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文檔簡介

2024屆河南省鄭州市四校高三上數學期末預測試題注意事項:1.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標號。回答非選擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.做拋擲一枚骰子的試驗,當出現1點或2點時,就說這次試驗成功,假設骰子是質地均勻的.則在3次這樣的試驗中成功次數X的期望為()A.13 B.12.已知正四面體的棱長為,是該正四面體外接球球心,且,,則()A. B.C. D.3.已知函數f(x)=eb﹣x﹣ex﹣b+c(b,c均為常數)的圖象關于點(2,1)對稱,則f(5)+f(﹣1)=()A.﹣2 B.﹣1 C.2 D.44.命題:存在實數,對任意實數,使得恒成立;:,為奇函數,則下列命題是真命題的是()A. B. C. D.5.在平面直角坐標系中,已知點,,若動點滿足,則的取值范圍是()A. B.C. D.6.《普通高中數學課程標準(2017版)》提出了數學學科的六大核心素養(yǎng).為了比較甲、乙兩名高二學生的數學核心素養(yǎng)水平,現以六大素養(yǎng)為指標對二人進行了測驗,根據測驗結果繪制了雷達圖(如圖,每項指標值滿分為5分,分值高者為優(yōu)),則下面敘述正確的是()A.甲的數據分析素養(yǎng)高于乙B.甲的數學建模素養(yǎng)優(yōu)于數學抽象素養(yǎng)C.乙的六大素養(yǎng)中邏輯推理最差D.乙的六大素養(yǎng)整體平均水平優(yōu)于甲7.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的的值為()A. B.C. D.8.如圖1,《九章算術》中記載了一個“折竹抵地”問題:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,問折者高幾何?意思是:有一根竹子,原高一丈(1丈=10尺),現被風折斷,尖端落在地上,竹尖與竹根的距離三尺,問折斷處離地面的高為()尺.A. B. C. D.9.函數的部分圖像如圖所示,若,點的坐標為,若將函數向右平移個單位后函數圖像關于軸對稱,則的最小值為()A. B. C. D.10.設是定義域為的偶函數,且在單調遞增,,則()A. B.C. D.11.已知偶函數在區(qū)間內單調遞減,,,,則,,滿足()A. B. C. D.12.已知,,若,則實數的值是()A.-1 B.7 C.1 D.1或7二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知△的三個內角為,,,且,,成等差數列,則的最小值為__________,最大值為___________.14.若點在直線上,則的值等于______________.15.在直角坐標系中,直線的參數方程為(為參數),曲線的參數方程為(為參數).(1)求直線和曲線的普通方程;(2)設為曲線上的動點,求點到直線距離的最小值及此時點的坐標.16.已知是拋物線上一點,是圓關于直線對稱的曲線上任意一點,則的最小值為________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在中,角,,所對的邊分別為,,,且.求的值;設的平分線與邊交于點,已知,,求的值.18.(12分)已知數列滿足,,其前n項和為.(1)通過計算,,,猜想并證明數列的通項公式;(2)設數列滿足,,,若數列是單調遞減數列,求常數t的取值范圍.19.(12分)已知函數(1)若,試討論的單調性;(2)若,實數為方程的兩不等實根,求證:.20.(12分)已知,,求證:(1);(2).21.(12分)已知曲線:和:(為參數).以原點為極點,軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,且兩種坐標系中取相同的長度單位.(1)求曲線的直角坐標方程和的方程化為極坐標方程;(2)設與,軸交于,兩點,且線段的中點為.若射線與,交于,兩點,求,兩點間的距離.22.(10分)追求人類與生存環(huán)境的和諧發(fā)展是中國特色社會主義生態(tài)文明的價值取向.為了改善空氣質量,某城市環(huán)保局隨機抽取了一年內100天的空氣質量指數(AQI)的檢測數據,結果統(tǒng)計如表:AQI空氣質量優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染重度污染天數61418272510(1)從空氣質量指數屬于[0,50],(50,100]的天數中任取3天,求這3天中空氣質量至少有2天為優(yōu)的概率;(2)已知某企業(yè)每天因空氣質量造成的經濟損失y(單位:元)與空氣質量指數x的關系式為,假設該企業(yè)所在地7月與8月每天空氣質量為優(yōu)、良、輕度污染、中度污染、重度污染、嚴重污染的概率分別為.9月每天的空氣質量對應的概率以表中100天的空氣質量的頻率代替.(i)記該企業(yè)9月每天因空氣質量造成的經濟損失為X元,求X的分布列;(ii)試問該企業(yè)7月、8月、9月這三個月因空氣質量造成的經濟損失總額的數學期望是否會超過2.88萬元?說明你的理由.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

每一次成功的概率為p=26=【詳解】每一次成功的概率為p=26=13故選:C.【點睛】本題考查了二項分布求數學期望,意在考查學生的計算能力和應用能力.2、A【解析】

