函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及應(yīng)用（解析版）

1.了解函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的物理意義，能畫出函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象，了解參數(shù)A，ω，φ對(duì)函數(shù)圖象變化的影響2.解三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型，會(huì)用三角函數(shù)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題熱點(diǎn)題型一函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)圖象及變換例1、已知函數(shù)y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五點(diǎn)法”作出它在一個(gè)周期內(nèi)的圖象；(3)說(shuō)明y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的圖象可由y＝sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變換而得到。解析：(1)y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的振幅A＝2，周期T＝eq\f(2π,2)＝π，初相φ＝eq\f(π,3)。(2)令x′＝2x＋eq\f(π,3)，則y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＝2sinx′。列表：x－eq\f(π,6)eq\f(π,12)eq\f(π,3)eq\f(7π,12)eq\f(5π,6)x′0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πy＝sinx′010－10y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))020－20描點(diǎn)連線得函數(shù)圖象：【提分秘籍】1．在指定區(qū)間[a，b]上畫函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象的方法(1)選取關(guān)鍵點(diǎn)：先求出ωx＋φ的范圍，然后在這個(gè)范圍內(nèi)選取特殊點(diǎn)，連同區(qū)間的兩端點(diǎn)一起列表，此時(shí)列表一般是六個(gè)點(diǎn)。學(xué)=科網(wǎng)(2)確定凹凸趨勢(shì)：令ωx＋φ＝0得x＝x0，則點(diǎn)(x0，y0)兩側(cè)的變化趨勢(shì)與y＝sinx中(0,0)兩側(cè)的變化趨勢(shì)相同，可據(jù)此找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，以此把握凹凸趨勢(shì)。2．兩種不同變換思路中平移單位的區(qū)別由y＝sinx的圖象變換到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)的圖象，兩種變換的區(qū)別：先平移再伸縮，平移的量是|φ|個(gè)單位；而先伸縮再平移，平移的量是eq\f(|φ|,ω)(ω＞0)個(gè)單位。提醒：平移變換和伸縮變換都是針對(duì)x而言，即x本身加減多少值，而不是依賴于ωx加減多少值?！九e一反三】已知函數(shù)y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,4)))。(1)用五點(diǎn)法作出函數(shù)的圖象；(2)說(shuō)明此圖象是由y＝sinx的圖象經(jīng)過怎么樣的變化得到的。解析：(1)列表：xeq\f(π,2)eq\f(3,2)πeq\f(5,2)πeq\f(7,2)πeq\f(9,2)πeq\f(1,2)x－eq\f(π,4)0eq\f(π,2)πeq\f(3,2)π2π3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,4)))030－30描點(diǎn)、連線，如圖所示：方法二：“先伸縮，后平移”先把y＝sinx的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)，得到y(tǒng)＝sineq\f(1,2)x的圖象；再把y＝sineq\f(1,2)x圖象上所有的點(diǎn)向右平移eq\f(π,2)個(gè)單位，得到y(tǒng)＝sineq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,4)))的圖象，最后將y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,4)))的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍(橫坐標(biāo)不變)，就得到y(tǒng)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,4)))的圖象。熱點(diǎn)題型二由圖象求解析式例2、(1)函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω＞0，－\f(π,2)＜φ＜\f(π,2)))的部分圖象如圖所示，則ω，φ的值分別是()A．2，－eq\f(π,3)B．2，－eq\f(π,6)C．4，－eq\f(π,6)D．4，eq\f(π,3)(2)如圖所示是函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＞0，ω＞0，|φ|∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))))圖象的一部分，則f(x)的解析式為__________。答案：（1）A（2）f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x＋\f(π,6)))＋1解析：(1)根據(jù)圖示可知eq\f(1,2)T＝eq\f(11π,12)－eq\f(5π,12)＝eq\f(6π,12)＝eq\f(π,2)，所以函數(shù)的周期為π，可得ω＝2，根據(jù)圖象過eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)，2))代入解析式，結(jié)合－eq\f(π,2)＜φ＜eq\f(π,2)，可得φ＝－eq\f(π,3)，故選A?！