第4章 實(shí)數(shù)（單元測(cè)試·基礎(chǔ)卷）-2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)突破講與練（蘇科版）

第4章實(shí)數(shù)（單元測(cè)試·基礎(chǔ)卷）【要點(diǎn)回顧】【要點(diǎn)一】平方根和立方根類型項(xiàng)目平方根立方根被開(kāi)方數(shù)非負(fù)數(shù)任意實(shí)數(shù)符號(hào)表示性質(zhì)一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，且互為相反數(shù)；零的平方根為零；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根；一個(gè)正數(shù)有一個(gè)正的立方根；一個(gè)負(fù)數(shù)有一個(gè)負(fù)的立方根；零的立方根是零；重要結(jié)論【要點(diǎn)二】實(shí)數(shù)有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù).

1.實(shí)數(shù)的分類按定義分：實(shí)數(shù)按與0的大小關(guān)系分：實(shí)數(shù)2.實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng).數(shù)軸上的任何一個(gè)點(diǎn)都對(duì)應(yīng)一個(gè)實(shí)數(shù)，反之任何一個(gè)實(shí)數(shù)都能在數(shù)軸上找到一個(gè)點(diǎn)與之對(duì)應(yīng).3.實(shí)數(shù)的三個(gè)非負(fù)性及性質(zhì)：

在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù)。我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的非負(fù)數(shù)有如下三種形式：

（1）任何一個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是非負(fù)數(shù)，即||≥0；

（2）任何一個(gè)實(shí)數(shù)的平方是非負(fù)數(shù)，即≥0；

（3）任何非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)，即().

非負(fù)數(shù)具有以下性質(zhì)：

（1）非負(fù)數(shù)有最小值零；

（2）有限個(gè)非負(fù)數(shù)之和仍是非負(fù)數(shù)；

（3）幾個(gè)非負(fù)數(shù)之和等于0，則每個(gè)非負(fù)數(shù)都等于0.4.實(shí)數(shù)的運(yùn)算：數(shù)的相反數(shù)是－；一個(gè)正實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；0的絕對(duì)值是0.有理數(shù)的運(yùn)算法則和運(yùn)算律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.實(shí)數(shù)混合運(yùn)算的運(yùn)算順序：先乘方、開(kāi)方、再乘除，最后算加減.同級(jí)運(yùn)算按從左到右順序進(jìn)行，有括號(hào)先算括號(hào)里.5.實(shí)數(shù)的大小的比較：

有理數(shù)大小的比較法則在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.法則1.實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大；法則2．正數(shù)大于0，0大于負(fù)數(shù)，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)比較，絕對(duì)值大的反而??；法則3.兩個(gè)數(shù)比較大小常見(jiàn)的方法有：求差法，求商法，倒數(shù)法，估算法，平方法.一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（2023春·云南曲靖·七年級(jí)?？计谥校┫铝兴膫€(gè)實(shí)數(shù)中，最小的是（

）A．－1 B． C． D．22．（2021春·福建福州·七年級(jí)統(tǒng)考期中）下列實(shí)數(shù)中，屬于無(wú)理數(shù)的是（）A． B． C．0 D．3．（2019秋·浙江杭州·七年級(jí)期末）下列運(yùn)算正確的（

）A． B． C． D．4．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）已知，，下列運(yùn)算正確的是（）A． B． C． D．5．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）我國(guó)古代的數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》第四章“少?gòu)V”中的“開(kāi)方術(shù)”特指開(kāi)平方運(yùn)算．將2開(kāi)平方，結(jié)果是（

）A． B． C． D．6．（2023春·山東濟(jì)寧·七年級(jí)統(tǒng)考期中）的立方根是（

）A．3 B． C． D．7．（2023春·山東德州·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，數(shù)軸上，兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)分別為1和，若點(diǎn)為的中點(diǎn)，則點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)為（

）

A． B． C． D．8．（2022秋·湖南永州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，定義運(yùn)算：，如：，照此定義的運(yùn)算方式計(jì)算的值為（

