《土木工程力學(xué)》第6章

第6章壓桿的穩(wěn)定計算第1節(jié)壓桿穩(wěn)定的概念

第2節(jié)計算臨界力的歐拉公式第3節(jié)壓桿的穩(wěn)定條件下一頁上一頁返回所謂穩(wěn)定性是指構(gòu)件保持原有平衡狀態(tài)的能力。構(gòu)件除了強(qiáng)度、剛度失效外，還可能發(fā)生穩(wěn)定失效。穩(wěn)定失效是指構(gòu)件在荷載作用下，由于不能保持原有的平衡狀態(tài)而導(dǎo)致結(jié)構(gòu)喪失承載能力。處于穩(wěn)定的平衡狀態(tài)和處于不穩(wěn)定的平衡狀態(tài)是有一定的條件的，下面舉例說明。

第1節(jié)壓桿穩(wěn)定的概念返回下一頁上一頁

一根壓桿的平衡狀態(tài)，根據(jù)它對干擾的承受能力可以分為兩種。圖為一壓桿，保持著直線形狀的平衡狀態(tài)。當(dāng)壓力F不太大時。F<FcrF≥Fcr(a)（b）

用一微小橫向力給以干擾，桿有微彎，當(dāng)干擾力撤去，桿會立即恢復(fù)原有的直線狀態(tài)圖（a）這樣的平衡狀態(tài)稱為穩(wěn)定平衡狀態(tài)。穩(wěn)定平衡穩(wěn)定平衡返回下一頁上一頁F≥Fcr

在外界擾動下，壓桿偏離初始直線平衡位置，突然轉(zhuǎn)變?yōu)閺澢胶馕恢茫蓴_除去后，壓桿不能回復(fù)初始直線的平衡位置。這種現(xiàn)象即為失穩(wěn)現(xiàn)象如圖（b），初始直線的平衡狀態(tài)稱為不穩(wěn)定平衡狀態(tài)。FP<FPcr(a)(b)當(dāng)壓力F超過某一數(shù)值Fcr

后不穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡穩(wěn)定平衡返回下一頁上一頁由此可以看出直線形狀平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性與桿上受到的壓力大小有關(guān)。在F＜Fcr

時是穩(wěn)定的,在FP＞

Fcr

時是不穩(wěn)定的。特定值

Fcr

稱為壓桿的臨界力。工程實(shí)際中的壓桿，由于種種原因（如制作誤差、材料不均勻、周圍物體振動等等），不可能達(dá)到理想的中心受壓狀態(tài)，所以，當(dāng)壓桿上的荷載達(dá)到臨界荷載Fcr

時，甚至還小于臨界荷載Fcr

時，就會發(fā)生失穩(wěn)現(xiàn)象。臨界力返回下一頁上一頁一、臨界力的歐拉公式第2節(jié)計算臨界力的歐拉公式兩端鉸支臨界力的歐拉公式處于彈性階段時，細(xì)長壓桿的臨界力的一般公式

E——材料的彈性模量

I——截面的最小慣性矩l——桿件的長度

——長度因數(shù)，其值由桿件兩端的支承情況而確定。參見表6-1所示。

(6-1)(6-2)返回下一頁上一頁表6-1壓桿長度因數(shù)表支承情況一端固定另一端自由兩端鉸支一端固定另一端鉸支兩端固定簡圖FcrFcrFcrFcr

臨界力Fcr

2EI/(2l)2

2EI/l2

2EI/(0.7l)2

2EI/(0.5l)2

計算長度

2ll0.7l0.5l

長度因數(shù)

210.70.5返回下一頁上一頁當(dāng)壓桿處在臨界狀態(tài)時，桿件可以在直線情況下維持不穩(wěn)定的平衡，這時壓桿的壓應(yīng)力稱為臨界應(yīng)力