咎岱置丶看_定y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)的解析式的步驟(1)求A，B，確定函數(shù)的最大值M和最小值m，則A＝eq\f(M－m,2)，B＝eq\f(M＋m,2)。(2)求ω，確定函數(shù)的周期T，則ω＝eq\f(2π,T)。(3)求φ，常用方法有：①代入法：把圖象上的一個(gè)已知點(diǎn)代入(此時(shí)要注意該點(diǎn)在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上)或把圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)代入。②五點(diǎn)法：確定φ值時(shí)，往往以尋找“五點(diǎn)法”中的特殊點(diǎn)作為突破口．具體如下：“第一點(diǎn)”(即圖象上升時(shí)與x軸的交點(diǎn))為ωx＋φ＝0；“第二點(diǎn)”(即圖象的“峰點(diǎn)”)為ωx＋φ＝eq\f(π,2)；“第三點(diǎn)”(即圖象下降時(shí)與x軸的交點(diǎn))為ωx＋φ＝π；“第四點(diǎn)”(即圖象的“谷點(diǎn)”)為ωx＋φ＝eq\f(3π,2)；“第五點(diǎn)”為ωx＋φ＝2π。【舉一反三】已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＞0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))的圖象如圖所示，則它的解析式為__________?！敬鸢浮縴＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)x＋\f(π,4)))【解析】由圖象得A＝2，eq\f(T,2)＝3－(－1)＝4，所以T＝8。ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(2π,8)＝eq\f(1,4)π，又eq\f(1,4)π×(－1)＋φ＝2kπ，k∈Z，且|φ|＜eq\f(π,2)，所以φ＝eq\f(π,4)，所以y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)x＋\f(π,4)))。熱點(diǎn)題型三函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象與性質(zhì)例3．【2017課標(biāo)3，理6】設(shè)函數(shù)f(x)=cos(x+)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是A．f(x)的一個(gè)周期為?2π B．y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=對(duì)稱C．f(x+π)的一個(gè)零點(diǎn)為x= D．f(x)在(,π)單調(diào)遞減【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)不單調(diào)，選擇D選項(xiàng).【變式探究】已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，ω，A＞0,0＜φ＜eq\f(π,2))的最大值為2，最小正周期為π，直線x＝eq\f(π,6)是其圖象的一條對(duì)稱軸。(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)求函數(shù)g(x)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,12)))－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,12)))的單調(diào)遞增區(qū)間。解析：(1)由題意，得A＝2，ω＝eq\f(2π,π)＝2，當(dāng)x＝eq\f(π,6)時(shí)，2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,6)＋φ))＝±2，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋φ))＝±1，所以eq\f(π,3)＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)，解得φ＝kπ＋eq\f(π,6)，又0＜φ＜eq\f(π,2)，所以φ＝eq\f(π,6)。故f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))?！咎岱置丶亢瘮?shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性質(zhì)(1)奇偶性：φ＝kπ時(shí)，函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)為奇函數(shù)；φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)時(shí)，函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)為偶函數(shù)。(2)周期性：y＝Asin(ωx＋φ)存在周期性，其最小正周期為T＝eq\f(2π,ω)。(3)單調(diào)性：根據(jù)y＝sint和t＝ωx＋φ(ω＞0)的單調(diào)性來(lái)研究，由－eq\f(π,2)＋2kπ≤ωx＋φ≤eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)得單調(diào)增區(qū)間；由eq\f(π,2)＋2kπ≤ωx＋φ≤eq\f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)得單調(diào)減區(qū)間。(4)對(duì)稱性：利用y＝sinx的對(duì)稱中心為(kπ，0)(k∈Z)求解，令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求得中心坐標(biāo)。利用y＝sinx的對(duì)稱軸為x＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)求解，令ωx＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)得其對(duì)稱軸?！九e一反三】已知函數(shù)f(x)＝eq\r(3)sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)(0＜φ＜π，ω＞0)為偶函數(shù)，且函數(shù)y＝f(x)圖象的兩相鄰對(duì)稱軸間的距離為eq\f(π,2)。