機械控制工程基礎-第四章-系統(tǒng)的瞬態(tài)響應與誤差分析

機械控制工程基礎-第四章-系統(tǒng)的瞬態(tài)響應與誤差分析第4章系統(tǒng)的瞬態(tài)響應與誤差分析本章考點：1、時間響應：概念及瞬態(tài)響應、穩(wěn)態(tài)響應的定義。2、脈沖響應函數(shù)：定義、與傳函的關系及任意輸入下的脈沖響應。3、一階系統(tǒng)：傳遞函數(shù)及增益、時間常數(shù)的計算；一階系統(tǒng)的單位脈沖、單位階躍、單位斜坡響應函數(shù)的計算。4、二階系統(tǒng)：傳遞函數(shù)及無阻尼自然頻率、阻尼自然頻率、阻尼比的計算；特征方程及臨界阻尼系數(shù)的含義；5、三階和高階系統(tǒng)的時間響應：主導極點的概念及其與相應的關系。6、瞬態(tài)響應：性能指標的定義；二階系統(tǒng)瞬態(tài)響應指標的計算以及二級系統(tǒng)的阻尼比、無阻尼自然頻率與各性能指標的關系。7、系統(tǒng)誤差分析：誤差和穩(wěn)態(tài)誤差的概念及計算；系統(tǒng)類型的定義；系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)類型、開環(huán)增益及輸入信號之間的關系；靜態(tài)誤差系數(shù)與穩(wěn)態(tài)誤差。引言：動態(tài)系統(tǒng)的研究方法動態(tài)系統(tǒng)的研究方法有兩種：1、時域分析法：根據(jù)系統(tǒng)的微分方程或傳遞函數(shù)，求出系統(tǒng)的輸出量隨時間的變化規(guī)律，從而確定系統(tǒng)的性能2、頻域分析法：以拉氏變換為工具將時域轉換為頻域，研究系統(tǒng)對正弦輸入的穩(wěn)態(tài)響應，分析系統(tǒng)與過程在不同頻率的輸入信號作用下的響應特性。

本章采用第1種方法。4-1時間響應1、時間相應的概念（1）定義：系統(tǒng)在外加激勵下，其輸出量隨時間變化的函數(shù)關系叫做系統(tǒng)的時間響應。（2）時間響應=瞬態(tài)響應（0<t<t1)+穩(wěn)態(tài)響應(t→∞）（3）系統(tǒng)微分方程的解=系統(tǒng)時間相應的表達式（4）四種典型輸入信號：階躍函數(shù)脈沖函數(shù)斜坡函數(shù)加速度函數(shù)2、脈沖響應函數(shù)（1）定義：系統(tǒng)受到一個單位脈沖激勵（輸入）時產生的響應叫做單位脈沖響應。（2）圖示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)即為其脈沖響應函數(shù)g(t)的像函數(shù).系統(tǒng)X(t)Y(t)輸入函數(shù)圖4-2單位脈沖響應函數(shù)4-2一階系統(tǒng)的時間響應1、一階系統(tǒng)的數(shù)學模型（1）一階系統(tǒng)：能用一階微分方程描述的系統(tǒng)。（2）RC電路一階系統(tǒng)傳函的一般形式

2、一階系統(tǒng)的單位階躍響應（1）輸入：單位階躍函數(shù)（2）輸出：（3）響應曲線Laplace3、一階系統(tǒng)的脈沖響應（1）輸入：單位脈沖函數(shù)（2）輸出：（3）響應曲線

Laplace4、一階系統(tǒng)的單位斜坡響應（1）輸入:（2）輸出：（3）響應曲線Laplace圖4-11表一一階系統(tǒng)對典型輸入信號的響應輸入信號輸入信號輸出響應傳遞函數(shù)單位脈沖R(s)=1單位階躍

