新教材同步輔導(dǎo)2023年高中數(shù)學(xué)第六章計(jì)數(shù)原理6.2排列與組合6.2.4組合數(shù)分層演練新人教A版選擇性必修第三冊(cè)

6.2.4組合數(shù)A級(jí)基礎(chǔ)鞏固1.(2023·新高考全國(guó)Ⅱ卷)某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況,用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法作抽樣調(diào)查,擬從初中部和高中部?jī)蓪庸渤槿?0名學(xué)生,已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生,則不同的抽樣結(jié)果共有()A.C40045·CB.C40020·C.C40030·CD.C40040·解析:根據(jù)分層抽樣的定義知初中部共抽取60×400600=40人,高中部共抽取60×200600=20人,根據(jù)組合公式和分步乘法計(jì)數(shù)原理知不同的抽樣結(jié)果共有C答案:D2.C75-C65=A.C8B.C7C.C7D.C解析:C75-C65=C72-C61=答案:D3.12名同學(xué)合影,站成前排4人后排8人的隊(duì)形,現(xiàn)攝影師要從后排8人中抽2人調(diào)整到前排,若其他人的相對(duì)順序不變,則不同調(diào)整方法的種數(shù)是()A.C82×AB.C82×C.C82×AD.C82解析:第一步,從后排8人中抽2人,有C82種抽取方法;第二步,前排共有6個(gè)位置,先從中選取2個(gè)位置排上抽取的2人,有A62種排法,再把前排原4人按原順序排在其他4個(gè)位置上,只有1種安排方法,所以共有C答案:C4.已知C8x=C83x-解析:依題意,得x=3x-8或x+(3x-8)=8,且x∈N,x5.有6名學(xué)生,其中有3名只會(huì)唱歌,有2名只會(huì)跳舞,有1名既會(huì)唱歌也會(huì)跳舞.現(xiàn)在從中選出2名會(huì)唱歌的,1名會(huì)跳舞的去參加文藝演出,則共有15種選法.解析:C32×C21+C31×6.某醫(yī)院從10名醫(yī)療專(zhuān)家中抽調(diào)6名奔赴某事故現(xiàn)場(chǎng)搶救傷員,其中這10名醫(yī)療專(zhuān)家中有4名是外科專(zhuān)家.問(wèn):(1)抽調(diào)的6名專(zhuān)家中恰有2名是外科專(zhuān)家的抽調(diào)方法有多少種?(2)至少有2名外科專(zhuān)家的抽調(diào)方法有多少種?(3)至多有2名外科專(zhuān)家的抽調(diào)方法有多少種?解:(1)分步:先從4名外科專(zhuān)家中任選2名,有C42種選法,再?gòu)牟皇峭饪茖?zhuān)家的6人中選取4人,有C64種選法,所以共有C42(2)“至少”的含義是不低于,有兩種解答方法.方法一(直接法)按選取的外科專(zhuān)家的人數(shù)分類(lèi):①選2名外科專(zhuān)家,共有C42×C②選3名外科專(zhuān)家,共有C43×C③選4名外科專(zhuān)家,共有C44×C根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理,知共有C42×C64+C43×C63方法二(間接法)不考慮是否有外科專(zhuān)家,共有C106種選法;考慮選取1名外科專(zhuān)家參加,有C41×C65種選法;沒(méi)有外科專(zhuān)家參加,有C66種選法.所以共有C106(3)“至多有2名”包括“沒(méi)有”“有1名”“有2名”三種情況,分類(lèi)解答.①?zèng)]有外科專(zhuān)家參加,有C66②有1名外科專(zhuān)家參加,有C41×C③有2名外科專(zhuān)家參加,有C42×C所以共有C66+C41×C65+CB級(jí)能力提升7.多選題(2023·廣州期中)下列有關(guān)排列數(shù)、組合數(shù)計(jì)算正確的有()A.C53=5×4×3B.從2,3,5,7中任取兩個(gè)數(shù)相乘可得C4C.C32+C42+C52D.n(n+1解析:對(duì)于選項(xiàng)A,由于C53=C52=5×4對(duì)于選項(xiàng)B,由于從2,3,5,7中任取兩個(gè)數(shù)相乘可得C42故選項(xiàng)B正確;對(duì)于選項(xiàng)C,根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)Cnm+Cn可得C32+C42+C52+…+C1002=C33+C32+C故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)D,101Cn+100101=101×(故選項(xiàng)D正確.