(1)求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)))的值；(2)求函數(shù)y＝f(x)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))的最大值及對(duì)應(yīng)的x的值。(2)y＝2cos2x＋2cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＝2cos2x＋2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))＝2cos2x－2sin2x＝2eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－2x))。令eq\f(π,4)－2x＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，y有最大值2eq\r(2)，所以當(dāng)x＝－kπ－eq\f(π,8)(k∈Z)時(shí)，y有最大值2eq\r(2)。熱點(diǎn)題型四函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)模型的應(yīng)用例4、某實(shí)驗(yàn)室一天的溫度(單位：℃)隨時(shí)間t(單位：h)的變化近似滿足函數(shù)關(guān)系：f(t)＝10－eq\r(3)coseq\f(π,12)t－sineq\f(π,12)t，t∈[0,24)。(1)求實(shí)驗(yàn)室這一天上午8時(shí)的溫度；(2)求實(shí)驗(yàn)室這一天的最大溫差。解析：(1)f(8)＝10－eq\r(3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)×8))－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)×8))＝10－eq\r(3)coseq\f(2π,3)－sineq\f(2π,3)＝10－eq\r(3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))－eq\f(\r(3),2)＝10。故實(shí)驗(yàn)室上午8時(shí)的溫度為10℃(2)因?yàn)閒(t)＝10－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)cos\f(π,12)t＋\f(1,2)sin\f(π,12)t))＝10－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))，又0≤t＜24，所以eq\f(π,3)≤eq\f(π,12)t＋eq\f(π,3)＜eq\f(7π,3)，－1≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))≤1。當(dāng)t＝2時(shí)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))＝1；當(dāng)t＝14時(shí)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))＝－1。于是f(t)在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8。故實(shí)驗(yàn)室這一天最高溫度為12℃，最低溫度為8℃，最大溫差為【提分秘籍】三角函數(shù)模型的應(yīng)用三角函數(shù)模型的應(yīng)用體現(xiàn)在兩方面：一是已知函數(shù)模型求解數(shù)學(xué)問題，二是把實(shí)際問題抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型，再利用三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)解決問題?！九e一反三】某城市一年中12個(gè)月的平均氣溫與月份的關(guān)系可近似地用函數(shù)y＝a＋Acoseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x－6))(x＝1,2,3，…，12)來(lái)表示，已知6月份的月平均氣溫最高為28℃，12月份的月平均氣溫最低為18℃，則10月份的平均氣溫為__________℃。答案：20.5解析：因?yàn)楫?dāng)x＝6時(shí)，y＝a＋A＝28；當(dāng)x＝12時(shí)，y＝a－A＝18，所以a＝23，A＝5，所以y＝f(x)＝23＋5coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x－6))，所以當(dāng)x＝10時(shí)，f(10)＝23＋5coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)×4))＝23－5×eq\f(1,2)＝20.5。1.【2017天津，理7】設(shè)函數(shù)，，其中，.若，，且的最小正周期大于，則（A）， （B）， （C）， （D），【答案】A【解析】由題意，其中，所以，又，所以，所以，，由得，故選A．2【2017課標(biāo)1，理9】已知曲線C1：y=cosx，C2：y=sin(2x+)，則下面結(jié)論正確的是A.把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線C2B.把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線C2C.把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線C2D.把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線C2【答案】D【考點(diǎn)】三角函數(shù)圖像變換.3.【2017課標(biāo)3，理6】設(shè)函數(shù)f(x)=cos(x+)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是A．f(x)的一個(gè)周期為?2π B．y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=對(duì)稱C．f(x+π)的一個(gè)零點(diǎn)為x= D．f(x)在(,π)單調(diào)遞減【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)不單調(diào)，選擇D選項(xiàng).【考點(diǎn)】函數(shù)的性質(zhì)1.