微積分不定積分的分部積分法

一、根本內(nèi)容二、小結(jié)三、思考題第二十四節(jié)分部積分法問題解決思路利用兩個(gè)函數(shù)乘積的求導(dǎo)法那么.分部積分(integrationbyparts)公式一、根本內(nèi)容1)v容易求得;容易計(jì)算.例1

求積分解〔一〕令顯然，選擇不當(dāng)，積分更難進(jìn)行.解〔二〕令例2

求積分解〔再次使用分部積分法〕總結(jié)若被積函數(shù)是冪函數(shù)和正(余)弦函數(shù)或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積,就考慮設(shè)冪函數(shù)為,使其降冪一次(假定冪指數(shù)是正整數(shù))

例3

求積分解令例4

求積分解總結(jié)若被積函數(shù)是冪函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積，就考慮設(shè)對(duì)數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)為.

練習(xí)

求解解題技巧:把被積函數(shù)視為兩類函數(shù)之積

,按“反對(duì)冪指三〞的順序,前者為后者為例5.

求解:

令,那么原式=反:反三角函數(shù)對(duì):對(duì)數(shù)函數(shù)冪:冪函數(shù)指:指數(shù)函數(shù)三:三角函數(shù)練習(xí).求解:

令,那么原式=練習(xí)

求解例6

求積分解例7

求積分解注意循環(huán)形式例8

求積分解令

解

練習(xí)

求

令

那么..

例9

推導(dǎo)以下遞推公式:

解

循環(huán)提示：對(duì)含自然數(shù)n

的積分,通過分部積分建立遞推公式.

解

當(dāng)n

1時(shí),用分部積分法,

有

例10

即回歸解兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo),得二、不定積分在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用例1某企業(yè)的某種產(chǎn)品在產(chǎn)量為q〔單位：千件〕時(shí)的邊際本錢函數(shù)為且固定本錢為90萬元，求總本錢函數(shù)。解：總本錢函數(shù)一般形式：總本錢等于可變本錢與固定本錢之和，當(dāng)產(chǎn)量為零時(shí)，可變本錢為零，此時(shí)總本錢為固定本錢90,即C〔0〕＝90.代入總本錢函數(shù)的一般形式，有所以，C=80.總本錢函數(shù)的表達(dá)式為21例2某集團(tuán)公司生產(chǎn)的某種產(chǎn)品的邊際收入是64q-q2(單位：萬元／百臺(tái))，其中q是售出的產(chǎn)品數(shù)量〔單位：百臺(tái)〕，求其收入函數(shù)。解：收入函數(shù)一般形式銷售量為0時(shí)，收入為0,即R(0)=0.代入收入函數(shù)的一般形式，有得，C=0收入函數(shù)的表達(dá)式為：例3設(shè)某商品的需求量Q是價(jià)格p的函數(shù)，該商品的最大需求是1000〔即當(dāng)p=0時(shí)，Q＝1000〕。需求量的變化率(邊際需求)為求需求量Q與價(jià)格p的函數(shù)關(guān)系。解：需求量的變化率，求需求量函數(shù)，即求不定積分。有23由條件，p=0,Q=1000,代入上式得C=0.得到需求對(duì)價(jià)格的函數(shù)合理選擇，正確使用分部積分公式三、小結(jié)思考題在接連幾次應(yīng)用分部積分公式時(shí)，應(yīng)注意什么？思