廣東省廣州市荔灣區(qū)2024屆高三上學期十月月考數(shù)學試題（解析版）

PAGEPAGE1廣東省廣州市荔灣區(qū)2024屆高三上學期十月月考數(shù)學試題一、選擇題1.已知集合，，若，則實數(shù)的值為（）A.2 B.1 C. D.【答案】A【解析】因為，且，所以，則或，解得或或，當或時，此時集合不滿足集合元素的互異性，故舍去；當時，，滿足，符合題意.故選：A.2.已知、為實數(shù)，是關于的方程的一個根，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為、為實數(shù)，是關于的方程的一個根，所以，關于的方程的兩個虛根分別為、，由韋達定理可得，可得，，解得，故.故選：B.3.若為奇函數(shù)，則實數(shù)（）A. B. C. D.【答案】D【解析】對于函數(shù)，有，解得，所以，函數(shù)的定義域為，因為函數(shù)為奇函數(shù)，則，即對任意的恒成立，所以，，所以，，解得，.故選：D.4.從某小區(qū)抽取100戶居民進行月用電量調查，發(fā)現(xiàn)他們的用電量都在之間，進行適當分組后（每組為左閉右開的區(qū)間），畫出頻率分布直方圖如圖所示.則在被調查的用戶中，月用電量的第71百分位數(shù)為（）A.205 B.215 C.225 D.235【答案】C【解析】，解得，在這組數(shù)據(jù)中對應的頻率為，對應的頻率為，所以這組數(shù)據(jù)第71百分位數(shù)在中，設第71百分位數(shù)為，則，解得.故選：C.5.已知是鈍角，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，等式兩邊平方可得，所以，，又因為是鈍角，則，因此，.故選：D.6.從橢圓上一點（在軸上方）向軸作垂線，垂足恰好為左焦點，是橢圓與軸正半軸的交點，是橢圓與軸正半軸的交點，且，其中為坐標原點，則與的面積比為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】易知點的橫坐標為，設點，其中，將點的坐標代入橢圓方程可得，解得，即點，由題意可知點、，因為，則，即，整理可得，則，所以，.故選：B.7.已知是等差數(shù)列的前項和，為數(shù)列的前項和，若，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設等差數(shù)列的公差為，則，由可得，整理可得，解得，，所以，，則，則，所以，數(shù)列為等差數(shù)列，所以，.故選：A.8.已知函數(shù)在上沒有零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為在上沒有零點，則，當時，，則，又由正弦線可知，當時，，所以恒成立，故滿足題意；當時，因為，因為，，則，當時，，，所以當，即時，；當，即時，；所以在上單調遞減，在上單調遞增，此時，，則在上至少有一零點，不滿足題意；當時，令，得或，不妨設，使得，顯然，所以當，即時，；當或，即或時，，所以在上單調遞減，在，上單調遞增，則，又，所以要使在沒有零點，只需即可，則，解得，故；綜上：，即的取值范圍為.故選：D.二、選擇題9.過所在平面外一點，作平面，垂足為，連接、、.下列說法正確的是（）A.若，則點是的重心B.若點到三條邊的距離相等，則點是的內心C.若，，，則點是的垂心D.若、、與平面所成的角均相等，則點是的外心【答案】BCD【解析】如下圖所示：對于A選項，因為平面，、、平面，則，，，因為，則，所以，，所以，點是的外心，A錯；對于B選項，過點在平面內作，垂足為點，過點在平面內作，垂足為點，過點在平面內作，垂足為點，連接、、，因為平面，、平面，則，，又因為，，、平面，所以，平面，又因平面，所以，，所以，，同理可知，，，且，，由題意，，所以，，此時，為的內心，B對；對于C選項，因為，，，、平面，所以，平面，又因為平面，所以，，因為平面，平面，所以，，因為，、平面，所以，平面，因為平面，所以，，同理可證，，，此時，為的垂心，C對；對于D選項，因為平面，則、、與平面所成的角分別為、、，由題意可知，，所以，，即，所以，點是的外心，D對.故選：BCD.10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，圖象經(jīng)過點和點，且在區(qū)間上單調，則（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】由圖可知，，可得，所以，，又因為，則，函數(shù)在附近單調遞減，所以，，則，因為函數(shù)的圖象過點，則，可得，因為函數(shù)在區(qū)間上單調，則，所以，，即，解得，因為，則，，所以，，當時，，此時，函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，合乎題意，A錯，C錯，，B對；，所以，函數(shù)的圖象關于點對稱，所以，，D對.故選：BD.11.我國南宋數(shù)學家楊輝在年所著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的表，即楊輝三角，這是數(shù)學史上的一個偉大成就.該表蘊含著許多的數(shù)學規(guī)律，下列結論正確的是（）第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051第6行1615201561…………A.B.