無(wú)錫市天一中學(xué)2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

江蘇省天一中學(xué)2021-2022學(xué)年秋學(xué)期期末考試高二數(shù)學(xué)命題人審閱人一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.數(shù)列滿足且，則的值是（）A.1 B.4 C.－3 D.6【答案】A【解析】【詳解】根據(jù)題意，由于，可知數(shù)列是公差為-3的等差數(shù)列，則可知d=-3,由于=，故選A．2.已知直線，，若，則實(shí)數(shù)（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)兩條直線的斜率相等可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)橹本€，，且，所以，故選：D.3.已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，則等于（）A.0 B.1C.2 D.4【答案】A【解析】【分析】先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后代值計(jì)算即可【詳解】因，所以.故選：A4.已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則的值為（）A.1 B.3 C.9 D.81【答案】A【解析】【分析】根據(jù)條件，利用橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a，短半軸長(zhǎng)b，半焦距c的關(guān)系列式計(jì)算即得.【詳解】由橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則半焦距c=2，于是得，解得，所以的值為1.故選：A5.圓（）上點(diǎn)到直線的最小距離為1，則A.4 B.3 C.2 D.1【答案】A【解析】【詳解】試題分析：根據(jù)題意可得,圓心到直線的距離等于,即,求得,所以A選項(xiàng)是正確的.【點(diǎn)睛】判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見(jiàn)方法：(1)幾何法：利用ｄ與ｒ的關(guān)系．(2)代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用判斷．(3)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過(guò)定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交．上述方法中常用的是幾何法，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法適用于動(dòng)直線問(wèn)題．6.在等比數(shù)列中，，是方程的兩個(gè)實(shí)根，則（）A.-1 B.1 C.-3 D.3【答案】B【解析】【分析】由韋達(dá)定理可知，結(jié)合等比中項(xiàng)的性質(zhì)可求出.【詳解】解：在等比數(shù)列中，由題意知：，，所以，，所以且，即.故選：B.7.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)巨著，書(shū)中有如下問(wèn)題：“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，共出百銭.欲令高爵出少，以次漸多，問(wèn)各幾何？”意思是：“有大夫、不更、簪褭、上造、公士（爵位依次變低）5個(gè)人共出100錢(qián)，按照爵位從高到低每人所出錢(qián)數(shù)成遞增的等差數(shù)列，這5個(gè)人各出多少錢(qián)？”在這個(gè)問(wèn)題中，若公士出28錢(qián)，則不更出的錢(qián)數(shù)為（）A.14 B.16 C.18 D.20【答案】B【解析】【分析】由題可知這是一個(gè)等差數(shù)列，前項(xiàng)和，，列式求基本量即可.【詳解】設(shè)每人所出錢(qián)數(shù)成等差數(shù)列，公差為，前項(xiàng)和為，則由題可得，解得，所以不更出的錢(qián)數(shù)為.故選：B8.如圖，和分別是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，和是以為圓心，以為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個(gè)交點(diǎn)，且是等邊三角形，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】解：，設(shè)F1F2=2c，∵△F2AB是等邊三角形，∴∠AF1F2==30°，∴AF1=c，AF2=c，∴a=(c-c)2，e=2c(c-c)=+1，故選D二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，則（）A.是等比數(shù)列 B.是單調(diào)遞增數(shù)列C. D.的最大值為12【答案】CD【解析】【分析】由題設(shè)，結(jié)合等差、等比數(shù)列的定義和性質(zhì)判斷A、B；進(jìn)而求出的通項(xiàng)公式，根據(jù)的二次函數(shù)性質(zhì)求最值判斷C、D.【詳解】由題設(shè)知：，故是等差數(shù)列且遞減，又，所以，且，當(dāng)或，的最大值為12.綜上，A、B錯(cuò)誤，C、D正確.故選：CD10.已知橢圓的左，右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)（P不在x軸上），則（）A.橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上 B.△的周長(zhǎng)為C.的取值范圍為 D.橢圓的離心率為【答案】ABD【解析】【分析】由橢圓方程確定橢圓參數(shù)值，A根據(jù)參數(shù)a、b的大小關(guān)系判斷；B由△的周長(zhǎng)為判斷；C根據(jù)橢圓的有界性判斷；D直接求離心率判斷.【詳解】A：由橢圓方程知：，故橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，正確；B：由，且△的周長(zhǎng)為，正確；C：由P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)且不在x軸上，則，錯(cuò)誤；D：橢圓的離心率為，正確.故選：ABD11.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.時(shí)，取得最大值 D.時(shí)，取得最小值【答案】AB【解析】【分析】由圖象可確定的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可得到結(jié)果.【詳解】由圖象可知：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；對(duì)于A，，，A正確；對(duì)于B，，，B正確；對(duì)于C，由單調(diào)性知為極大值，當(dāng)時(shí)，可能存在，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由單調(diào)性知，D錯(cuò)誤.故選：AB.12.已知雙曲線的焦點(diǎn)在圓上，圓與雙曲線的漸近線在第一、二象限分別交于點(diǎn)兩點(diǎn)，若點(diǎn)滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），下列說(shuō)法正確的有（）A.雙曲線的虛軸長(zhǎng)為4 B.雙曲線的離心率為C.直線與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn) D.的面積為8【答案】BD【解析】【分析】由焦點(diǎn)在圓上求得，不妨設(shè)，，由得，然后由，得出的關(guān)系，給可求得得雙曲線方程，然后根據(jù)雙曲線的性質(zhì)判斷各選項(xiàng)．【詳解】由已知，不妨設(shè)，，，，所以，，因?yàn)椋?，，又，解得或（舍去），，A錯(cuò)；，，B正確；雙曲線的漸近線為，因此直線與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn)．C錯(cuò)；由上面討論知，，所以．D正確．故選：BD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的值為_(kāi)____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的特點(diǎn)列方程，解方程求得的值.【詳解】由于等比數(shù)列前項(xiàng)和，本題中，故.故填：.【點(diǎn)睛】本小題主要考查等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的特點(diǎn)，考查觀察與思考的能力，屬于基礎(chǔ)題.14.