cr

cr=Fcr

/A

（6-3）A為壓桿的橫截面面積。二、臨界應(yīng)力與長細(xì)比臨界應(yīng)力

cr

是隨I/A增大而增大的，而I/A=i2

，其中i為截面的慣性半徑。由臨界應(yīng)力的定義

返回下一頁上一頁令：

=

l/i

(6-4)計算壓桿臨界應(yīng)力的歐拉公式

稱為壓桿的柔度或長細(xì)比。是一個無量綱的量，它綜合反映了壓桿的長度、支承情況、截面形狀與尺寸等因素對臨界應(yīng)力的影響。

大，表示壓桿細(xì)而長，臨界應(yīng)力就小，壓桿容易失穩(wěn)；

小，壓桿粗而短，臨界應(yīng)力就大，壓桿不易失穩(wěn)。所以，柔度

是壓桿穩(wěn)定計算中一個重要的幾何參數(shù)。(6-5)返回下一頁上一頁

歐拉公式是在桿內(nèi)應(yīng)力不超過比例極限的條件下得出的，因此只適用于應(yīng)力小于比例極限的情況，即

（6-6）用長細(xì)比表示，歐拉公式的適用范圍為

三、歐拉公式的適用范圍

式中

p是

cr等于比例極限

p時的長細(xì)比

返回下一頁上一頁大柔度桿柔度

大于或等于某個極限值

p時，壓桿將發(fā)生彈性失穩(wěn)*。這類壓桿稱為大柔度桿或細(xì)長桿。

中柔度桿柔度

小于

p，但大于或等于某個極限值

s時，壓桿將發(fā)生非彈性失穩(wěn)*。這類壓桿稱為中柔度桿或中長桿。對于中長桿，目前在設(shè)計中多采用經(jīng)驗(yàn)計算其臨界應(yīng)力。

小柔度桿柔度

小于

s，這類壓桿稱為小柔度桿或粗短桿，這類壓桿首先是強(qiáng)度失效，即不用考慮其穩(wěn)定性。根據(jù)柔度的大小，可將壓桿分為三類。返回下一頁上一頁

對于中長桿和粗短桿，臨界應(yīng)力可以用經(jīng)驗(yàn)公式（拋物線公式）：

cr

＝

0–k

2

(6-7)來進(jìn)行計算，

0、k都是和材料有關(guān)的參數(shù)。例如：

四、臨界應(yīng)力的經(jīng)驗(yàn)公式

Q235鋼

cr=(235-0.0068λ２)MPa

(

<

p=132)

16Mn鋼

cr=(343-0.00161λ２)MPa

(

<

p=109)返回下一頁上一頁例6-1

一中心受壓的木柱，柱長及截面尺寸如圖所示，當(dāng)柱在最大剛度平面內(nèi)彎曲時，兩端鉸支，中性軸為y軸，如圖a所示；當(dāng)柱在最小剛度平面內(nèi)彎曲時，兩端固定，中性軸為z軸，如圖b所示。木材的彈性模量E=10GPa，

p=110。試求木柱的臨界力和臨界應(yīng)力。解

由于木柱在最小與最大剛度平面內(nèi)彎曲時的支承情況不同，所以需要分別計算木柱在兩個平面內(nèi)的臨界應(yīng)力，比較大小從而確定在哪個平面內(nèi)首先失穩(wěn)。

F（b）F6m（a）yh90160zb160yh90zb返回下一頁上一頁

1)計算最大剛度平面內(nèi)的臨界力和臨界應(yīng)力。在此平面內(nèi)，木柱的支承為兩端鉸支，故因度系數(shù)

=1，長細(xì)比為

為細(xì)長壓桿，用歐拉公式計算臨界力和臨界應(yīng)力。F6m（a）160yh90zb=84.10kN返回下一頁上一頁

2)計算最小剛度平面的臨界力和臨界應(yīng)力在此平面內(nèi)，木柱的支承為兩端固定，故長度系數(shù)

=0.5

，長細(xì)比為

F（b）6myh90160zb為細(xì)長壓桿，可以用歐拉公式計算臨界力和臨界應(yīng)力。=106.42kN返回下一頁上一頁

3）討論

比較計算結(jié)果可知，第一種情況的臨界力小，所以木柱將在最大剛度平面內(nèi)先失穩(wěn)，木柱最終的臨界力和臨界應(yīng)力應(yīng)分別為

此例說明，當(dāng)最小剛度平面和最大剛度平面內(nèi)支承情況不同時，壓桿不一定是在最小剛度平面內(nèi)先失穩(wěn)。不能只從剛度來判斷，可以從柔度的大小確定在哪個方向失穩(wěn)。F（b）F6m（a）yh90160zb160yh90zb

cr=5.84MPaFcr=84.10kN返回下一頁上一頁第3節(jié)壓桿的穩(wěn)定條件壓桿在使用過程中存在因失穩(wěn)而失效的現(xiàn)實(shí)問題，并且失效時其臨界應(yīng)力往往低于強(qiáng)度計算中的容許應(yīng)力值。因此為了保證壓桿能安全正常的使用，必須對壓桿建立相應(yīng)的穩(wěn)定條件，進(jìn)行穩(wěn)定計算。返回下一頁上一頁一、穩(wěn)定安全條件