如圖設平面,球心在上,根據正四面體的性質可得,根據平面向量的加法的幾何意義,重心的性質,結合已知求出的值.【詳解】如圖設平面,球心在上,由正四面體的性質可得:三角形是正三角形,,,在直角三角形中,,,,,,因為為重心,因此,則,因此,因此,則,故選A.【點睛】本題考查了正四面體的性質,考查了平面向量加法的幾何意義,考查了重心的性質,屬于中檔題.3、C【解析】

根據對稱性即可求出答案.【詳解】解:∵點(5,f(5))與點(﹣1,f(﹣1))滿足(5﹣1)÷2=2,故它們關于點(2,1)對稱,所以f(5)+f(﹣1)=2,故選:C.【點睛】本題主要考查函數的對稱性的應用,屬于中檔題.4、A【解析】

分別判斷命題和的真假性,然后根據含有邏輯聯(lián)結詞命題的真假性判斷出正確選項.【詳解】對于命題,由于,所以命題為真命題.對于命題,由于,由解得,且,所以是奇函數,故為真命題.所以為真命題.、、都是假命題.故選:A【點睛】本小題主要考查誘導公式,考查函數的奇偶性,考查含有邏輯聯(lián)結詞命題真假性的判斷,屬于基礎題.5、D【解析】

設出的坐標為,依據題目條件,求出點的軌跡方程,寫出點的參數方程,則,根據余弦函數自身的范圍,可求得結果.【詳解】設,則∵,∴∴∴為點的軌跡方程∴點的參數方程為(為參數)則由向量的坐標表達式有:又∵∴故選:D【點睛】考查學生依據條件求解各種軌跡方程的能力,熟練掌握代數式轉換,能夠利用三角換元的思想處理軌跡中的向量乘積,屬于中檔題.求解軌跡方程的方法有:①直接法;②定義法;③相關點法;④參數法;⑤待定系數法6、D【解析】

根據雷達圖對選項逐一分析,由此確定敘述正確的選項.【詳解】對于A選項,甲的數據分析分,乙的數據分析分,甲低于乙,故A選項錯誤.對于B選項,甲的建模素養(yǎng)分,乙的建模素養(yǎng)分,甲低于乙,故B選項錯誤.對于C選項,乙的六大素養(yǎng)中,邏輯推理分,不是最差,故C選項錯誤.對于D選項,甲的總得分分,乙的總得分分,所以乙的六大素養(yǎng)整體平均水平優(yōu)于甲,故D選項正確.故選:D【點睛】本小題主要考查圖表分析和數據處理,屬于基礎題.7、B【解析】

列出循環(huán)的每一步,進而可求得輸出的值.【詳解】根據程序框圖,執(zhí)行循環(huán)前:,,,執(zhí)行第一次循環(huán)時:,,所以:不成立.繼續(xù)進行循環(huán),…,當,時,成立,,由于不成立,執(zhí)行下一次循環(huán),,,成立,,成立,輸出的的值為.故選:B.【點睛】本題考查的知識要點:程序框圖的循環(huán)結構和條件結構的應用,主要考查學生的運算能力和轉換能力,屬于基礎題型.8、B【解析】如圖,已知,,

∴,解得

,∴,解得

.∴折斷后的竹干高為4.55尺故選B.9、B【解析】

根據圖象以及題中所給的條件,求出和,即可求得的解析式,再通過平移變換函數圖象關于軸對稱,求得的最小值.【詳解】由于,函數最高點與最低點的高度差為,所以函數的半個周期,所以,又,,則有,可得,所以,將函數向右平移個單位后函數圖像關于軸對稱,即平移后為偶函數,所以的最小值為1,故選:B.【點睛】該題主要考查三角函數的圖象和性質,根據圖象求出函數的解析式是解決該題的關鍵,要求熟練掌握函數圖象之間的變換關系,屬于簡單題目.10、C【解析】

根據偶函數的性質,比較即可.【詳解】解:顯然,所以是定義域為的偶函數,且在單調遞增,所以故選:C【點睛】本題考查對數的運算及偶函數的性質,是基礎題.11、D【解析】

首先由函數為偶函數,可得函數在內單調遞增,再由,即可判定大小【詳解】因為偶函數在減,所以在上增,,,,∴.故選:D【點睛】本題考查函數的奇偶性和單調性,不同類型的數比較大小,應找一個中間數,通過它實現大小關系的傳遞,屬于中檔題.12、C【解析】

根據平面向量數量積的坐標運算,化簡即可求得的值.【詳解】由平面向量數量積的坐標運算,代入化簡可得.∴解得.故選:C.【點睛】本題考查了平面向量數量積的坐標運算,屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