已知直線與圓交于，兩點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)__________.【答案】【解析】【分析】先求出直線經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)，再求出圓心到定點(diǎn)的距離，數(shù)形結(jié)合即得解.【詳解】由題得，所以直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，圓的圓心為，半徑為.圓心到定點(diǎn)的距離為，當(dāng)時(shí)，取得最小值，且最小值為.故答案為：815.已知拋物線的準(zhǔn)線方程為，在拋物線C上存在A?B兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，設(shè)弦AB的中點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的值為_(kāi)__________.【答案】5【解析】【分析】先運(yùn)用點(diǎn)差法得到，然后通過(guò)兩點(diǎn)距離公式求出結(jié)果．【詳解】解：拋物線的準(zhǔn)線方程為，所以，解得，所以拋物線的方程為，設(shè)點(diǎn)，，，，的中點(diǎn)為，，則，，兩式相減得，即，又因?yàn)?，兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，所以，解得，可得，則，故答案為：5．16.設(shè)函數(shù)，.若對(duì)任何，，恒成立，求的取值范圍______.【答案】【解析】【分析】先把原不等式轉(zhuǎn)化為恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用恒成立，求出的取值范圍.【詳解】因?yàn)閷?duì)任何，，所以對(duì)任何，，所以在上為減函數(shù).，，所以恒成立，即對(duì)恒成立，所以，所以.即的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】恒（能）成立問(wèn)題求參數(shù)的取值范圍：①參變分離，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的最值問(wèn)題；②不能參變分離，直接對(duì)參數(shù)討論，研究的單調(diào)性及最值；③特別地，個(gè)別情況下恒成立，可轉(zhuǎn)換為（二者在同一處取得最值）.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知正項(xiàng)等差數(shù)列滿足，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列前項(xiàng)和．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）設(shè)數(shù)首項(xiàng)為，公差為，由，，列出方程組，求得，，即可求出數(shù)列通項(xiàng)公式；（2），利用列項(xiàng)相消求和法即可得出答案【詳解】（1）設(shè)數(shù)首項(xiàng)為，公差為，由題得.解得，，（負(fù)值舍去）所以；（2）由（1）得則.18.已知橢圓C與橢圓有相同的焦點(diǎn)，且離心率為.（1）橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上的點(diǎn)，且，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意求出即可求解；（2）由橢圓的定義和三角形面積公式求解即可【小問(wèn)1詳解】因?yàn)闄E圓C與橢圓有相同的焦點(diǎn)，所以橢圓C的焦點(diǎn)，，，又，所以，，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】由，，得，，而，所以，所以19.已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，且.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由與的關(guān)系結(jié)合等比數(shù)列的定義得出的通項(xiàng)公式；（2）由（1）得出，再由錯(cuò)位相減法得出的前項(xiàng)和.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，所以.當(dāng)時(shí)，，兩式相減，得，所以，所以，所以是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）得，所以，兩邊同乘以，得，兩式相減，得，所以.20.設(shè)函數(shù).（1）若在點(diǎn)處的切線為，求a，b的值；（2）求的單調(diào)區(qū)間.【答案】（1），；（2）答案見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）已知切線求方程參數(shù)，第一步求導(dǎo)，切點(diǎn)在曲線，切點(diǎn)在切線，切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為切線斜率.(2)第一步定義域，第二步求導(dǎo)，第三步令導(dǎo)數(shù)大于或小于0，求解析，即可得到答案.【小問(wèn)1詳解】的定義域?yàn)?，，因?yàn)樵邳c(diǎn)處的切線為，所以，所以；所以把點(diǎn)代入得：.即a，b的值為：，.【小問(wèn)2詳解】由（1）知：.①當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，令，解得：，列表得：x-0+單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以，時(shí)，的遞減區(qū)間為，單增區(qū)間為.綜上所述：當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，的遞減區(qū)間為，單增區(qū)間為.【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)中得切線問(wèn)題第一步求導(dǎo)，第二步列切點(diǎn)在曲線，切點(diǎn)在切線，切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為切線斜率這三個(gè)方程，可解切線相關(guān)問(wèn)題.21.已知拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，焦點(diǎn)F在x軸的正半軸，F(xiàn)到直線的距離為.點(diǎn)為此拋物線上的一點(diǎn)，.直線l與拋物線交于異于N的兩點(diǎn)A，B，且.（1）求拋物線方程和N點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求證：直線AB過(guò)定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)坐標(biāo).【答案】（1），（2）證明見(jiàn)解析，定點(diǎn)【解析】【分析】（1）設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，利用點(diǎn)到直線距離公式可求出，再利用焦半徑公式可求出N點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)直線的方程為，與拋物線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理計(jì)算，可得關(guān)系，然后代入直線方程可得定點(diǎn).【小問(wèn)1詳解】設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，，其焦點(diǎn)為則，∴所以拋物線的方程為.，所以，所以因?yàn)?，所以，所?【小問(wèn)2詳解】由題意知，直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為（），聯(lián)立方程得設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)，（，）.所以所以，即整理得，此時(shí)恒成立，此時(shí)直線l的方程為，可化為，從而直線過(guò)定點(diǎn).22.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間與極值；（2）若在上有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，函數(shù)有極小值，無(wú)極大值（2）【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后由極值的定義求解即可；（2）分和兩種情況分析求解，當(dāng)時(shí)，不等式變形為在，上有解，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，