要使壓桿不喪失穩(wěn)定，應(yīng)使作用在桿上的壓力不超過其臨界力，同時考慮到壓桿應(yīng)具有適當(dāng)?shù)陌踩珒?，?jù)此可得到以臨界力表示的穩(wěn)定條件為（6-8）式中，F(xiàn)為壓桿的工作壓力，F(xiàn)cr為壓桿的臨界力，為nst穩(wěn)定安全因數(shù)。將式（6-8）兩邊除以壓桿橫截面面積，則可得到以臨界應(yīng)力表示的穩(wěn)定條件

≤

cr/nst＝[

st]（6-9）式中，

為壓桿的工作應(yīng)力，[

st]為穩(wěn)定許用應(yīng)力。式（6-9）為壓桿的穩(wěn)定條件。返回下一頁上一頁在工程實(shí)際中，常采用折減因數(shù)法進(jìn)行穩(wěn)定性計算。在這種情況下，穩(wěn)定許用應(yīng)力被寫成為

[

st]＝

[

]則穩(wěn)定條件為

≤

[

]（6-10）式中，[

]為強(qiáng)度許用壓應(yīng)力；

是一個小于的1因數(shù)，稱為折減因數(shù)，其值與壓桿的柔度及所用材料有關(guān)。（6-10）式也可以寫為

F/A≤

[σ]

式中，F(xiàn)為壓桿上的壓力，A為壓桿的橫截面面積。表6-2列出了幾種材料的

值供查用。二、折減因數(shù)法返回下一頁上一頁表8-2壓桿的折減因數(shù)

返回下一頁上一頁應(yīng)用（6-10）式，可對壓桿進(jìn)行穩(wěn)定方面的三種計算。

1．穩(wěn)定性校核已知壓桿的桿長、支承情況、材料、截面及作用力，檢查它是否滿足穩(wěn)定條件。這時式（6-10）中的F、A、［

］都已知，再按支承情況、桿長及截面慣性矩計算出桿的柔度λ，在表6-2中查出

值，代入（6-10）式便可校核。

2．確定許用荷載已知壓桿的長度、支承情況、材料及截面，可按穩(wěn)定條件來確定桿的最大承受壓力——許用荷載[F]的大小。此時（6-10）式可寫為[F]＝

[

]A。三、壓桿的穩(wěn)定性計算返回下一頁上一頁

3．選擇截面已知壓桿的長度、支承情況、材料及作用力，由穩(wěn)定條件選擇截面時，可將（6-10）寫為A≥F/[

]但由于

本身與A的大小有關(guān)（

與

有關(guān)，

與i有關(guān)，i與A有關(guān)）所以在A未求得之前，

值不能確定。因此工程上常采用試算法來進(jìn)行截面選擇。其步驟如下：（1）先假定一適當(dāng)?shù)?/p>

1值（一般取

1＝0.5～0.6），由此定出截面尺寸A1。（2）按初選的截面尺寸A1計算i、

查出相當(dāng)?shù)?/p>

1'。比較

1'

與

1，若兩者比較近，可對所選截面進(jìn)行穩(wěn)定校核。（3）若

1'

與

1相差較大，可再設(shè)

2＝（

1＋

1'）/2重復(fù)（1）（2）步驟。直至求得的

'與所設(shè)

值接近為止。一般重復(fù)二、三次便可達(dá)到目的。返回下一頁上一頁例6-2

圖示一根鋼管支柱，管長l=2.5m，兩端鉸支，承受軸向壓力F=250kN。截面尺寸為D=102mm，d=86mm，材料采用Q235鋼，其容許應(yīng)力[

]=160MPa。校核該柱的穩(wěn)定性。

解

1）計算柱的長細(xì)比兩端鉸支壓桿的長度因數(shù)1，慣性半徑為長細(xì)比為FldD返回下一頁上一頁2）查表確定折減因數(shù)