【2016年高考四川理數(shù)】為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)()（A）向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度（B）向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度（C）向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度（D）向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】D【解析】由題意，為了得到函數(shù)，只需把函數(shù)的圖像上所有點(diǎn)向右移個(gè)單位，故選D.2.【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】若將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，則平移后圖象的對(duì)稱軸為（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】由題意，將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位得，則平移后函數(shù)的對(duì)稱軸為，即，故選B.3.【2016年高考北京理數(shù)】將函數(shù)圖象上的點(diǎn)向左平移（）個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)，若位于函數(shù)的圖象上，則（）A.，的最小值為B.，的最小值為C.，的最小值為QUOTED.，的最小值為【答案】A【解析】由題意得，，當(dāng)s最小時(shí)，所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，此時(shí)，故選A.4.【2016高考新課標(biāo)3理數(shù)】函數(shù)QUOTE的圖像可由函數(shù)QUOTE的圖像至少向右平移_____________個(gè)單位長(zhǎng)度得到．【答案】【2015高考山東，理3】要得到函數(shù)的圖象，只需要將函數(shù)的圖象（）（A）向左平移個(gè)單位

（B）向右平移個(gè)單位（C）向左平移個(gè)單位

（D）向右平移個(gè)單位【答案】B【解析】因?yàn)?，所以要得到函?shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位.故選B.【2015高考陜西，理3】如圖，某港口一天6時(shí)到18時(shí)的水深變化曲線近似滿足函數(shù)，據(jù)此函數(shù)可知，這段時(shí)間水深（單位：m）的最大值為（）A．5B．6C．8D．10【答案】C【解析】由圖象知：，因?yàn)?，所以，解得：，所以這段時(shí)間水深的最大值是，故選C．【2015高考湖南，理9】將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖像，若對(duì)滿足的，，有，則（）A.B.C.D.【答案】D.【2015高考湖北，理17】某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí)，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如下表：0050（Ⅰ）請(qǐng)將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整，填寫在答題卡上相應(yīng)位置，并直接寫出函數(shù)的解析式；（Ⅱ）將圖象上所有點(diǎn)向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象.若圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為，求的最小值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）根據(jù)表中已知數(shù)據(jù)，解得.數(shù)據(jù)補(bǔ)全如下表：00500且函數(shù)表達(dá)式為.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，得.因?yàn)榈膶?duì)稱中心為，.令，解得，.由于函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，令，解得，.由可知，當(dāng)時(shí)，取得最小值.（2014·四川卷）為了得到函數(shù)y＝sin(2x＋1)的圖像，只需把函數(shù)y＝sin2x的圖像上所有的點(diǎn)()A．向左平行移動(dòng)eq\f(1,2)個(gè)單位長(zhǎng)度B．向右平行移動(dòng)eq\f(1,2)個(gè)單位長(zhǎng)度C．向左平行移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度D．向右平行移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】A【解析】因?yàn)閥＝sin(2x＋1)＝sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))，所以為得到函數(shù)y＝sin(2x＋1)的圖像，只需要將y＝sin2x的圖像向左平行移動(dòng)eq\f(1,2)個(gè)單位長(zhǎng)度．（2014·安徽卷）若將函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))的圖像向右平移φ個(gè)單位，所得圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，則φ的最小正值是________．【答案】eq\f(3π,8)（2014·北京卷）設(shè)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常數(shù)，A>0，ω>0)．若f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))上具有單調(diào)性，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))，則f(x)的最小正周期為________．【答案】π【解析】結(jié)合圖像得eq\f(T,4)＝eq\f(\f(π,2)＋\f(2π,3),2)－eq\f(\f(π,2)＋\f(π,6),2)，即T＝π.（2014·福建卷）已知函數(shù)f(x)＝cosx(sinx＋cosx)－eq\f(1,2).(1)若0<α<eq\f(π,2)，且sinα＝eq\f(\r(2),2)，求f(α)的值；(2)求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間．【解析】方法一：(1)因?yàn)?