二次函數(shù)有關(guān)問題解答

PAGEPAGE1二次函數(shù)有關(guān)問題解答1．（2010河南）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過A(4，0)，B(0，一4)，C(2，0)三點(diǎn).(1)求拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)M為第三象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，△AMB的面積為S.求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值；(3)若點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線y=－x上的動(dòng)點(diǎn)，判斷有幾個(gè)位置能使以點(diǎn)P、Q、B、0為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應(yīng)的點(diǎn)Q的坐標(biāo).【答案】（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c(a≠0)，則有解得∴拋物線的解析式y(tǒng)=x2+x﹣4（2）過點(diǎn)M作MD⊥x軸于點(diǎn)D.設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，n）.則AD=m+4，MD=﹣n，n=m2＋m－4.∴S=S△AMD+S梯形DMBO－S△ABO=(m+4)(﹣n)＋(﹣n＋4)(﹣m)－×4×4=﹣2n-2m=﹣2(m2＋m－4)-2m-8=﹣m2-4m(－4<m<0∴S最大值=4（3）滿足題意的Q點(diǎn)的坐標(biāo)有四個(gè)，分別是：（-4，4），（4，-4），（-2+，2－），（-2－，2＋）2．（2010四川內(nèi)江）如圖，拋物線y＝mx2―2mx―3m(m＞0)與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)（1）請求拋物線頂點(diǎn)M的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示），A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）經(jīng)探究可知，△BCM與△ABC的面積比不變，試求出這個(gè)比值；（3）是否存在使△BCM為直角三角形的拋物線？若存在，請求出；如果不存在，請說明理由..xxMABCyO【答案】解：（1）∵y＝mx2―2mx―3m＝m(x2―2x―3)＝m(x－1)2―4∴拋物線頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，―4m∵拋物線y＝mx2―2mx―3m(m＞0)與x軸交于A、B∴當(dāng)y＝0時(shí)，mx2―2mx―3m∵m＞0，∴x2―2x―3＝0，解得x1＝－1，x,2＝3，∴A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為（－1,0）、（3,0）. 4分（2）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝―3m∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，－3m）∴S△ABC＝EQ\f(1,2)×|3－(－1)|×|－3m|＝6|m|＝6m， 5分過點(diǎn)M作MD⊥x軸于D，則OD＝1，BD＝OB－OD＝2，MD＝|－4m|＝4xxMABCyODN∴S△BCM＝S△BDM＋S梯形OCMD－S△OBC＝EQ\f(1,2)BD·DM＋EQ\f(1,2)(OC＋DM)·OD－EQ\f(1,2)OB·OC＝EQ\f(1,2)×2×4m＋EQ\f(1,2)(3m＋4m)×1－EQ\f(1,2)×3×3m＝3m， 7分∴S△BCM：S△ABC＝1∶2. 8分（3）存在使△BCM為直角三角形的拋物線.過點(diǎn)C作CN⊥DM于點(diǎn)N，則△CMN為Rt△，CN＝OD＝1，DN＝OC＝3m∴MN＝DM－DN＝m,∴CM2＝CN2＋MN2＝1＋m2，在Rt△OBC中，BC2＝OB2＋OC2＝9＋9m在Rt△BDM中，BM2＝BD2＋DM2＝4＋16m①如果△BCM是Rt△，且∠BMC＝90°時(shí)，CM2＋BM2＝BC2,即1＋m2＋4＋16m2＝9＋解得m＝±EQ\f(EQ\r(,2),2),∵m＞0，∴m＝EQ\f(EQ\r(,2),2).∴存在拋物線y＝EQ\f(EQ\r(,2),2)x2－EQ\r(,2)x－EQ\f(3EQ\r(,2),2)使得△BCM是Rt△; 10分②①如果△BCM是Rt△，且∠BCM＝90°時(shí)，BC2＋CM2＝BM2.即9＋9m2＋1＋m2＝4＋解得m＝±1,∵m＞0，∴m＝1.∴存在拋物線y＝x2－2x－3使得△BCM是Rt△;③如果△BCM是Rt△，且∠CBM＝90°時(shí)，BC2＋BM2＝CM2.即9＋9m2＋4＋16m2整理得m2＝－EQ\f(1,2)，此方程無解,∴以∠CBM為直角的直角三角形不存在.（或∵9＋9m2＞1＋m2，4＋16m2＞1＋m2，∴以∠綜上的所述，存在拋物線y＝EQ\f(EQ\r(,2),2)x2－EQ\r(,2)x－EQ\f(3EQ\r(,2),2)和y＝x2－2x－3使得△BCM是Rt△.3．（2010山東東營）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A（-1，0）和點(diǎn)B（0，-5）．（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）已知該函數(shù)圖象的對稱軸上存在一點(diǎn)△AB點(diǎn)xxOA（第23題圖）By【答案】解：（1）根據(jù)題意，得…2分解得…………3分xOA（第23題圖）ByCPxOA（第23題圖）ByCPx=2（2）令y=0，得二次函數(shù)的圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)C（5,0）.……………5分由于P是對稱軸上一點(diǎn)，連結(jié)AB，由于，要使△AB…………………6分AC對稱，連結(jié)BC交對稱軸于點(diǎn)P，則=BP+PC=BC根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，可得BCBC的交點(diǎn)P就是所求的點(diǎn).……8分設(shè)直線BC的解析式為，根據(jù)題意，可得解得所以直線BC的解析式為.…………………9分因此直線BC與對稱軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是方程組的解，解得所求的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，-3）.……………10分4．（2010湖北孝感）如圖，已知二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），直線與二次函數(shù)的圖像交于A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在y軸上。（1）二次函數(shù)的解析式為y=；（3分）（2）證明點(diǎn)不在（1）中所求的二次函數(shù)的圖像上；（3分）（3）若C為線段AB的中點(diǎn)，過C點(diǎn)作軸于E點(diǎn)，CE與二次函數(shù)的圖像交于D點(diǎn)。①y軸上存在點(diǎn)K，使以K、A、D、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則K點(diǎn)的坐標(biāo)是；（2分）②二次函數(shù)的圖像上是否存在點(diǎn)P，使得？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。（4分）【答案】（1）解： （2）證明：設(shè)點(diǎn)的圖像上，則有： 整理得∴原方程無解 的圖象上 說明：由從而判斷點(diǎn)不在二次函數(shù)圖像上的同樣給分。（3）解：①； ②二次函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)P，使得如圖，過點(diǎn)B作軸于F，則BF//CE//AO，又C為AB中點(diǎn)， 設(shè)，由題意有： 解得 ………………12分說明：在求出得到△POE的邊OE上的高為16，即點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為16，然后由可求出P點(diǎn)坐標(biāo)。5（2010陜西西安）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過A（—1，0），B（3，0），C（0，—1）三點(diǎn)。（1）求該拋物線的表達(dá)式；（2）點(diǎn)Q在y軸上，點(diǎn)P在拋物線上，要使以點(diǎn)Q、P、A、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)。 【答案】解：（1）設(shè)該拋物線的表達(dá)式為。根據(jù)題意，得、解之，得 ∴所求拋物線的表達(dá)式為（2）①當(dāng)AB為邊時(shí)，只要PQ//AB，且PQ=AB=4即可，又知點(diǎn)Q在y軸上，∴點(diǎn)