自主招生材料學(xué)生版 - 函數(shù)

自主招生沖刺培訓(xùn)第二講函數(shù)高斯函數(shù)的性質(zhì)對(duì)任意實(shí)數(shù)x,我們記不超過x的最大整數(shù)為[x]，通常稱函數(shù)y=[x]為取整函數(shù)，又稱高斯函數(shù).進(jìn)一步，記{x}=x－[x]，則函數(shù)y={x}稱為小數(shù)部分函數(shù)，它表示的是x的小數(shù)部分.根據(jù)高斯函數(shù)的定義，可得到其如下性質(zhì).性質(zhì)1對(duì)任意x∈R，均有x－1<[x]≤x<[x]+1.性質(zhì)2對(duì)任意x∈R，函數(shù)y={x}的值域?yàn)?性質(zhì)3高斯函數(shù)是一個(gè)不減函數(shù)，即對(duì)任意x1,x2∈R，若x1≤x2,則[x1]≤[x2].性質(zhì)3若n∈Z,x∈R,則有[x+n]=n+[x],{n+x}={x}后一個(gè)式子表明y={x}是一個(gè)以1為周期的函數(shù).性質(zhì)4若x,y∈R，則[x]+[y]≤[x+y]≤[x]+[y]+1.性質(zhì)5若n∈N*,x∈R,則[nx]≥n[x]性質(zhì)6若n∈N*,x∈R,則.性質(zhì)7若n∈N*,x∈R+,則在區(qū)間[1,x]內(nèi)，恰有個(gè)整數(shù)是n的倍數(shù).性質(zhì)8設(shè)p為質(zhì)數(shù)，n∈N*,在p在n!的質(zhì)因數(shù)分解式中的冪次為1、方程解（函數(shù)零點(diǎn)）的問題例1.方程一共有個(gè)解.練習(xí)：1、所有的滿足條件的正整數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)為．2、設(shè)為方程的根（），則__.例2.解方程：(3x-1)()+(2x-3)(+1)=0.【評(píng)述】通過觀察方程的特點(diǎn)，將方程適當(dāng)化簡。練習(xí)：1、（2012年北約）2、若，且為正整數(shù)，則3、已知是實(shí)數(shù),二次函數(shù)滿足，求證：－1與1中至少有一個(gè)是的根.4、已知m，n為正整數(shù).(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)x＞－1時(shí)，(1＋x)m≥1＋mx；(2)對(duì)于n≥6，已知，求證：(m=1,2,3,…,n)；(3)求出滿足等式3n＋4n＋…＋(n＋2)n＝(n＋3)n的所有正整數(shù)n.5、關(guān)于的方程至少有一個(gè)解,則實(shí)數(shù)的范圍是_____________6、求方程x2＋x＝y(tǒng)4＋y3＋y2＋y的整數(shù)解．2、函數(shù)值域（最值）問題例3設(shè)A={a|a=7p,p∈N*},在A上定義函數(shù)f如下：若a∈A，則f(a)表示a的數(shù)字之和，例如f(7)=7，f(42)=6，設(shè)函數(shù)f的值域是集合M.求證：M={n|n∈N*,n≥2}.例4設(shè)正實(shí)數(shù)x,y滿足xy=1，求函數(shù)f(x,y)=的值域.（其中（[x]表示不超過x的最大整數(shù)）例5求函數(shù)y=(++2)(+1),x∈[0,1]的值域。練習(xí):1、（03全國）已知x，y都在區(qū)間(－2，2)內(nèi)，且xy＝－1，則函數(shù)的最小值是（）A． B C． D．2、（05全國）使關(guān)于的不等式有解的實(shí)數(shù)的最大值是（）A．B．C．D．3、（01全國）函數(shù)y＝x＋的值域?yàn)開______________.例6求函數(shù)f(x)=的最大值。例7設(shè)．若時(shí)，，且在區(qū)間上的最大值為1，求的最大值和最小值．練習(xí)：1、已知點(diǎn)在曲線y=ex上，點(diǎn)在曲線y=lnx上，則的最小值是_______例8.設(shè)（是實(shí)數(shù)），當(dāng)時(shí)，.求的最大可能值.練習(xí)：1、（2010華約）設(shè)．過點(diǎn)且平行于軸的直線與曲線的交點(diǎn)為，曲線過點(diǎn)的切線交軸于點(diǎn)，則的面積的最小值是（）（A）1（B）（C）（D）例9.設(shè)函數(shù)（1）若與在同一個(gè)值時(shí)都取得極值，求的值.（2）對(duì)于給定的負(fù)數(shù)，有一個(gè)最大的正數(shù)，使得時(shí)，恒有求：①的表達(dá)式；②的最大值及相應(yīng)的值.3、函數(shù)性質(zhì)例10.設(shè)是連續(xù)的偶函數(shù),且當(dāng)時(shí)是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù),則滿足的所有之和為().A.B.-8C.3D.例11.（06天津）已知、是關(guān)于的二次方程的兩個(gè)根，且，若函數(shù)．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）對(duì)任意的正數(shù)、，求證：．練習(xí):1、若，且，則角的取值范圍是.4、求值問題例12.已知，定義，則；練習(xí)：1、已知多項(xiàng)式f(x)滿足：,則_________例13.設(shè)x,y∈R，且滿足，求x+y.例14.已知實(shí)數(shù)滿足，，則與的大小關(guān)系為.例15.求和：=（其中表示不超過的最大整數(shù)）.例16：設(shè)集合映射f：F→Z.使得的值.例17.（04全國）設(shè)函數(shù)，且對(duì)任意，則=_____________________。練習(xí)：1、已知，過點(diǎn)(－1,1)的直線l與該函數(shù)圖象相切，且(－1,1)不是切點(diǎn)，則直線l的斜率為(