）A．0 B．1 C． D．29．（2023·浙江·七年級(jí)假期作業(yè)）下列各式計(jì)算正確的是（

）A． B．C． D．10．（2021秋·四川巴中·七年級(jí)校考期中）設(shè)[m）表示大于m的最小整數(shù)，如[5.5）＝6，[﹣1.2）＝﹣1，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．[2）﹣2＝0 B．若[m）﹣m＝0.5，則m＝0.5C．[m）﹣m的最大值是1 D．[m）﹣m的最小值是0二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（2019春·七年級(jí)單元測(cè)試）4的平方根是．12．（2022秋·山東濟(jì)南·八年級(jí)山東省濟(jì)南實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）的絕對(duì)值是，的倒數(shù)是．13．（2022春·吉林·七年級(jí)統(tǒng)考期末）比較下列實(shí)數(shù)的大?。?(填>、<或=)．14．（2023·山東濱州·統(tǒng)考中考真題）一塊面積為的正方形桌布，其邊長(zhǎng)為．15．（2023春·四川涼山·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知一個(gè)正數(shù)的平方根是和，則．16．（2022秋·八年級(jí)單元測(cè)試）若的整數(shù)部分是，小數(shù)部分為，則．17．（2022秋·山東東營(yíng)·六年級(jí)校考開(kāi)學(xué)考試）觀察：，即；，即；猜想：18．（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）閱讀材料：如果兩個(gè)正數(shù)a、b，即，，則有下面的不等式，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取到等號(hào)．我們把叫做正數(shù)a、b算術(shù)平均數(shù)，把叫做正數(shù)a、b的幾何平均數(shù)，于是上述不等式可表述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于(即大于或等于)它們的幾何平均數(shù)．它在數(shù)學(xué)中有廣泛的應(yīng)用，是解決最大(小)值問(wèn)題的有力工具．根據(jù)上述材料，若，則y最小值為．三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（2020春·重慶忠縣·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）解方程：（1）