答案:BD8.6名同學(xué)到甲、乙、丙三個(gè)場(chǎng)館做志愿者,每名同學(xué)只去1個(gè)場(chǎng)館,甲場(chǎng)館安排1名,乙場(chǎng)館安排2名,丙場(chǎng)館安排3名,則不同的安排方法共有()A.120種B.90種C.60種D.30種解析:每名同學(xué)只去1個(gè)場(chǎng)館,甲場(chǎng)館安排1名,乙場(chǎng)館安排2名,丙場(chǎng)館安排3名,甲場(chǎng)館從6人中挑1人,有C61=6種結(jié)果;乙場(chǎng)館從余下的5人中挑2人,有C52=10種結(jié)果;余下的3人去丙場(chǎng)館.故共有6×10=60種安排方法答案:C9.若Cn+16-Cn6=Cn7(n∈N*),A.11 B.12 C.13 D.14解析:Cn+16-Cn6=Cn7變形可得由組合數(shù)的性質(zhì)可得,Cn6+Cn即Cn+16則可得n+1=6+7,所以n=12.故選B.答案:B10.(2021·全國(guó)乙卷)將5名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn),每名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目,每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者,則不同的分配方案共有()A.60種 B.120種C.240種 D.480種解析:5名志愿者選2個(gè)1組,有C52種方法,然后4組進(jìn)行全排列,有A44種,共有C52A答案:C11.某社區(qū)服務(wù)站將5位志愿者分成3組,其中兩組各2人,另一組1人,分別去三個(gè)不同的社區(qū)參加活動(dòng),不同的分配方案有多少種?解:將5位志愿者分成3組,其中兩組各2人,另一組1人,有C51×C42×C22A22種分法;再將3組人分到三個(gè)不同社區(qū),共有C級(jí)挑戰(zhàn)創(chuàng)新12.多空題某地有7條南北向街道,5條東西向街道,如圖所示.圖中共有210個(gè)矩形;從點(diǎn)A走到點(diǎn)B的最短路線(xiàn)的走法有210種.解析:第一問(wèn)在7條縱線(xiàn)中任選2條,在5條橫線(xiàn)中任選2條,這樣的4條線(xiàn)可以組成1個(gè)矩形,故組成的矩形個(gè)數(shù)為C72×C5第二問(wèn)每條東西向街道被分成6段,每條南北向街道被分成4段,從A到B最短路線(xiàn)的走法無(wú)論怎樣走,一定包括10段,其中6段向東走,另4段向北走.每種走法,都是從10段中選出6段,這6段是向東走的,剩下4段是向北走的(每個(gè)選法是1種走法),共有C106=21013.四個(gè)不同的小球,全部放入編號(hào)為1,2,3,4的四個(gè)盒子中.(1)隨便放(可以有空盒,但球必須都放入盒中),有多少種放法?(2)四個(gè)盒都不空的放法有多少種?(3)恰有一個(gè)空盒的放法有多少種?(4)恰有兩個(gè)空盒的放法有多少種?(5)甲球所放盒的編號(hào)總小于乙球所放盒的編號(hào)的放法有多少種?解:(1)由于可以隨便放,故每個(gè)小球都有4種放法,所以放法種數(shù)是4×4×4×4=44=256.(2)將四個(gè)小球全排列后放入四個(gè)盒子即可,所以放法種數(shù)是A44=(3)由題意知,必然是四個(gè)小球放入三個(gè)盒子中.分三步完成:選出三個(gè)盒子;將四個(gè)小球分成三堆;將三堆小球全排列后放入三個(gè)盒子.所以放法種數(shù)是C43×C42×(4)由題意,必然是四個(gè)小球放入兩個(gè)盒子中.分三步完成:選出兩個(gè)盒子;將四個(gè)小球分成兩堆;將兩堆小球全排列放入兩個(gè)盒子.所以放法種數(shù)是C42(C42×C22A2(5)分三類(lèi)放法.第一類(lèi):甲球放入1號(hào)盒子,則乙球有3種放法(可放入2,3,4號(hào)盒子),其余兩球可隨便放入四個(gè)盒子,有42種放法.故此類(lèi)放法的種數(shù)是3×42.第二類(lèi):甲球放