(guān)鍵，本題屬于基礎(chǔ)題.

10.A

【解析】

根據(jù)向量坐標運算求得21+日，由平行關(guān)系構(gòu)造方程可求得結(jié)果.

【詳解】

^=（2,-2）;.25+5=（4,2）

-/c//（2a+b）.?.22=4解得：4=一2

故選：A

【點睛】

本題考查根據(jù)向量平行關(guān)系求解參數(shù)值的問題，涉及到平面向量的坐標運算；關(guān)鍵是明確若兩向量平行，則

%%一%2%=°?

11.c

【解析】

直線丁=左(1+1)(%>0)恒過定點。(—1,()),由此推導出|0川=；|A耳，由此能求出點3的坐標，從而能求出攵的值.

【詳解】

設(shè)拋物線C：V=4x的準線為/：x=—l,

直線y=k(x+1)仕>0)恒過定點P(-LO),

如圖過4、8分別作于M,BN11于N,

由|AM|=2忸N|,則|E4|=2|FB|,

點B為A尸的中點、連接08,則|0同=；同目，

：.\O^\=\BF\,點8的橫坐標為;，

.?.點B的坐標為嗚,把嗎㈤代入直線-i)(z>o),

解得普

故選：C.

【點睛】

本題考查直線與圓錐曲線中參數(shù)的求法，考查拋物線的性質(zhì)，是中檔題，解題時要注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用，屬

于中檔題.

12.A

【解析】

r2

利用廠的坐標為(2,0),設(shè)直線/的方程為x-〃少-2=0,然后聯(lián)立方程得)’=A,最后利用韋達定理求解即

my=x-2

可

【詳解】

據(jù)題意，得點尸的坐標為(2,0).設(shè)直線/的方程為x-沖-2=0,點A,3的坐標分別為(％，X),伍，＞2)?討論：

y2—

當加=0時，xl=x2=2?當相。()時，據(jù),,得九2—+4)尤+4=0,所以引工2=4,所以

my=x-2

|AC|.|BE)|=(|AF|-2)-(|BF|-2)=(^+2-2)-(^+2-2)=X1X2=4.

【點睛】

本題考查直線與拋物線的相交問題，解題核心在于聯(lián)立直線與拋物線的方程，屬于基礎(chǔ)題

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.—2M4-11

【解析】

利用,-m=-4求出公差d,結(jié)合等差數(shù)列的通項公式可求凡.

【詳解】

設(shè)公差為d,因為費一今=T,所以4d—2d=-4,即d=-2.

所以a“=%+(n-1)J=9-2(n-1)=-2n+11.

故答案為：—2n+11

【點睛】

本題主要考查等差數(shù)列通項公式的求解，利用等差數(shù)列的基本量是求解這類問題的通性通法，側(cè)重考查數(shù)學運算的核

心素養(yǎng).

14.翻)

【解析】

根據(jù)局部頻率和整體頻率的關(guān)系，依次判斷每個選項得到答案.

【詳解】

不能確定甲乙兩校的男女比例，故①不正確；

因為甲乙兩校的男生的優(yōu)秀率均大于女生成績的優(yōu)秀率，故甲、乙兩校所有男生成績的優(yōu)秀率大于甲、乙兩校所有女

生成績的優(yōu)秀率，故②正確；

因為不能確定甲乙兩校的男女比例，故不能確定甲校學生成績的優(yōu)秀率與甲、乙兩校所有學生成績的優(yōu)秀率的大小關(guān)

系，故③正確.

故答案為：(2X3).

【點睛】

本題考查局部頻率和整體頻率的關(guān)系，意在考查學生的理解能力和應用能力.

15.+In2J

【解析】

令"x)—g=f，則/。)=0，：恰有四個解.由/'(x)=e'—l判斷函數(shù)增減性，求出最小值，列出相應

不等式求解得出。的取值范圍.

【詳解】

解：令/(同一:=/,則/(/)=0,/(》)=，+；恰有四個解.

/(/)=()有兩個解，由/'(x)=e'-l,可得在(-8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+力)上單調(diào)遞增，

則/(》僵"(。)=1—。<。，可得〃>L

設(shè)/(。=。的負根為，〃，

由題意知，—>\—bm>b

2929

-“〉0,則

1,

??b7<—FIn2n.

2

he[l,；+ln2)

故答案為：9,g+In2).

【點睛】

本題考查導數(shù)在函數(shù)當中的應用，屬于難題.

16.21n2

【解析】

對函數(shù)求導，通過賦值，求得r(e),再對函數(shù)單調(diào)性進行分析，求得極大值.

【詳解】

r(x)=3￡B_l,故八e)=H?_L

xeee

解得/'(e)=Lf{x}=2Inx--,f\x)=---

eexe

令/'(x)=0,解得x=2e

函數(shù)在(O,2e)單調(diào)遞增，在(2e,田)單調(diào)遞減，

故的極大值為〃2e)=2Iri2e-2=21n2

故答案為：21n2.

【點睛】

本題考查函數(shù)極值的求解，難點是要通過賦值，求出未知量/'(e).