<α<eq\f(π,2)，sinα＝eq\f(\r(2),2)，所以cosα＝eq\f(\r(2),2).所以f(α)＝eq\f(\r(2),2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)＋\f(\r(2),2)))－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).(2)因?yàn)閒(x)＝sinxcosx＋cos2x－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)sin2x＋eq\f(1＋cos2x,2)－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)sin2x＋eq\f(1,2)cos2x＝eq\f(\r(2),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))，所以T＝eq\f(2π,2)＝π.由2kπ－eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,4)≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，得kπ－eq\f(3π,8)≤x≤kπ＋eq\f(π,8)，k∈Z.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(3π,8)，kπ＋\f(π,8)))，k∈Z.方法二：f(x)＝sinxcosx＋cos2x－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)sin2x＋eq\f(1＋cos2x,2)－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)sin2x＋eq\f(1,2)cos2x＝eq\f(\r(2),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4))).(1)因?yàn)?<α<eq\f(π,2)，sinα＝eq\f(\r(2),2)，所以α＝eq\f(π,4)，從而f(α)＝eq\f(\r(2),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2)sineq\f(3π,4)＝eq\f(1,2).(2)T＝eq\f(2π,2)＝π.由2kπ－eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,4)≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，得kπ－eq\f(3π,8)≤x≤kπ＋eq\f(π,8)，k∈Z.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(3π,8)，kπ＋\f(π,8)))，k∈Z.（2014·廣東卷）若空間中四條兩兩不同的直線l1，l2，l3，l4滿足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，則下列結(jié)論一定正確的是()學(xué)！科網(wǎng)A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1與l4既不垂直也不平行D．l1與l4的位置關(guān)系不確定【答案】D【解析】本題考查空間中直線的位置關(guān)系，構(gòu)造正方體進(jìn)行判斷即可．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)BB1是直線l1，BC是直線l2，AB是直線l3，則DD1是直線l4，l1∥l4；設(shè)BB1是直線l1，BC是直線l2，CC1是直線l3，CD是直線l4，則l1⊥l4.故l1與l4的位置關(guān)系不確定．（2014·湖北卷）某實(shí)驗(yàn)室一天的溫度(單位：℃)隨時(shí)間t(單位：h)的變化近似滿足函數(shù)關(guān)系：f(t)＝10－eq\r(3)coseq\f(π,12)t－sineq\f(π,12)t，t∈[0，24)．(1)求實(shí)驗(yàn)室這一天的最大溫差．(2)若要求實(shí)驗(yàn)室溫度不高于11℃，則在哪段時(shí)間實(shí)驗(yàn)室需要降溫？【解析】(1)因?yàn)閒(t)＝10－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)cos\f(π,12)t＋\f(1,2)sin\f(π,12)t))＝10－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))，又0≤t<24，所以eq\f(π,3)≤eq\f(π,12)t＋eq\f(π,3)<eq\f(7π,3)，－1≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))≤1.當(dāng)t＝2時(shí)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))＝1；當(dāng)t＝14時(shí)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))＝－1.于是f(t)在[0，24)上取得的最大值是12，最小值是8.故實(shí)驗(yàn)室這一天的最高溫度為12℃，最低溫度為8℃，最大溫差為4℃.（2014·江西卷）已知函數(shù)f(x)＝sin(x＋θ)＋acos(x＋2θ)，其中a∈R，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))).(1)當(dāng)a＝eq\r(2)，θ＝eq\f(π,4)時(shí)，求f(x)在區(qū)間[0，π]上的最大值與最小值；(2)若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝0，f(π)＝1，求a，θ的值．【解析】(1)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＋eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＝eq\f(\r(2),2)(sinx＋cosx)－eq\r(2)sinx＝eq\f(\r(2),2)cosx－eq\f(\r(2),2)sinx＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x)).因?yàn)閤∈[0，π]，所以eq\f(π,4)－x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3π,4)，\f(π,4)))，故f(x)在區(qū)間[0，π]上的最大值為eq\f(\r(2),2)，最小值為－1.