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2023-2024學(xué)年云南省文山州廣南二中數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末經(jīng)典模擬試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效;在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4.作圖可先使用鉛筆畫(huà)出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù),則不等式的解集是()A. B. C. D.2.下列函數(shù)中既關(guān)于直線對(duì)稱,又在區(qū)間上為增函數(shù)的是()A.. B.C. D.3.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,且,則()A. B. C. D.4.若函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù),則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.5.若,,,則()A. B.C. D.6.某幾何體的三視圖如圖所示(單位:),則該幾何體的體積(單位:)為()A. B.6 C. D.7.若的二項(xiàng)式展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)的和為32,則正整數(shù)的值為()A.7 B.6 C.5 D.48.已知將函數(shù)(,)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象,若和的圖象都關(guān)于對(duì)稱,則的值為()A.2 B.3 C.4 D.9.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增,則的取值范圍()A. B. C. D.10.一個(gè)封閉的棱長(zhǎng)為2的正方體容器,當(dāng)水平放置時(shí),如圖,水面的高度正好為棱長(zhǎng)的一半.若將該正方體繞下底面(底面與水平面平行)的某條棱任意旋轉(zhuǎn),則容器里水面的最大高度為()A. B. C. D.11.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為則()A. B. C. D.12.設(shè),滿足約束條件,則的最大值是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù),則不等式的解集為_(kāi)___________.14.若,則__________.15.雙曲線的左焦點(diǎn)為,點(diǎn),點(diǎn)P為雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn),且周長(zhǎng)的最小值為8,則雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為_(kāi)_______,離心率為_(kāi)_______.16.已知中,點(diǎn)是邊的中點(diǎn),的面積為,則線段的取值范圍是__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知數(shù)列為公差不為零的等差數(shù)列,是數(shù)列的前項(xiàng)和,且、、成等比數(shù)列,.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足.(1)求數(shù)列、的通項(xiàng)公式;(2)令,證明:.18.(12分)《山東省高考改革試點(diǎn)方案》規(guī)定:從2017年秋季高中入學(xué)的新生開(kāi)始,不分文理科;2020年開(kāi)始,高考總成績(jī)由語(yǔ)數(shù)外3門統(tǒng)考科目和物理、化學(xué)等六門選考科目構(gòu)成.將每門選考科目的考生原始成績(jī)從高到低劃分為、、、、、、、共8個(gè)等級(jí).參照正態(tài)分布原則,確定各等級(jí)人數(shù)所占比例分別為、、、、、、、.選考科目成績(jī)計(jì)入考生總成績(jī)時(shí),將至等級(jí)內(nèi)的考生原始成績(jī),依照等比例轉(zhuǎn)換法則,分別轉(zhuǎn)換到、、、、、、、八個(gè)分?jǐn)?shù)區(qū)間,得到考生的等級(jí)成績(jī).某校高一年級(jí)共2000人,為給高一學(xué)生合理選科提供依據(jù),對(duì)六個(gè)選考科目進(jìn)行測(cè)試,其中物理考試原始成績(jī)基本服從正態(tài)分布.(1)求物理原始成績(jī)?cè)趨^(qū)間的人數(shù);(2)按高考改革方案,若從全省考生中隨機(jī)抽取3人,記表示這3人中等級(jí)成績(jī)?cè)趨^(qū)間的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望.(附:若隨機(jī)變量,則,,)19.(12分)近年空氣質(zhì)量逐步惡化,霧霾天氣現(xiàn)象出現(xiàn)增多,大氣污染危害加重.大氣污染可引起心悸.呼吸困難等心肺疾病.為了解某市心肺疾病是否與性別有關(guān),在某醫(yī)院隨機(jī)的對(duì)入院人進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查得到了如下的列聯(lián)表:患心肺疾病不患心肺疾病合計(jì)男女合計(jì)已知在全部人中隨機(jī)抽取人,抽到患心肺疾病的人的概率為.(1)請(qǐng)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并判斷是否有的把握認(rèn)為患心肺疾病與性別有關(guān)?請(qǐng)說(shuō)明你的理由;(2)已知在不患心肺疾病的位男性中,有位從事的是戶外作業(yè)的工作.為了指導(dǎo)市民盡可能地減少因霧霾天氣對(duì)身體的傷害,現(xiàn)從不患心肺疾病的位男性中,選出人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查,求所選的人中至少有一位從事的是戶外作業(yè)的概率.下面的臨界值表供參考:(參考公式,其中)20.(12分)設(shè)函數(shù)其中(Ⅰ)若曲線在點(diǎn)處切線的傾斜角為,求的值;(Ⅱ)已知導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn),證明:當(dāng)時(shí),.21.(12分)如圖,在四棱錐中,底面,底面是直角梯形,為側(cè)棱上一點(diǎn),已知.(Ⅰ)證明:平面平面;(Ⅱ)求二面角的余弦值.22.(10分)在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為,(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)若點(diǎn)是直線的一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作曲線的切線,切點(diǎn)為,求的最小值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性,利用函數(shù)單調(diào)性解不等式即可.【詳解】函數(shù),可得,時(shí),,單調(diào)遞增,∵,故不等式的解集等價(jià)于不等式的解集..∴.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)單調(diào)性解不等式,屬于中檔題.2、C【解析】