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1){x|x,-1或x.l}(2)證明見解析

【解析】

(1)將/(X)寫成分段函數(shù)的形式，由此求得不等式/(X)23的解集.

(2)由(1)求得/W最小值加，由此利用基本不等式，證得不等式成立.

【詳解】

—3元,xv—1,

(1)/(》)=,-x+2,-1KxW―,

2

3x,x>-.

2

當x<—l時，/(x)..3恒成立，解得X<-1；

當-啜kg時，由/(x)..3,解得x=—l

當x>，時，由/(x)..3解得乂.1

2

所以/(x)..3的解集為{x|x,-1或

33

(2)由(1)可求得/*)最小值為一，即a+b+c=〃2=-

22

3

因為a,。,c均為正實數(shù)，S.a+h+c=-

2

【點睛】

本小題主要考查絕對值不等式的求法，考查利用基本不等式證明不等式，屬于中檔題.

18.（I）4（II）（f,—8]U[8,”）

【解析】

⑴由拋物線的性質(zhì)，當PQLi-軸時，|P。最小;⑵設(shè)點P（%,y）,。（/，必），分別代入拋物線方程和麗?麗=0

得到三個方程，消去得到關(guān)于月的一元二次方程，利用判別式即可求出力的范圍.

【詳解】

解：（1）由拋物線的標準方程，〃=2,根據(jù)拋物線的性質(zhì)，當軸時，|PQ|最小，最小值為2p,即為4.

（2）由題意，設(shè)點打冷凹），。（％2，%），其中y|必力。，y尸%.

則y=4尤］,①y>2—

4X2,②

因為。P_LPQ,OP=（3,y）,PQ=（X2-百,必一>|），

所以O(shè)PPQ=芯（w一須）+y（%—yj=0?③

由①②③，得y；+%乂+16=0,

由弘€及，且%#0,得公=￡-6420,

解不等式，得點Q縱坐標內(nèi)的范圍為（-8,-8]U[8,+8）.

【點睛】

本題主要考查拋物線的方程和性質(zhì)和二次方程的解的問題，考查運算能力，此類問題能較好的考查考生的邏輯思維能

力、運算求解能力、分析問題解決問題的能力等，易錯點是復雜式子的變形能力不足，導致錯解.

19.(1)(-℃,0).

（2）（—―,2）.

【解析】

試題分析：（I）通過討論x的范圍，得到關(guān)于x的不等式組，解出取并集即可；

（II）求出f（X）的最大值，得到關(guān)于a的不等式，解出即可.

試題解析：

[3[3,,1

⑴不等式f（x）<2等價于｛2或12一一2

—（2x+3）+（2x-l）<2（2x+3）+（2x-l）<2

f1

或1x>2-,解得x<-二3或—23<x<0,

（2x+3）-（2x-l）<222

所以不等式<2的解集是（-8,0）；

⑵",-/（x）<|（2x+3）-（2x-l）|=4,.,./（x）max=4,

.?.|3a-2|<4,解得實數(shù)”的取值范圍是（一|,2）.

點睛：含絕對值不等式的解法有兩個基本方法，一是運用零點分區(qū)間討論，二是利用絕對值的幾何意義求解.法一是

運用分類討論思想，法二是運用數(shù)形結(jié)合思想，將絕對值不等式與函數(shù)以及不等式恒成立交匯、滲透，解題時強化函

數(shù)、數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化化歸思想方法的靈活應用，這是命題的新動向.

23

20.（1）---（2）9060兀

114

【解析】

（1）根據(jù)古典概型概率公式和組合數(shù)的計算可得所求概率；（2）任選一天，設(shè)該天的經(jīng)濟損失為X元，分別求出

P（X=0）,P（X=220）,P（X=1480）,進而求得數(shù)學期望，據(jù)此得出該企業(yè)一個月經(jīng)濟損失的數(shù)學期望.

【詳解】

解：（1）設(shè)4為選取的3天中空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)，則

C2Cl23

。(。.2)=尸《=2)+尸(。=3)=-^1+言=而

（2）任選一天，設(shè)該天的經(jīng)濟損失為X元，則X的可能取值為0,220,1480,

701

P（X=O）=P（（M100）=^=-,

707

P（X=220）=尸（100〈工,250）=—=—,

P（X=1480）=P（250<%,300）=需=*,

171

所以EX=0X2+220X，+1480X-!-=302（元），

51010

故該企業(yè)一個月的經(jīng)濟損失的數(shù)學期望為30￡X=9060（元）.

【點睛】

本題考查古典概型概率公式和組合數(shù)的計算及數(shù)學期望，屬于基礎(chǔ)題.

21.(I)??=2nl,“wN*.(II)見解析

【解析】

（1）由〃〉2,分"=1和”22兩種情況，即可求得數(shù)列｛為｝的通項公式;

（2）由題，得*=三亍=擊=€）-',利用等比數(shù)列求和公式，即可得到本題答案.

【詳解】

（I）解：由題，得

當〃=1時，a(=Si=2a1-1,得q=l；

當〃..2時，an=Sn-S?_l=2an-l-2a?_l+