(2)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝0，,f（π）＝1，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(cosθ（1－2asinθ）＝0，,2asin2θ－sinθ－a＝1.))又θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，知cosθ≠0，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－2asinθ＝0，,（2asinθ－1）sinθ－a＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,θ＝－\f(π,6).))（2014·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ]設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\r(3)sineq\f(πx,m)，若存在f(x)的極值點(diǎn)x0滿足xeq\o\al(2,0)＋[f(x0)]2＜m2，則m的取值范圍是()A．(－∞，－6)∪(6，＋∞)B．(－∞，－4)∪(4，＋∞)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)【答案】C（2014·山東卷）已知向量a＝(m，cos2x)，b＝(sin2x，n)，函數(shù)f(x)＝a·b，且y＝f(x)的圖像過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\r(3)))和點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，－2)).(1)求m，n的值；(2)將y＝f(x)的圖像向左平移φ(0＜φ＜π)個(gè)單位后得到函數(shù)y＝g(x)的圖像，若y＝g(x)圖像上各最高點(diǎn)到點(diǎn)(0，3)的距離的最小值為1，求y＝g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間．【解析】(1)由題意知，f(x)＝＝msin2x＋ncos2x.因?yàn)閥＝f(x)的圖像過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\r(3)))和點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，－2))，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(3)＝msin\f(π,6)＋ncos\f(π,6)，,－2＝msin\f(4π,3)＋ncos\f(4π,3)，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(3)＝\f(1,2)m＋\f(\r(3),2)n，,－2＝－\f(\r(3),2)m－\f(1,2)n，))解得m＝eq\r(3)，n＝1.(2)由(1)知f(x)＝eq\r(3)sin2x＋cos2x＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))).由題意知，g(x)＝f(x＋φ)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋2φ＋\f(π,6))).設(shè)y＝g(x)的圖像上符合題意的最高點(diǎn)為(x0，2)．由題意知，xeq\o\al(2,0)＋1＝1，所以x0＝0，即到點(diǎn)(0，3)的距離為1的最高點(diǎn)為(0，2)．將其代入y＝g(x)得，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2φ＋\f(π,6)))＝1.因?yàn)?<φ<π，所以φ＝eq\f(π,6).因此，g(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))＝2cos2x.由2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z得kπ－eq\f(π,2)≤x≤kπ，k∈Z，所以函數(shù)y＝g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ))，k∈Z.（2014·陜西卷）函數(shù)f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))的最小正周期是()A.eq\f(π,2)B．πC．2πD．4π【答案】B【解析】已知函數(shù)y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的周期為T＝eq\f(2π,ω)，故函數(shù)f(x)的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π.（2014·四川卷）已知函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,4))).(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若α是第二象限角，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,3)))＝eq\f(4,5)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))cos2α，求cosα－sinα的值．【解析】(1)因?yàn)楹瘮?shù)y＝sinx的單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ))，k∈Z，由－eq\f(π,2)＋2kπ≤3x＋eq\f(π,4)≤eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，得－eq\f(π,4)＋eq\f(2kπ,3)≤x≤eq\f(π,12)＋eq\f(2kπ,3)，k∈Z.所以，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)＋\f(2kπ,3)，\f(π,12)＋\f(2kπ,3)))，k∈Z.(2)由已知，得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(4,5)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))(cos2α－sin2α)，所以sinαcoseq\f(π,4)＋cosαsineq\f(π,4)＝eq\f(4,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosαcos\f(π,4)－sinαsin\f(π,4)))(cos2α－sin2α)，即sinα＋cosα＝eq\f(4,5)(cosα－sinα)2(sinα＋cosα)．