根據正弦定理可得,利用余弦定理以及均值不等式,可得角的范圍,然后構造函數,利用導數,研究函數性質,可得結果.【詳解】由,,成等差數列所以所以又化簡可得當且僅當時,取等號又,所以令,則當,即時,當,即時,則在遞增,在遞減所以由,所以所以的最小值為最大值為故答案為:,【點睛】本題考查等差數列、正弦定理、余弦定理,還考查了不等式、導數的綜合應用,難點在于根據余弦定理以及不等式求出,考驗分析能力以及邏輯思維能力,屬難題.14、【解析】

根據題意可得,再由,即可得到結論.【詳解】由題意,得,又,解得,當時,則,此時;當時,則,此時,綜上,.故答案為:.【點睛】本題考查誘導公式和同角的三角函數的關系,考查計算能力,屬于基礎題.15、(1),;(2),.【解析】

(1)利用代入消參的方法即可將兩個參數方程轉化為普通方程;(2)利用參數方程,結合點到直線的距離公式,將問題轉化為求解二次函數最值的問題,即可求得.【詳解】(1)直線的普通方程為.在曲線的參數方程中,,所以曲線的普通方程為.(2)設點.點到直線的距離.當時,,所以點到直線的距離的最小值為.此時點的坐標為.【點睛】本題考查將參數方程轉化為普通方程,以及利用參數方程求距離的最值問題,屬中檔題.16、【解析】

由題意求出圓的對稱圓的圓心坐標,求出對稱圓的圓坐標到拋物線上的點的距離的最小值,減去半徑即可得到的最小值.【詳解】假設圓心關于直線對稱的點為,則有,解方程組可得,所以曲線的方程為,圓心為,設,則,又,所以,,即,所以,故答案為:.【點睛】該題考查的是有關動點距離的最小值問題,涉及到的知識點有點關于直線的對稱點,點與圓上點的距離的最小值為到圓心的距離減半徑,屬于中檔題目.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、;.【解析】

利用正弦定理化簡求值即可;利用兩角和差的正弦函數的化簡公式,結合正弦定理求出的值.【詳解】解:,由正弦定理得:,,,,,又,為三角形內角,故,,則,故,;(2)平分,設,則,,,,則,,又,則在中,由正弦定理:,.【點睛】本題考查正弦定理和兩角和差的正弦函數的化簡公式,二倍角公式,考查運算能力,屬于基礎題.18、(1),證明見解析;(2)【解析】

(1)首先利用賦值法求出的值,進一步利用定義求出數列的通項公式;(2)首先利用疊乘法求出數列的通項公式,進一步利用數列的單調性和基本不等式的應用求出參數的范圍.【詳解】(1)數列滿足,,其前項和為.所以,,則,,,所以猜想得:.證明:由于,所以,則:(常數),所以數列是首項為1,公差為的等差數列.所以,整理得.(2)數列滿足,,所以,則,所以.則,所以,所以,整理得,由于,所以,即.【點睛】本題考查的知識要點:數列的通項公式的求法及應用,疊乘法的應用,函數的單調性在數列中的應用,基本不等式的應用,主要考察學生的運算能力和轉換能力,屬于中檔題型.19、(1)答案不唯一,具體見解析(2)證明見解析【解析】

(1)根據題意得,分與討論即可得到函數的單調性;(2)根據題意構造函數,得,參變分離得,分析不等式,即轉化為,設,再構造函數,利用導數得單調性,進而得證.【詳解】(1)依題意,當時,,①當時,恒成立,此時在定義域上單調遞增;②當時,若,;若,;故此時的單調遞增區(qū)間為,單調遞減區(qū)間為.(2)方法1:由得令,則,依題意有,即,要證,只需證(不妨設),即證,令,設,則,在單調遞減,即,從而有.方法2:由得令,則,當時,時,故在上單調遞增,在上單調遞減,不妨設,則,要證,只需證,易知,故只需證,即證令,(),則==,(也可代入后再求導)在上單調遞減,,故對于時,總有.由此得【點睛】本題考查了函數的單調性、最值問題,考查導數的應用以及分類討論思想,轉化思想,屬于難題.20、(1)見解析;(2)見解析.【解析】

(1)結合基本不等式可證明;(2)利用基本不等式得,即,同理得其他兩個式子,三式相加可證結論.【詳解】(1)∵,∴,當且僅當a=b=c等號成立,∴;(2)由基本不等式,∴,同理,,∴,當且僅當a=b=c等號成立∴.【點睛】本題考查不等式的證明,考查用基本不等式證明不等式成立.解題關鍵是發(fā)現基本不等式的形式,方法是綜合法.21、(1),;(2)1.【解析】

(1)利用正弦的和角公式,結合極坐標化為直角坐標的公式,即可求得曲線的直角坐標方程;先寫出曲線的普通方程,再利用公式化簡為極坐標即可;(2)先求出的直角坐標,據此求得中點的直角坐標,將其轉化為極坐標,聯(lián)立曲線的極坐標方程,即可求得兩點的極坐標,則距離可解.【詳解】(1):可整理為,利用公式可得其直角坐標方程為:,:的普通方程為,利用公式可得其極坐標方程為(2)由

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