根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性和單調(diào)性的特點(diǎn),利用排除法,即可得出答案.【詳解】A中,當(dāng)時(shí),,所以不關(guān)于直線對(duì)稱,則錯(cuò)誤;B中,,所以在區(qū)間上為減函數(shù),則錯(cuò)誤;D中,,而,則,所以不關(guān)于直線對(duì)稱,則錯(cuò)誤;故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)基本性質(zhì),根據(jù)函數(shù)的解析式判斷函數(shù)的對(duì)稱性和單調(diào)性,屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】
根據(jù)在關(guān)于對(duì)稱的區(qū)間上概率相等的性質(zhì)求解.【詳解】,,,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布的應(yīng)用.掌握正態(tài)曲線的性質(zhì)是解題基礎(chǔ).隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則.4、B【解析】
求得的導(dǎo)函數(shù),由此構(gòu)造函數(shù),根據(jù)題意可知在上有變號(hào)零點(diǎn).由此令,利用分離常數(shù)法結(jié)合換元法,求得的取值范圍.【詳解】,設(shè),要使在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù),即在上有變號(hào)零點(diǎn),令,則,令,則問(wèn)題即在上有零點(diǎn),由于在上遞增,所以的取值范圍是.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查方程零點(diǎn)問(wèn)題的求解策略,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.5、C【解析】
利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較、、三個(gè)數(shù)與和的大小關(guān)系,進(jìn)而可得出、、三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系.【詳解】對(duì)數(shù)函數(shù)為上的增函數(shù),則,即;指數(shù)函數(shù)為上的增函數(shù),則;指數(shù)函數(shù)為上的減函數(shù),則.綜上所述,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)冪與對(duì)數(shù)式的大小比較,一般利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合中間值法來(lái)比較,考查推理能力,屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】
根據(jù)幾何體的三視圖,該幾何體是由正方體去掉三棱錐得到,根據(jù)正方體和三棱錐的體積公式可求解.【詳解】如圖,該幾何體為正方體去掉三棱錐,所以該幾何體的體積為:,故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間幾何體的三視圖以及體積的求法,考查了空間想象力,屬于中檔題.7、C【解析】
由二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì),的展開(kāi)式中所有二項(xiàng)式系數(shù)和為計(jì)算.【詳解】的二項(xiàng)展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)和為,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),掌握二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)是解題關(guān)鍵.8、B【解析】
因?yàn)閷⒑瘮?shù)(,)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象,可得,結(jié)合已知,即可求得答案.【詳解】將函數(shù)(,)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象,又和的圖象都關(guān)于對(duì)稱,由,得,,即,又,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)圖象平移和根據(jù)圖象對(duì)稱求參數(shù),解題關(guān)鍵是掌握三角函數(shù)圖象平移的解法和正弦函數(shù)圖象的特征,考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】
由,可得,結(jié)合在上單調(diào)遞增,易得,即可求出的范圍.【詳解】由,可得,時(shí),,而,又在上單調(diào)遞增,且,所以,則,即,故.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用,考查了學(xué)生的邏輯推理能力,屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】
根據(jù)已知可知水面的最大高度為正方體面對(duì)角線長(zhǎng)的一半,由此得到結(jié)論.【詳解】正方體的面對(duì)角線長(zhǎng)為,又水的體積是正方體體積的一半,且正方體繞下底面(底面與水平面平行)的某條棱任意旋轉(zhuǎn),所以容器里水面的最大高度為面對(duì)角線長(zhǎng)的一半,即最大水面高度為,故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了正方體的幾何特征,考查了空間想象能力,屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】