當(dāng)sinα＋cosα＝0時(shí)，由α是第二象限角，得α＝eq\f(3π,4)＋2kπ，k∈Z，此時(shí)，cosα－sinα＝－eq\r(2).當(dāng)sinα＋cosα≠0時(shí)，(cosα－sinα)2＝eq\f(5,4).由α是第二象限角，得cosα－sinα<0，此時(shí)cosα－sinα＝－eq\f(\r(5),2).綜上所述，cosα－sinα＝－eq\r(2)或－eq\f(\r(5),2).（2014·天津卷）已知函數(shù)f(x)＝cosx·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))－eq\r(3)cos2x＋eq\f(\r(3),4)，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在閉區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))上的最大值和最小值．(2)因?yàn)閒(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，－\f(π,12)))上是減函數(shù)，在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)，\f(π,4)))上是增函數(shù)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))＝－eq\f(1,4)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)))＝－eq\f(1,2)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝eq\f(1,4)，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))上的最大值為eq\f(1,4)，最小值為－eq\f(1,2).（2014·浙江卷）為了得到函數(shù)y＝sin3x＋cos3x的圖像，可以將函數(shù)y＝eq\r(2)cos3x的圖像()A．向右平移eq\f(π,4)個(gè)單位B．向左平移eq\f(π,4)個(gè)單位C．向右平移eq\f(π,12)個(gè)單位D．向左平移eq\f(π,12)個(gè)單位【答案】C【解析】y＝sin3x＋cos3x＝eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,4)))＝eq\r(2)coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,12)))))，所以將函數(shù)y＝eq\r(2)cos3x的圖像向右平移eq\f(π,12)個(gè)單位可以得到函數(shù)y＝sin3x＋cos3x的圖像，故選C.（2014·重慶卷）已知函數(shù)f(x)＝eq\r(3)sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，－\f(π,2)≤φ<\f(π,2)))的圖像關(guān)于直線x＝eq\f(π,3)對(duì)稱，且圖像上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為π.(1)求ω和φ的值；(2)若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)))＝eq\f(\r(3),4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)<α<\f(2π,3)))，求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(3π,2)))的值．【解析】(1)因?yàn)閒(x)的圖像上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為π，所以?(x)的最小正周期T＝π，從而ω＝eq\f(2π,T)＝2.又因?yàn)閒(x)的圖像關(guān)于直線x＝eq\f(π,3)對(duì)稱，所以2×eq\f(π,3)＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)，k＝0，±1，±2，….因?yàn)椋璭q\f(π,2)≤φ＜eq\f(π,2)，所以φ＝－eq\f(π,6).(2)由(1)得?eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)))＝eq\r(3)sin(2×eq\f(α,2)－eq\f(π,6))＝eq\f(\r(3),4)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝eq\f(1,4).由eq\f(π,6)＜α＜eq\f(2π,3)得0＜α－eq\f(π,6)＜eq\f(π,2)，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝eq\r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6))))＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(15),4).因此coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(3π,2)))＝sinα＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（α－\f(π,6)）＋\f(π,6)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))coseq\f(π,6)＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))sineq\f(π,6)＝eq\f(1,4)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(\r(15),4)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(3)＋\r(15),8).1．為了得到函數(shù)y＝sin(x＋1)的圖象，只需把函數(shù)y＝sinx的圖象上所有的點(diǎn)()A．向左平行移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度B．