，，，C.從左往右逐行數(shù)，第項在第行第個D.第行到第行的所有數(shù)字之和為【答案】AC【解析】對于A選項，由組合數(shù)的計算性質，所以，，A對；對于B選項，，B錯；對于C選項，第行共有項，從左往右逐行數(shù)，第行最后一項對應的項數(shù)為，因為，且，所以，從左往右逐行數(shù)，第項在第行第個，C對；對于D選項，第行所有項之和為，所以，第行到第行的所有數(shù)字之和為，D錯.故選：AC12.已知過點，傾斜角為的直線與拋物線相交于、兩點（點在第一象限）.過線段的中點作平行于軸的直線，分別與拋物線和其準線相交于點、.則下列說法正確的是（）A. B.C. D.直線與拋物線相切【答案】ABD【解析】由題意可知，直線的方程為，設點、、，聯(lián)立可得，則，由韋達定理可得，所以，，則，故點，所以，直線的方程為，由可得，即點，拋物線的準線方程為，所以，點，易知點為線段的中點，所以，，A對；，，所以，，即，所以，，B對；解方程可得，，所以，，即點，，即點，所以，，C錯；，所以，直線的方程為，即，聯(lián)立直線和拋物線的方程得，可得，，所以，直線與拋物線相切，D對.故選：ABD.三、填空題13.已知向量、滿足，，與的夾角為，則______.【答案】【解析】因為向量、滿足，，與的夾角為，則.故答案為：.14.已知直線l：與：交于A，B兩點，寫出滿足“為直角三角形”的一個圓心C的坐標______.【答案】（答案不唯一）【解析】由題意，是等腰直角三角形，可得圓心到直線的距離等于，又圓心到直線的距離為，，化簡得，或，取，，所以為直角三角形的一個圓心坐標為.故答案為：.15.如圖，一個圓錐形容器中盛有水，圓錐的高PO為2.若底面水平放置時，水面高恰為1.那么當該容器倒置時，水面高為______.【答案】【解析】設圓錐形容器的底面半徑為，底面水平放置時，上底面的半徑為，因為圓錐的高PO為2.若底面水平放置時，水面高恰為1，所以，設圓錐形容器中盛有水的體積為，所以有，當該容器倒置時，設水面高為，這時小圓錐的底面半徑為，所以有，由，故答案為：16.人們很早以前就開始探索高次方程的數(shù)值求解問題.牛頓在《流數(shù)法》一書中給出了高次代數(shù)方程的一種數(shù)值求法——牛頓法，用“作切線”的方法求方程的近似解.如圖，方程的根就是函數(shù)的零點，取初始值，在處的切線與軸的交點橫坐標為，在處的切線與軸的交點橫坐標為，一直繼續(xù)下去，得到、、、、，它們越來越接近.若，取，則用牛頓法得到的的近似值______，______.【答案】【解析】因為，，則，且，則，所以，曲線在處的切線方程為，即，由題意可得，解得，，，所以，曲線在處的切線方程為，即，由題意可得，解得.故答案為：；.四、解答題17.設數(shù)列前n項和為，，.（1）求，及的通項公式；（2）若，證明：.（1）解：因為，，所以可得：，當時，由，得，因此數(shù)列從第三項起，每項與前一項的比為定值2，所以；（2）證明：因為，所以，當時，，所以，即.18.在中，已知，，，、邊上的兩條中線、相交于點.（1）求、的長；（2）求的余弦值.（1）解：因為的中點，則，所以，，所以，所以，，因為為的中點，所以，，則，故.（2）解：因為，所以，19.某專營店統(tǒng)計了最近天到該店購物的人數(shù)和時間第天之間的數(shù)據(jù)，列表如下：（1）由表中給出的數(shù)據(jù)，判斷是否可用線性回歸模型擬合人數(shù)與時間之間的關系？（若，則認為線性相關程度高，可用線性回歸模型擬合；否則，不可用線性回歸模型擬合.計算時精確到）（2）該專營店為了吸引顧客，推出兩種促銷方案：方案一，購物金額每滿元可減元；方案二，購物金額超過元可抽獎三次，每次中獎的概率均為，且每次抽獎互不影響，中獎一次打折，中獎兩次打折，中獎三次打折.某顧客計劃在此專營店購買一件價值元的商品，請從實際付款金額的數(shù)學期望的角度分析，選哪種方案更優(yōu)惠？參考數(shù)據(jù)：.附：相關系數(shù).（1）解：，，所以，，，，所以，，所以，與的線性相關性很強，故可用線性回歸模型擬合人數(shù)與時間之間的關系.（2）解：設方案一的實際付款金額為元，方案二的實際付款金額為元，由題意可知，（元），的可能取值有、、、，，，，，所以，，所以，方案二更優(yōu)惠.20.如圖，在四面體中，平面，是的中點，是的中點，是線段上的一點，.（1）若，證明：平面；（2）若，且二面角為直二面角，求實數(shù)的值.（1）證明：取的中點，連接、，如下圖所示：因為為的中點，為的中點，則，所以，，又因為，即，所以，，則，因為平面，平面，所以，平面，又因為為的中點，則，因為平面，平面，所以，平面，因為，、平面，所以，平面平面，因為平面，故平面.（2）解：因為，則為等邊三角形，又因為平面，以點為原點，、所在直線分別為、軸，平面內過點且與垂直的直線為軸建立如下所示的空間直角坐標系，則、、、、，，其中，，，設平面的法向量為，則，取，則，，則，易知平面的一個法向量為，因為二面角為直二面角，則，即，解得.21.已知在平面直角坐標系中，動點到的距離與它到直線的距離之比為，的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）過點作直線與曲線交于不同的兩點、（、在軸右側），在線段上取異于點、的點，且滿足，證明：點恒在一條直線上.（1）解：由題意可得，整理可得.所以，曲線方程為.（