機(jī)械故障診斷學(xué)第三章動態(tài)系統(tǒng)特性的時域分析

機(jī)械故障診斷學(xué)第三章動態(tài)系統(tǒng)特性的時域分析第3章動態(tài)系統(tǒng)特性的時域分析

概述

隨機(jī)過程和時間序列

時間序列的統(tǒng)計分析

線性時間序列模型及其應(yīng)用

工況狀態(tài)變化趨勢性模型分析機(jī)械故障診斷理論與方法2023/12/252特征分析的目的：去偽存真去粗取精特征分析的手段：時域頻域及其各種變換域時頻域1、概述2023/12/253涉及：數(shù)字信號處理、概率論與數(shù)理統(tǒng)計、隨機(jī)過程、時間序列分析、信息理論、圖像處理及人工智能等

隨機(jī)過程的基本概念：實現(xiàn)、隨機(jī)過程、隨機(jī)變量2、隨機(jī)過程和時間序列2023/12/254

實現(xiàn)(Realizaition)：在時間t∈T范圍內(nèi)，每進(jìn)行一次實驗所得的觀測結(jié)果，稱為一次實現(xiàn)。多次實現(xiàn)記為若為一次實現(xiàn)簡記為，離散數(shù)據(jù)序列通常都是一次實現(xiàn)，簡記為。2、隨機(jī)過程和時間序列2023/12/255

隨機(jī)過程(Stochasticprocess)：在時間t∈T范圍內(nèi)，k次實驗的總體—樣本函數(shù)稱為隨機(jī)過程。其中，離散數(shù)據(jù)序列記為2、隨機(jī)過程和時間序列2023/12/256

隨機(jī)變量(Stochasticvariable)：每次實現(xiàn)的觀測值稱為隨機(jī)過程在該時刻的隨機(jī)變量。每次觀測到的結(jié)果是不相同的，它表明了隨機(jī)過程的觀測值不能重復(fù)（重要事實）實現(xiàn)、隨機(jī)過程、隨機(jī)變量三者的關(guān)系樣本空間上的隨機(jī)變量2023/12/257

隨機(jī)變量的分布函數(shù)隨機(jī)變量xt的分布函數(shù)：若存在非負(fù)函數(shù)p(x)，使得

x0時：對任意的x(-,+)成立，則稱p(x)為隨機(jī)變量

xt的概率密度函數(shù)。正態(tài)分布的概率密度函數(shù)：2023/12/258

隨機(jī)過程的數(shù)字特征

隨機(jī)過程在各時刻對應(yīng)的隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)可以完整地描述隨機(jī)過程的性質(zhì)。但對于工程領(lǐng)域中的隨機(jī)過程，其各時刻隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)以及過程本身的聯(lián)合概率密度函數(shù)通常難以確定，因此有必要引入隨機(jī)過程的某些數(shù)字特征進(jìn)行描述。2023/12/25900

mstt+mstt-xtmt903060120150時間t0.80.60.40.2-0.2-0.4-0.8xt

均值與方差2023/12/2510意義：隨機(jī)變量的均值反映了的隨機(jī)變化中心，方差則反應(yīng)了隨機(jī)變量不同的樣本函數(shù)對均值的平均偏離程度。k階原點(diǎn)矩

k階中心矩

矩函數(shù)2023/12/2511由定義可見，隨機(jī)變量的均值即為一階原點(diǎn)矩，方差即為二階中心距。自相關(guān)函數(shù)（系數(shù)）

自協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)自協(xié)方差函數(shù)2023/12/2512二元對稱工程中，通常對隨機(jī)變量進(jìn)行零均值處理，此時：

高階自協(xié)方差函數(shù)和高階自相關(guān)函數(shù)2023/12/2513平穩(wěn)過程：隨機(jī)過程的分布函數(shù)或概率密度函數(shù)(若存在)不隨時間t的變化而變化。

平穩(wěn)隨機(jī)過程及其性質(zhì)嚴(yán)平穩(wěn)過程：和與t無關(guān)。2023/12/2514寬平穩(wěn)隨機(jī)過程條件：一般，隨機(jī)過程的嚴(yán)平穩(wěn)性與寬平穩(wěn)性沒有確定的因果關(guān)系，嚴(yán)平穩(wěn)性條件通常較寬平穩(wěn)性條件嚴(yán)格，若嚴(yán)平穩(wěn)過程具有二階矩，則其也必為寬平穩(wěn)過程。特別地，對于正態(tài)隨機(jī)過程，嚴(yán)平穩(wěn)與寬平穩(wěn)相互等價。

2023/12/2515①均值：②二階原點(diǎn)矩：③自協(xié)方差：具有遍歷性的隨機(jī)過程必為平穩(wěn)過程；但平穩(wěn)過程未必是遍歷的；遍歷性是工程信號統(tǒng)計分析方法的基礎(chǔ)。

