大學(xué)生數(shù)學(xué)試題及答案

大學(xué)生數(shù)學(xué)試題及答案考試形式：閉卷考試時(shí)間：150分鐘總分值：100分一、(此題總分值10分)求極限?！窘狻恳蛟谏线B續(xù)，故存在，且=，所以，。二、(此題總分值10分)請(qǐng)問(wèn)為何值時(shí)下式成立【解】注意到左邊得極限中，無(wú)論為何值總有分母趨于零，因此要想極限存在，分子必須為無(wú)窮小量，于是可知必有，當(dāng)時(shí)使用洛必達(dá)法那么得到，由上式可知：當(dāng)時(shí)，假設(shè)，那么此極限存在，且其值為0；假設(shè)，那么，綜上所述，得到如下結(jié)論：或。三、(此題總分值10分)計(jì)算定積分?！窘狻孔髯儞Q，那么，所以，。四、(此題總分值10分)求數(shù)列中的最小項(xiàng)?！窘狻恳?yàn)樗o數(shù)列是函數(shù)當(dāng)x分別取時(shí)的數(shù)列。又且令，容易看出：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。所以，有唯一極小值。而，因此數(shù)列的最小項(xiàng)。五、(此題總分值10分)求?！窘狻靠紤]冪級(jí)數(shù)，其收斂半徑為，收斂區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，收斂；當(dāng)時(shí)，發(fā)散，因此其收斂域?yàn)?。設(shè)其和函數(shù)為，那么，。于是，故，。六、(此題總分值10分)設(shè)，其中為連續(xù)函數(shù)，求?！窘狻吭匠炭蓪?xiě)為，上式兩端對(duì)求導(dǎo)得〔*〕兩端再對(duì)求導(dǎo)得即這是一個(gè)二階線性常系數(shù)非齊次方程，由原方程知，由〔*〕式知。特征方程為，齊次通解為設(shè)非齊次方程特解為，代入得。那么非齊次方程通解為由初始條件和可知，。七、(此題總分值10分)在過(guò)點(diǎn)和的曲線族中，求一條曲線L，使沿該曲線從O到A的積分的值最小。【解】。令，得；又，那么在處取極小值，且a=1是I(a)在(0,+∞)內(nèi)的唯一極值點(diǎn)，故a=1時(shí)I(a)取最小值，那么所求曲線為。八、(此題總分值10分)設(shè)f(x)在[?1,1]上有二階導(dǎo)數(shù)，且，。證明：1．，x∈[?1,1]。2．f(x)=x在[?1,1]上有且只有一個(gè)實(shí)根?！咀C明】由泰勒公式，兩式相減并整理得于是,由于，因此，。令。那么，。但在[?1,1]上連續(xù)，由介值定理知，在[?1,1]上至少有一個(gè)零點(diǎn)。又由1可知，故在[?1,1]上嚴(yán)格單調(diào)，從而至多有一個(gè)零點(diǎn)。這樣在[?1,1]上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，即f(x)=x在[?1,1]上有且只有一個(gè)實(shí)根。九、(此題總分值10分)設(shè)在為連續(xù)函數(shù),那么?！窘狻苛钅敲?，那么所以即c為常數(shù)。而，特別地即。十