；（2）20．（8分）（2023春·河南許昌·七年級(jí)?？计谥校┯?jì)算：（1）；（2）21．（10分）（2019春·江西·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知2a+1的平方根是，5a+2b-2的算術(shù)平方根是4，求的值22．（10分）（2020秋·山東煙臺(tái)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知與互為相反數(shù)，求與的值.23．（10分）（2019春·江西宜春·七年級(jí)校考期中）結(jié)合數(shù)軸先化簡(jiǎn)，后求值：24．（12分）（2023春·廣西南寧·七年級(jí)校考期中）閱讀理解：∵，即．∴∴的整數(shù)部分為1，∴的小數(shù)部分為．解決問(wèn)題：已知a是的整數(shù)部分，b是的小數(shù)部分．（1）求的值；（2）求的平方根，提示：．（3）若c是立方根等于本身的數(shù)，且的倒數(shù)是2，求的值．參考答案：1．C【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)大小比較的方法將四個(gè)選項(xiàng)中的實(shí)數(shù)排列大小即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵，∴，∴四個(gè)實(shí)數(shù)中，最小的是?．故選：C．【點(diǎn)撥】本題主要考查實(shí)數(shù)大小的比較，熟練掌握實(shí)數(shù)比較大小的方法是解題的關(guān)鍵．2．B【分析】根據(jù)無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，可得答案．【詳解】解：A．，2是整數(shù)，屬于有理數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；B．是無(wú)理數(shù)，故本選項(xiàng)符合題意；C．0是整數(shù)，屬于有理數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；D．是分?jǐn)?shù)，屬于有理數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：B．【點(diǎn)撥】此題主要考查了無(wú)理數(shù)的定義，注意帶根號(hào)的要開(kāi)不盡方才是無(wú)理數(shù)，無(wú)限不循環(huán)小數(shù)為無(wú)理數(shù)．如π，，0.8080080008…（每?jī)蓚€(gè)8之間依次多1個(gè)0）等形式．3．D【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方、平方根、立方根逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】A、，此項(xiàng)錯(cuò)誤B、，此項(xiàng)錯(cuò)誤C、，此項(xiàng)錯(cuò)誤D、，此項(xiàng)正確故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了有理數(shù)的乘方、平方根、立方根，熟記各運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．4．A【分析】根據(jù)題目意思，找出題中規(guī)律即可求解．【詳解】解：∵，，A．符合題意；B．，選項(xiàng)不符合題意；C．，選項(xiàng)不符合題意；D．，選項(xiàng)不符合題意；故選：A．【點(diǎn)撥】本題主要考查了算術(shù)平方根，掌握算術(shù)平方根的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．D【分析】根據(jù)平方根的定義直接求解即可得到答案．【詳解】解：將2開(kāi)平方，結(jié)果是，故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查平方根，熟記平方根的定義是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．6．C【分析】先根據(jù)算術(shù)平方根的定義化簡(jiǎn)，然后再根據(jù)立方根的定義求解即可．【詳解】解：，又的立方根是，的立方根是，故選：C【點(diǎn)撥】本題考查了算術(shù)平方根、立方根的定義，熟練掌握這兩個(gè)定義是解題的關(guān)鍵．7．A【分析】由題意可得，再根據(jù)實(shí)數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系計(jì)算即可．【詳解】解：點(diǎn)為的中點(diǎn)，，點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)為，故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系，結(jié)合已知條件求得是解題的關(guān)鍵．8．B【分析】根據(jù)定義的運(yùn)算方式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：根據(jù)題意可得，．故選：B．【點(diǎn)撥】此題考查了實(shí)數(shù)新定義運(yùn)算，讀懂題意，正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．9．D【分析】A．根據(jù)實(shí)數(shù)減法的運(yùn)算方法判斷即可；B．根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性判斷即可；C．根據(jù)一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根的求法判斷即可；D．根據(jù)一個(gè)數(shù)的立方根的求法判斷即可．【詳解】解：A、∵，∴選項(xiàng)A不正確；B、∵，∴選項(xiàng)B不正確；C、∵，∴選項(xiàng)C不正確；D、∵，∴選項(xiàng)D正確；故選：D．【點(diǎn)撥】此題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，在進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算時(shí)，和有理數(shù)運(yùn)算一樣，要從高級(jí)到低級(jí)，即先算乘方、開(kāi)方，再算乘除，最后算加減，有括號(hào)的要先算括號(hào)里面的，同級(jí)運(yùn)算要按照從左到右的順序進(jìn)行；另外，有理數(shù)的運(yùn)算律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然適用；熟練運(yùn)用相應(yīng)的法則來(lái)計(jì)算是解題的關(guān)鍵．