查表6-2得根據(jù)線性插入法求時的值FldD返回下一頁上一頁3）校核穩(wěn)定性所以該支柱滿足穩(wěn)定性的條件返回下一頁上一頁例6-3

一木柱高l=2.5m，截面為圓形，一端固定、一端鉸支(

=0.7)，承受軸向壓力，木材的容許應(yīng)力。試選擇截面直徑。

解

1）首先設(shè)

1＝0.5取d1=160mm2）計算

1'

與

1=0.5相差較大，應(yīng)進(jìn)一步計算返回下一頁上一頁3）設(shè)取d2=150mm4）計算

2'

對木材可以認(rèn)為

2≈

'2返回下一頁上一頁5）校核該柱的穩(wěn)定性符合穩(wěn)定條件所以最終所選直徑為d=150mm返回下一頁上一頁例6-4

圖示三角支架，壓桿BC采用No16工字鋼，材料為Q235鋼，容許應(yīng)力[

]=160MPa，支架節(jié)點(diǎn)B作用一豎向力F。試根據(jù)BC桿的穩(wěn)定條件確定三角支架的容許荷載[F]。2）計算柱的長細(xì)比查型鋼表得到BC桿截面有關(guān)數(shù)據(jù)：A=26.1cm2，iy=1.89cm，iz=6.58cm

解

1）確定與BC桿所受壓力的關(guān)系60

FNBCFNABxyFBFABC60

30

zy∑Fy=0，-FNBCsin60

-F=0返回下一頁上一頁

BC桿兩端鉸支，取

=1，因iy<iz，則取iy計算，因此長細(xì)比為

2）計算柱的長細(xì)比查型鋼表得到BC桿截面有關(guān)數(shù)據(jù)：A=26.1cm2，iy=1.89cm，iz=6.58cm

3）查表確定折減因數(shù)

60

FNBCFNABxyFBFABC60

30

zy返回下一頁上一頁

4）計算容許荷載

A=26.1cm2三角支架的穩(wěn)定容許荷載60

FNBCFNABxyFBFABC60

30

zy返回下一頁上一頁1.盡量減小壓桿的長度

對于壓桿的失效行為主要是穩(wěn)定失效。為了提高壓桿的承載能力，首先應(yīng)防止穩(wěn)定失效，就需要綜合考慮桿長、支承、截面的合理性以及材料性能等因素的影響。對于細(xì)長桿，其臨界荷載與桿長平方成反比。因此，減小桿長可以顯著地提高壓桿的承載能力。在某些情況下，通過改變結(jié)構(gòu)或增加支點(diǎn)可以達(dá)到減小桿長，提高壓桿承載能力的目的。四、提高壓桿承載能力的途徑例如，在圖a、b所示的兩種桁架中，兩種桁架中的1桿和4桿均為壓桿，但圖b中的壓桿承載能力要遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于圖a中的壓桿。AB1234FPAB1234FP(a)(b)返回下一頁上一頁1.盡量減小壓桿的長度2．增強(qiáng)約束的剛性增強(qiáng)約束的剛性可降低壓桿的長度因數(shù)

值，則臨界荷載將增大。例如，將兩端鉸支的細(xì)長桿，改變成兩端固定約束的情形，臨界荷載成倍增加。四、提高壓桿承載能力的途徑返回下一頁上一頁1.盡量減小壓桿的長度2．增強(qiáng)約束3．合理選擇截面細(xì)長桿與中長桿的臨界應(yīng)力均與柔度

有關(guān)，而且，柔度越小，臨界應(yīng)力越高。壓桿的柔度為：四、提高壓桿承載能力的途徑

＝

l/i＝

l√A/I所以，對于一定長度和約束方式的壓桿，在橫截面面積一定的情況下，應(yīng)選擇慣性矩較大的截面形狀。返回下一頁上一頁1.盡量減小壓桿的長度2．增強(qiáng)約束3．合理選擇截面四、提高壓桿承載能力的途徑在選擇截面形狀與尺寸時，還應(yīng)考慮到失穩(wěn)的方向性。例如，如果壓桿兩端為球形鉸或固定端，也就是壓桿在各個方向上具有相同的約束條件時，則宜選擇慣性矩Iy=Iz的截面，例如空心圓截面等。返回下一頁上一頁FFFF如果壓桿兩端為柱狀鉸，由于不同方向的計算長度不同，截面上不同方向的慣性矩也應(yīng)相應(yīng)不同，理想的設(shè)計是使壓桿在不同的方向上柔度相等。1.盡量減小壓桿的長度2