向右平行移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度C．向左平行移動(dòng)π個(gè)單位長(zhǎng)度D．向右平行移動(dòng)π個(gè)單位長(zhǎng)度解析：由圖象平移的規(guī)律“左加右減”，可知選A。答案：A2．若將函數(shù)f(x)＝sin2x＋cos2x的圖象向右平移φ個(gè)單位，所得圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則φ的最小正值是()A.eq\f(π,8)B.eq\f(π,4)C.eq\f(3π,8)D.eq\f(3π,4)解析：f(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))，將函數(shù)f(x)的圖象向右平移φ個(gè)單位后所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)－2φ))，由該函數(shù)為偶函數(shù)可知2φ－eq\f(π,4)＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，即φ＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(3π,8)，k∈Z，所以φ的最小正值為eq\f(3π,8)。答案：C3．為了得到函數(shù)y＝sin3x＋cos3x的圖象，可以將函數(shù)y＝eq\r(2)cos3x的圖象()A．向右平移eq\f(π,12)個(gè)單位B．向右平移eq\f(π,4)個(gè)單位C．向左平移eq\f(π,12)個(gè)單位D．向左平移eq\f(π,4)個(gè)單位解析：因?yàn)閥＝sin3x＋cos3x＝eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,4)))，所以將y＝eq\r(2)cos3x的圖象向右平移eq\f(π,12)個(gè)單位后可得到y(tǒng)＝eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,4)))的圖象。答案：A4．將函數(shù)y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的圖象向右平移eq\f(π,2)個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)()A．在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(7π,12)))上單調(diào)遞減B．在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(7π,12)))上單調(diào)遞增C．在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,3)))上單調(diào)遞減D．在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,3)))上單調(diào)遞增解析：由題可得平移后的函數(shù)為y＝3sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))＋\f(π,3)))＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(2π,3)))，令2kπ－eq\f(π,2)≤2x－eq\f(2π,3)≤2kπ＋eq\f(π,2)，解得kπ＋eq\f(π,12)≤x≤kπ＋eq\f(7π,12)，故該函數(shù)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,12)，kπ＋\f(7π,12)))(k∈Z)上單調(diào)遞增，當(dāng)k＝0時(shí)，選項(xiàng)B滿足條件，故選B。答案：B5．將函數(shù)y＝sin2x＋cos2x的圖象向左平移eq\f(π,4)個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式可以是()A．y＝cos2x＋sin2xB．y＝cos2x－sin2xC．y＝sin2x－cos2xD．y＝sinxcosx解析：y＝sin2x＋cos2x＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))eq\o(――→,\s\up7(向左平移),\s\do5(\f(π,4)個(gè)單位))y＝eq\r(2)sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＋\f(π,4)))＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)＋\f(π,2)))＝eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))＝cos2x－sin2x。答案：B6．函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0，|φ|＜eq\f(π,2))的圖象如圖所示，為了得到g(x)＝sin2x的圖象，則只需將f(x)的圖象()A．向左平移eq\f(π,6)個(gè)長(zhǎng)度單位B．向右平移eq\f(π,3)個(gè)長(zhǎng)度單位C．向右平移eq\f(π,6)個(gè)長(zhǎng)度單位D．向左平移eq\f(π,3)個(gè)長(zhǎng)度單位解析：由函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的圖象可得A＝1，根據(jù)eq\f(T,4)＝eq\f(1,4)·eq\f(2π,ω)＝eq\f(7π,12)－eq\f(π,3)，求得ω＝2，再根據(jù)五點(diǎn)法作圖可得2×eq\f(π,3)＋φ＝π，求得φ＝eq\f(π,3)，∴f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＝sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))，故把f(x)的圖象向右平移eq\f(π,6)個(gè)長(zhǎng)度單位，可得g(x)＝sin2x的圖象。答案：C7．將函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，－eq\f(π,2)≤φ＜eq\f(π,2))圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的一半，縱坐標(biāo)不變，再向右平移eq\f(π,6)個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)＝sinx的圖象，則feq\b\lc\(\r