遼寧省六校協(xié)作體2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1遼寧省六校協(xié)作體2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.）1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由題意可知：.故選：D.2.“”是“”的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由得且，所以且，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：B.3.某服裝加工廠為了適應(yīng)市場(chǎng)需求，引進(jìn)某種新設(shè)備，以提高生產(chǎn)效率和降低生產(chǎn)成本已知購買m臺(tái)設(shè)備總成本為（單位：萬元）．若要使每臺(tái)設(shè)備的平均成本最低，則應(yīng)購買設(shè)備（）A.100臺(tái) B.200臺(tái) C.300臺(tái) D.400臺(tái)【答案】B【解析】由題意，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以應(yīng)購買臺(tái)，使得每臺(tái)設(shè)備的平均成本最低.故選：B.4.已知的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)椋ǎ〢. B.C. D.【答案】D【解析】依題意，的定義域?yàn)?，由得，則，解得，所以的定義域?yàn)?故選：D.5.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因?yàn)椋?，定義域?yàn)椋灰驗(yàn)?，所以，故，所以為奇函?shù)，排除B，當(dāng)趨向于正無窮大時(shí)，、均趨向于正無窮大，但隨變大，的增速比快，所以趨向于，排除D，由，，則，排除C.故選：A.6.已知定義在R上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，則滿足的x的取值范圍是（）A. B.C D.【答案】A【解析】定義在R上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，故，函數(shù)在和上滿足，在和上滿足，，當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即，綜上所述：.故選：A.7.已知關(guān)于x的不等式的解集為，其中，則的最小值為（）A.4 B. C.2 D.1【答案】C【解析】由題意關(guān)于x的不等式的解集為，其中，可知，且為的兩根，且，即，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故選：C.8.對(duì)于實(shí)數(shù)和，定義運(yùn)算“”：，設(shè)，且關(guān)于的方程恰有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由可得，由可得，所以根據(jù)題意得，即，做出函數(shù)的圖像如圖，當(dāng)時(shí)，開口向下，對(duì)稱軸為，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為，函數(shù)的圖像和直線有三個(gè)不同的交點(diǎn)，可得的取值范圍是.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每題5分，漏選得2分，共20分.）9.已知是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且，則（）A.是奇函數(shù) B.是奇函數(shù)C.是奇函數(shù) D.是奇函數(shù)【答案】CD【解析】是奇函數(shù)，；是偶函數(shù)，；對(duì)于A，，不是奇函數(shù)，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，不是奇函數(shù)，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，是奇函數(shù)，C正確；對(duì)于D，，是奇函數(shù)，D正確.故選：CD.10.下列命題正確的是（）A.設(shè)，不等式的一個(gè)必要不充分條件是B.“”是“”的充分不必要條件C.設(shè)則“”是“”的必要不充分條件D.命題“”是真命題的實(shí)數(shù)的取值范圍為【答案】BD【解析】A選項(xiàng)，由得，所以是的充分不必要條件，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，，解得或，所以“”是“”的充分不必要條件，所以B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)，若“”，則，若，則可能，不能得到，所以“”是“”的充分不必要條件，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，“”是真命題，即在區(qū)間上恒成立，所以，解得，所以D選項(xiàng)正確.故選：BD.11.下列命題中正確的是（）A.若，則B.若，則的最小值為6C.若，則的最小值為D.若，，則的最小值為2【答案】ACD【解析】對(duì)于A項(xiàng)，易知，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)，故A正確；對(duì)于B項(xiàng)，設(shè)，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，故C正確；對(duì)于D項(xiàng)，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取得等號(hào)，故D正確.故選：ACD.12.高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：，.已知函數(shù)，，則下列敘述中錯(cuò)誤的是（）A.在上是增函數(shù) B.是奇函數(shù)C.的值域是 D.的值域是【答案】BC【解析】根據(jù)題意知，，在定義域上單調(diào)遞增，且，在上單調(diào)遞增，∴在上是增函數(shù)，故A正確；∵，，∴，，∴函數(shù)既不奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；∵，∴，，，∴，即，∴，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：BC.三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.）13.函數(shù)的值域?yàn)開_________．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所?故值域?yàn)椋海?4.已知函數(shù)是一次函數(shù)，滿足，則___________.【答案】或【解析】設(shè)，則，，所以，解得，或，所以或.故答案為：或.15.已知實(shí)數(shù)，，且，則的最小值是___________.【答案】【解析】依題意，由整理得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故答案為：.16.已知函數(shù)，為常數(shù)，若有最大值，則的取值范圍是___________.【答案】【解析】畫出的圖象，如下圖所示，由解得或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，①對(duì)于二次函數(shù)，函數(shù)的圖象開口向下，對(duì)稱軸，當(dāng)時(shí)，；②對(duì)于指數(shù)型函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，對(duì)于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，沒有最大值，綜上所述，的取值范圍是.故答案為：.四、解答題（本題共6小題，共70分.）17.計(jì)算：（1）；（2）.解：（1）原式（2）原式.18.已知集合，集合.（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）由，解得：，所以，當(dāng)時(shí)，，.（2）因?yàn)?，所以，由第一問可知，?dāng)時(shí)，，解得：，當(dāng)時(shí)，要滿足題意需，解之得：，綜上：實(shí)數(shù)的取值范圍為.19已知二次函數(shù).（1）若，不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，存在使不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）若，則，，因?yàn)椴坏仁綄?duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，則，解得，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2）若，不等式即為：，當(dāng)時(shí)，可變形為：，即，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，，即，實(shí)數(shù)的取值范圍是：.20.已知，是關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（1）若，求m的值；（2）求的最小值．解：（1）因?yàn)?，是關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以，即，所以，所以，整理得，解得（舍去）或，所以.（2）由（1）可得，令，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值.21.已知．（1）判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性（不必證明）；（2）若不等式對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解：（1）因?yàn)槎x域?yàn)?，所以，所以為奇函?shù)，又在定義域上單調(diào)遞增，在定義域上單調(diào)遞減，所以在定義域上單調(diào)遞增，即函數(shù)是R上的奇函數(shù)，且在R上是嚴(yán)格增函數(shù)．（2）因?yàn)槭荝上的奇函數(shù)且為嚴(yán)格增函數(shù)，所以由，可得，即對(duì)一切恒成立，令，，設(shè)，所以，即，解得．22.已知函數(shù)是定義域上的奇函數(shù)，且．（1）求函數(shù)的解析式，判斷函數(shù)在上的單調(diào)性并證明；（2）令，若函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）令，若對(duì)，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1），且是奇函數(shù)，，，解得，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，證明如下：任取，，且，則，，且，，，∴，，即，函數(shù)在上單調(diào)遞減，同理可證明函數(shù)在上單調(diào)