1(t)單位斜坡

t加速度函數(shù)等價關系：系統(tǒng)對輸入信號導數(shù)的響應，就等于系統(tǒng)對該輸入信號響應的導數(shù)；系統(tǒng)對輸入信號積分的響應，就等于系統(tǒng)對該輸入信號響應的積分；積分常數(shù)由零初始條件確定。4-3二階系統(tǒng)的時間響應1、二階系統(tǒng)的數(shù)學模型（1）定義：由二階微分方程描述的系統(tǒng)。（2）典型例題：彈簧—質量—阻尼系統(tǒng)（3）微分方程

拉氏變換傳遞函數(shù)特征根

S(S+2ξωn)ωn2圖4-13

標準形式的二階系統(tǒng)方塊圖_－自然頻率（或無阻尼振蕩頻率）－阻尼比（相對阻尼系數(shù)）

Xi（S）Xo（s)(4)二階系統(tǒng)的標準形式及方塊圖x++2、二階系統(tǒng)的單位階躍響應（1）輸入（2）傳遞函數(shù)（簡化形式）特征方程特征根f(t)t10單位階躍函數(shù)特征根有三種情況：①欠阻尼，，特征根有一對共軛復根此時，此為衰減振蕩函數(shù),t,c(t)1∞∞②臨界阻尼，，特征根為一負實根。此為衰減振蕩的極限。

③過阻尼，，系統(tǒng)有兩個不等的負實根，二階系統(tǒng)的單位階躍響應曲線圖4-16不同值的二階系統(tǒng)單位階躍響應曲線3、二階系統(tǒng)的單位脈沖響應（1）輸入信號

（2）傳遞函數(shù)

輸出特征方程特征根

特征根有三種情況：①欠阻尼，，特征根有一對共軛復根(2)臨界阻尼（3）過阻尼

4-4高階系統(tǒng)動態(tài)分析1、三階系統(tǒng)（1）傳遞函數(shù)（2）對應方程（3）單位階躍響應令，作拉氏逆變換，得（4）閉環(huán)主導極點若實極點位于共軛復數(shù)極點的右側，且距原點很近，則響應表現(xiàn)出明顯的慣性環(huán)節(jié)特性，共軛極點只增加曲線初始段的波動。若實極點遠離共軛復數(shù)極點，位于它們的左側較遠處，則實數(shù)極點對系統(tǒng)動態(tài)影響較小，響應特性主要決定于復數(shù)極點?？傊?，三階系統(tǒng)的響應特性主要決定于距虛軸較近的閉環(huán)極點，這類極點叫做系統(tǒng)的閉環(huán)主導極點2、高階系統(tǒng)（1）主導極點：系統(tǒng)的所有閉環(huán)極點中，距虛軸最近，且周圍無閉環(huán)零點的極點。主導極點對系統(tǒng)響應起主導作用，其它極點在近似分析中可以忽略不計。一般的，閉環(huán)主導極點總以共軛復數(shù)極點的形式出現(xiàn)。（2）高階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)4-5瞬態(tài)響應的性能指標二階系統(tǒng)的單位脈沖響應性能要求：穩(wěn)定性、準確性、靈敏性1、瞬態(tài)響應的性能指標（1）前提條件：①系統(tǒng)受單位階躍信號作用；②零初始條件。（2）瞬態(tài)響應的性能指標①延遲時間td：單位階躍響應c(t)達到其穩(wěn)態(tài)值的50%時所需要的時間。②上升時間tr：單位階躍響應c(t),叢穩(wěn)態(tài)值的10%——90%（對于過阻尼），或從0——100%（對于欠阻尼）所需要的時間。③峰值時間tp：單位階躍響應c(t)超過其穩(wěn)態(tài)值而到達第一個峰值時所需要的時間。④超調量Mp:單位階躍響應c(t)第一次越過穩(wěn)態(tài)值而達峰值時對穩(wěn)態(tài)值的偏差與穩(wěn)態(tài)值之比。⑤調整時間ts:單位階躍響應c(t)與穩(wěn)態(tài)值之差進入允許的誤差范圍所需要的時間。通常取5%或2%。相對性指標——Mp；靈敏性指標——td，tr，ts。瞬態(tài)響應的性能指標的圖示2、二階系統(tǒng)瞬態(tài)響應指標的推證（1）上升時間tr：由（4-28）式，當t=tr時C(tr)=1,即令可得（4——43）（2）峰值時間將（4-28）式對時間求導，并令其為零，即（3）超調量Mp：已知代入超調量的定義式?？傻每梢?，超調量僅與阻尼比有關。