平穩(wěn)隨機(jī)過程的遍歷性

所謂隨機(jī)過程的遍歷性，通俗地說，就是：在下標(biāo)集T上，隨機(jī)過程按其分布函數(shù)遍歷其所有的可能狀態(tài)。對遍歷性隨機(jī)過程而言，過程的集合平均等于其任何一個樣本在時間T上的平均2023/12/25163、時間序列的統(tǒng)計分析統(tǒng)計分析：基于時間序列的平穩(wěn)性和遍歷性假設(shè)，根據(jù)觀測樣本對時間序列的各種數(shù)字特征或分布函數(shù)作出某種切合實際的估計。時間序列：按時間順序排列的一組數(shù)據(jù)。在時間序列分析領(lǐng)域，通常指一組時間或空間有序的隨機(jī)數(shù)據(jù)，為深入分析，偶爾也涉及確定性數(shù)據(jù)。2023/12/2517

均值和方差估計

自協(xié)方差（相關(guān)）函數(shù)估計

高階自協(xié)方差（相關(guān)）函數(shù)估計2023/12/2518設(shè)為平穩(wěn)遍歷時間序列的觀測樣本K值可正可負(fù)

偏度系數(shù)和峭度系數(shù)012345-1-2-3-4-500.10.20.30.40.5p(x)g111＜0gg＞0=0x偏度系數(shù)：2023/12/2519012345-1-2-3-4-500.20.40.60.8g23>g23<g23=xp(x)峭度系數(shù)：2023/12/2520

概率密度函數(shù)的估計xx+

x0x(t)

t1

t2

t3

t4tT0

xp(x)2023/12/2521區(qū)間的數(shù)目：

2023/12/25224、線性時間序列模型分析及其應(yīng)用

動態(tài)過程十分復(fù)雜，從觀測數(shù)據(jù)不能直接分析系統(tǒng)的變化規(guī)律

數(shù)學(xué)模型。動態(tài)過程狀態(tài)的變化，反映在其數(shù)學(xué)模型的結(jié)構(gòu)、參數(shù)和特征函數(shù)的變化。模型可以用于對系統(tǒng)的未來狀態(tài)和發(fā)展趨勢進(jìn)行預(yù)報和控制。研究動態(tài)系統(tǒng)時域模型是工況監(jiān)視與故障診斷的重要方法和手段之一根據(jù)觀測值直接建模,無需知道系統(tǒng)輸入和傳遞函數(shù)2023/12/25234.1時間序列模型的結(jié)構(gòu)特征觀測數(shù)據(jù)特點(diǎn)(機(jī)械設(shè)備運(yùn)行中)動態(tài)過程是隨機(jī)過程系統(tǒng)的輸入無法確知機(jī)械系統(tǒng)相互耦合時間序列模型（timeseriesmodeling）時間序列數(shù)據(jù)有一個時間上的順序是指僅用它的過去值及隨機(jī)擾動項所建立起來的模型，其一般形式為

Xt=F(Xt-1,Xt-2,…,

t)建立具體的時間序列模型，需解決如下三個問題：

(1)模型的具體形式

(2)時序變量的滯后期

(3)隨機(jī)擾動項的結(jié)構(gòu)2023/12/25244.2時間序列建模方法主要時序模型自回歸滑動平均模型(ARMA模型):平穩(wěn)正態(tài)雙線性模型:門限自回歸模型:非線性自激振蕩指數(shù)自回歸模型:復(fù)現(xiàn)非線性現(xiàn)象狀態(tài)依賴模型:預(yù)處理平穩(wěn)性檢驗正態(tài)性檢驗隨機(jī)趨勢檢驗和處理2023/12/25254.3自回歸過程(Auto-regressivemodel,AR)

如果一個隨機(jī)過程可表達(dá)為其中Фi,i=1,…n是自回歸參數(shù)，ut是白噪聲（指功率譜密度在整個頻域內(nèi)均勻分布的噪聲）過程，則稱xt為n階自回歸過程，用AR(n)表示。xt

是由它的n個滯后變量的加權(quán)和以及ut

相加而成。若用滯后算子表示

其中稱為特征多項式或自回歸算子。2023/12/2526與自回歸模型常聯(lián)系在一起的是平穩(wěn)性問題。對于自回歸過程AR(p)，如果其特征方程的所有根的絕對值都大于1，則AR(n)是一個平穩(wěn)的隨機(jī)過程。AR(n)過程中最常用的是AR(1)、AR(2)過程，

xt=

1xt-1

+ut

保持其平穩(wěn)性的條件是特征方程

(1-

1B)=0

根的絕對值必須大于1，滿足|1/

1|

1，也就是：

|

1|<12023/12/2527定義后移算子B：

線性時間序列模型——ARMA(n,m)模型ARMA：AutoregRessiveMovingAverage自回歸滑動平均模型:適于平穩(wěn)正態(tài)過程2023/12/2528q(B)