10．C【分析】根據(jù)新定義[m）表示大于m的最小整數(shù)，逐項(xiàng)進(jìn)行算判斷即可．【詳解】解：A、[2）﹣2＝3﹣2＝1，故本選項(xiàng)不合題意；B、若[m）﹣m＝0.5，則m不一定等于0.5，故本選項(xiàng)不合題意；C、[m）﹣m的最大值是1，故本項(xiàng)符合題意；D、[m）﹣m＞0，但是取不到0，故本選項(xiàng)不合題意；故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了新定義運(yùn)算，正確理解[m）表示大于m的最小整數(shù)是解題關(guān)鍵．11．±2【詳解】解：∵，∴4的平方根是±2．故答案為±2．12．//【分析】直接根據(jù)絕對(duì)值、倒數(shù)的概念解答即可．【詳解】解：的絕對(duì)值是，的倒數(shù)是，故答案為：，．【點(diǎn)撥】此題考查的是絕對(duì)值、倒數(shù)，掌握其概念與性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．13．＜【分析】根據(jù)立方根的運(yùn)算法則得，，且正數(shù)開(kāi)立方根，根指數(shù)相同，被開(kāi)方數(shù)越大，結(jié)果越大，由此即可求出答案．【詳解】解：∵，且，∴，故答案是：．【點(diǎn)撥】本題考查的立方根比較大小的知識(shí)，熟練掌握立方根的性質(zhì)及運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．14．/米【分析】由正方形的邊長(zhǎng)是其面積的算術(shù)平方根可得答案．【詳解】解：一塊面積為的正方形桌布，其邊長(zhǎng)為，故答案為：【點(diǎn)撥】本題考查的是算術(shù)平方根的含義，理解題意，利用算術(shù)平方根的含義表示正方形的邊長(zhǎng)是解本題的關(guān)鍵．15．/【分析】運(yùn)用正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)進(jìn)行求解．【詳解】解：由題意得，，解得，故答案為：．【點(diǎn)撥】此題考查了平方根性質(zhì)的應(yīng)用能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解并運(yùn)用以上知識(shí)．16．【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的定義由得到，則，，然后計(jì)算．【詳解】∵∴∴，∴故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了算術(shù)平方根，估算無(wú)理數(shù)的大小，利用完全平方數(shù)和算術(shù)平方根對(duì)無(wú)理數(shù)的大小進(jìn)行估算．17．【分析】由，得，據(jù)此即可求解．【詳解】解：由，得∴故答案為：【點(diǎn)撥】本題考查了與實(shí)數(shù)運(yùn)算有關(guān)的規(guī)律題．根據(jù)題意確定規(guī)律是解題關(guān)鍵．18．【分析】根據(jù)“兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于(即大于或等于)它們的幾何平均數(shù)”可得的最小值．【詳解】解∶∵如果兩個(gè)正數(shù)a、b，即，，則有下面的不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)，∴即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，∴y的最小值為．故答案為∶．【點(diǎn)撥】本題考查了新定義以及算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)之間的關(guān)系，正確理解新定義與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19．（1）x＝±5；（2）x＝5．【分析】（1）直接開(kāi)平方求解；（2）方程兩邊同時(shí)開(kāi)立方即可求解．【詳解】解：（1）x2＝25∴x＝±5（2）∵（x﹣1）3＝64∴x﹣1＝4∴x＝5【點(diǎn)撥】本題考查了平方根和立方根的概念．關(guān)鍵是熟記一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根．立方根的性質(zhì)：一個(gè)正數(shù)的立方根式正數(shù)，一個(gè)負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)，0的立方根是0．20．(1)(2)【分析】（1）首先計(jì)算開(kāi)平方、開(kāi)立方和去絕對(duì)值，然后從左向右依次計(jì)算，求出算式的值即可；（2）首先計(jì)算實(shí)數(shù)的乘法以及開(kāi)平方，然后從左向右依次計(jì)算，求出算式的值即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．【點(diǎn)撥】此題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解答此題的關(guān)鍵是要明確：在進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算時(shí)，和有理數(shù)運(yùn)算一樣，要從高級(jí)到低級(jí)，即先算乘方、開(kāi)方，再算乘除，最后算加減，有括號(hào)的要先算括號(hào)里面的，同級(jí)運(yùn)算要按照從左到右的順序進(jìn)行．21．1【分析】先根據(jù)平方根、算術(shù)平方根的定義得到2a＋1＝9，5a＋2b?2＝16，然后可求得a、b的值，再根據(jù)立方根的定義求解即可．【詳解】解：∵2a＋1的平方根是±3，∴2a＋1＝9，解得：a＝4，∵5a＋2b?2的算術(shù)平方根是4，∴5a＋2b?2＝16，解得：b＝?1，∴.【點(diǎn)撥】本題主要考查的是平方根、算術(shù)平方根、立方根的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．22．8，-4.【分析】根據(jù)立方根的定義和相反數(shù)的定義得到，然后解方程求出x，再把x的值代入和計(jì)算即可.【詳解】解：由題意可知解得.由此得.【點(diǎn)撥】本題考查了立方根：若一個(gè)數(shù)的立方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫a的立方根，記作，也考查了算術(shù)平方根.23．.【分析】先由數(shù)軸可知c＜a＜0＜b，且|b|＞|a|，再