（4）調整時間ts對欠阻尼二階系統(tǒng)，瞬態(tài)響應為其包絡線方程為設允許誤差為δ%，則調整時間滿足用包絡線近似代替C(t),可得例題4-1，4-2，4-3p87-89

C(ts)-1=δ/100R(s)(-)C(s)?化為標準形式?即有2

n=1/Tm=5,

n2=K/Tm=25

解：系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為?解得

n=5,ζ=0.5

例1

已知圖中Tm=0.2，K=5，求系統(tǒng)單位階躍響應指標。[解]：①③當T不變時，T=0.25，②[例2]：如圖所示系統(tǒng)，試求：①和;②和③若要求時，當T不變時K=?R(s)(-)C(s)?化為標準形式?即有2

n=1/Tm=5,

n2=K/Tm=25

解：系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為?解得

n=5,ζ=0.5

例3

已知圖中Tm=0.2，K=5，求系統(tǒng)單位階躍響應指標。4-6系統(tǒng)誤差分析引論：

(1)時間響應=瞬態(tài)分量+穩(wěn)態(tài)分量

(2)誤差產生原因：①系統(tǒng)結構不同，輸入信號不同，使輸出值偏離輸入值。②外界的干擾作用。③系統(tǒng)存在摩擦、間隙、零件變形。1、誤差與誤差的概念（1）誤差

測量值與真值之差異稱為誤差；測量值偏離真值的大小，稱為絕對誤差；相對誤差，是絕對誤差與測量值或多次測量均值的比值。①誤差信號E(S)=R(s)-H(s)C(s)Fig.4-24②誤差

(2)穩(wěn)態(tài)誤差①時域分析中：誤差通常是時間t的函數(shù)，以e(t)表示；穩(wěn)態(tài)誤差定義為誤差信號的穩(wěn)態(tài)分量，以ess表示

②計算公式：

C(s)=E(s)G(s)E(s)=R(s)-E(s)G(s)H(s)∴由終值定理

E(S)=R(s)-H(s)C(s)，F(xiàn)ig.4-242、系統(tǒng)的類型（1）開環(huán)傳遞函數(shù)

①定義②一般地，K—開環(huán)增益；Ta,Tb,--Tm;T1,T2,--Tp---時間常數(shù)；

----傳遞函數(shù)在原點有λ重極點。（2）按積分環(huán)節(jié)的個數(shù)分類：

λ=0，0型系統(tǒng)；λ=1，Ⅰ型系統(tǒng)；λ=2，Ⅱ型系統(tǒng)（3）影響系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的因素可見，影響系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的因素為系統(tǒng)的類型λ

、開環(huán)增益K和輸入信號R(s)3、靜態(tài)誤差系數(shù)與穩(wěn)態(tài)誤差

（1）靜態(tài)位置誤差系數(shù)Kp：由（4-50）式，對單位階躍輸入其中①②位置誤差單位階躍輸入的響應曲線0型系統(tǒng)1型及以上系統(tǒng)（2）靜態(tài)速度誤差系數(shù)Kv①定義：系統(tǒng)對單位斜坡輸入的穩(wěn)態(tài)誤差叫做速度誤差，即靜態(tài)速度誤差系數(shù)Kv定義為②速度誤差為

特例（3）靜態(tài)加速度誤差系數(shù)Ka①定義：系統(tǒng)對單位加速度輸入的穩(wěn)態(tài)誤差叫做加速度誤差，即