(B)atxt則：自回歸AR(n)模型：滑動平均MA(m)模型：建立ARMA模型的條件：時間序列平穩(wěn)、線性ARMA(n,m)序列{xt}可以視為一個傳遞函數(shù)為的系統(tǒng)在白噪聲序列{at}激勵下的響應(yīng)2023/12/25294.4N階連續(xù)系統(tǒng)微分方程傳遞函數(shù)：離散系統(tǒng)：差分方程：傳遞函數(shù)：2023/12/2530

ARMA(n,m)模型的穩(wěn)定性及其特性函數(shù)ARMA模型：算子方程：特征方程：設(shè)算子方程有n個根，且沒有重根，不失一般性，令：2023/12/2531一般在工程中滑動平均部分的階數(shù)總是小于自回歸部分，故有：

物理不可實現(xiàn)2023/12/2532從工程應(yīng)用來看，只有當(dāng)k=n，且|

i|

>1，即|

i|<1時，系統(tǒng)物理可實現(xiàn)。即系統(tǒng)物理可實現(xiàn)的條件為算子方程的根

i位于復(fù)平面的單位圓外，或特征方程的根

i位于復(fù)平面的單位圓內(nèi)，此即系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件。此時：離散卷積2023/12/2533

格林(Green)函數(shù)令輸入為單位脈沖：上式表明，Gj是系統(tǒng)對t＝0時刻作用于系統(tǒng)的單位脈沖所產(chǎn)生的響應(yīng)序列。稱之為格林函數(shù)。它的最大優(yōu)點(diǎn)是可以利用輸出數(shù)據(jù)建模求得，在生產(chǎn)條件下容易實現(xiàn)，可以在線進(jìn)行。2023/12/2534對漸近穩(wěn)定的系統(tǒng)，必然有：ARMA(n,m)模型的格林函數(shù)：2023/12/2535在許多工程問題中，n>m,如果AR部分具有n個不相等的特征根，則：格林函數(shù)：2023/12/2536

自協(xié)方差函數(shù)與格林函數(shù)的關(guān)系2023/12/25374.5自協(xié)方差函數(shù)的估計檢測數(shù)據(jù)是有限的,只能從有限長度的樣本值{xt}來求自協(xié)方差函數(shù)的估計值和自相關(guān)函數(shù):自協(xié)方差函數(shù):2023/12/2538

AR(n)、MA(m)、ARMA(n,m)模型的估計方法較多，大體上分為3類：

（1）最小二乘估計；（2）矩估計；（3）利用自相關(guān)函數(shù)的直接估計。

結(jié)構(gòu)階數(shù)模型識別確定估計參數(shù)4.6時間序列模型的估計2023/12/2539五、工況狀態(tài)變化趨勢性及其預(yù)報時間，t時間，t時間，t時間，tx(t)x(t)x(t)x(t)線性趨勢多項式趨勢衰減的周期趨勢多項式與周期趨勢發(fā)現(xiàn)隱含趨勢的形成和發(fā)展,預(yù)知工況狀態(tài)的變化2023/12/2540時間序列的典型趨勢性

適用于含確定性趨勢序列的組合模型非平穩(wěn)觀測時序確定性趨勢序列平穩(wěn)隨機(jī)序列2023/12/2541

適用于含隨機(jī)趨勢序列的ARIMA(自回歸-求和-滑動平均)模型ARIMA型季節(jié)性乘積模型：特征多項式含有形如的因子，或者說，這類模型具有一個或多個分布在單位圓上的特征根。隨機(jī)季節(jié)性趨勢,適于季節(jié)性變化趨勢隨機(jī)多項式趨勢,適于多項式變化趨勢2023/12/2542

平穩(wěn)時間序列的預(yù)報:從現(xiàn)在和過去的行為預(yù)測其未來發(fā)展趨勢tt+llttxltx+)(let)tx過去未來現(xiàn)在實際數(shù)據(jù)曲線)(lxt)95%置信限95%置信限2023/12/2543時間序列預(yù)報的出發(fā)點(diǎn)是使預(yù)報誤差均方值達(dá)到最小。并稱相應(yīng)的預(yù)報值為平穩(wěn)線性最小方差預(yù)報。

2023/12/2544上式中，A部分包含了未來時刻的白噪聲at+l,at+l-1,at+l-2,…,at+1，在當(dāng)前時刻t無法對未來的白噪聲進(jìn)行預(yù)測，即A屬于不可預(yù)測部分。而B部分所含的白噪聲均為確定的、可以計算的。因此，B部分即為xt+l的預(yù)報值。易見，向前l(fā)步的預(yù)測誤差為未來l個白噪聲的線性組合。預(yù)測誤差方差為：2023/12/2545可以證明上述預(yù)報結(jié)果為最小方差預(yù)報。

易見，向前l(fā)

步的預(yù)報誤差僅與預(yù)報步距l(xiāng)有關(guān)，而與預(yù)報的起點(diǎn)無關(guān)。這一點(diǎn)說明了時間序列預(yù)報的平穩(wěn)性，還可看出步距l(xiāng)愈大，預(yù)報誤差也愈大。

可