求得復(fù)數(shù),結(jié)合復(fù)數(shù)除法運(yùn)算,求得的值.【詳解】易知,則.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)及其坐標(biāo)的對(duì)應(yīng),考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】
作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域,由目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,通過(guò)平移即可求z的最大值.【詳解】作出不等式組的可行域,如圖陰影部分,作直線:在可行域內(nèi)平移當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí),取得最大值.由得:,故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用,利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
,,分類討論即可.【詳解】由已知,,,若,則或解得或,所以不等式的解集為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用,涉及到解一元二次不等式,考查學(xué)生的計(jì)算能力,是一道中檔題.14、【解析】
因?yàn)?,由二倍角公式得到,故得到.故答案為?5、22【解析】
設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為,根據(jù)周長(zhǎng)為,計(jì)算得到答案.【詳解】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為.周長(zhǎng)為:.當(dāng)共線時(shí)等號(hào)成立,故,即實(shí)軸長(zhǎng)為,.故答案為:;.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線周長(zhǎng)的最值問(wèn)題,離心率,實(shí)軸長(zhǎng),意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.16、【解析】
設(shè),利用正弦定理,根據(jù),得到①,再利用余弦定理得②,①②平方相加得:,轉(zhuǎn)化為有解問(wèn)題求解.【詳解】設(shè),所以,即①由余弦定理得,即②,①②平方相加得:,即,令,設(shè),在上有解,所以,解得,即,故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理在平面幾何中的應(yīng)用,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于難題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1),(2)證明見(jiàn)解析【解析】
(1)利用首項(xiàng)和公差構(gòu)成方程組,從而求解出的通項(xiàng)公式;由的通項(xiàng)公式求解出的表達(dá)式,根據(jù)以及,求解出的通項(xiàng)公式;(2)利用錯(cuò)位相減法求解出的前項(xiàng)和,根據(jù)不等關(guān)系證明即可.【詳解】(1)設(shè)首項(xiàng)為,公差為.由題意,得,解得,∴,∴,∴當(dāng)時(shí),∴,.當(dāng)時(shí),滿足上式.∴(2),令數(shù)列的前項(xiàng)和為.兩式相減得∴恒成立,得證.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用,難度一般.(1)當(dāng)用求解的通項(xiàng)公式時(shí),一定要注意驗(yàn)證是否成立;(2)當(dāng)一個(gè)數(shù)列符合等差乘以等比的形式,優(yōu)先考慮采用錯(cuò)位相減法進(jìn)行求和,同時(shí)注意對(duì)于錯(cuò)位的理解.18、(Ⅰ)1636人;(Ⅱ)見(jiàn)解析.【解析】
(Ⅰ)根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性,可將區(qū)間分為和兩種情況,然后根據(jù)特殊區(qū)間上的概率求出成績(jī)?cè)趨^(qū)間內(nèi)的概率,進(jìn)而可求出相應(yīng)的人數(shù);(Ⅱ)由題意得成績(jī)?cè)趨^(qū)間[61,80]的概率為,且,由此可得的分布列和數(shù)學(xué)期望.【詳解】(Ⅰ)因?yàn)槲锢碓汲煽?jī),所以.所以物理原始成績(jī)?cè)冢?7,86)的人數(shù)為(人).(Ⅱ)由題意得,隨機(jī)抽取1人,其成績(jī)?cè)趨^(qū)間[61,80]內(nèi)的概率為.所以隨機(jī)抽取三人,則的所有可能取值為0,1,2,3,且,所以,,,.所以的分布列為0123所以數(shù)學(xué)期望.【點(diǎn)睛】(1)解答第一問(wèn)的關(guān)鍵是利用正態(tài)分布的三個(gè)特殊區(qū)間表示所求概率的區(qū)間,再根據(jù)特殊區(qū)間上的概率求解,解題時(shí)注意結(jié)合正態(tài)曲線的對(duì)稱性.(2)解答第二問(wèn)的關(guān)鍵是判斷出隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布,然后可得分布列及其數(shù)學(xué)期望.當(dāng)被抽取的總體的容量較大時(shí),抽樣可認(rèn)為是等可能的,進(jìn)而可得隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布.19、(1)列聯(lián)表見(jiàn)解析,有的把握認(rèn)為患心肺疾病與性別有關(guān),理由見(jiàn)解析;(2).【解析】
(1)結(jié)合題意完善列聯(lián)表,計(jì)算出的觀測(cè)值,對(duì)照臨界值表可得出結(jié)論;(2)記不患心肺疾病的五位男性中從事戶外作業(yè)的兩人分別為、,其余三人分別為、、,利用列舉法列舉出所有的基本事件,并確定事件“所選的人中至少有一位從事的是戶外作業(yè)”所包含的基本事件數(shù),利用古典概型的概率公式可取得所求事件的概率.【詳解】(1)由于在全部人中隨機(jī)抽取人,抽到患心肺疾病的人的概率為,所以人中患心肺疾病的人數(shù)為人,故可將列聯(lián)表補(bǔ)充如下:患心肺疾病不患心肺疾病合計(jì)男女合計(jì).故有的把握認(rèn)為患心肺疾病與性別有關(guān);(2)記不患心肺疾病的五位男性中從事戶外作業(yè)的兩人分別為、,其余三人分別為、、.從中選取三人共有以下種情形:、、、、、、、、、.其中至少有一位從事的是戶外作業(yè)的有種情形,分別為:、、、、、、、、,所以所選的人中至少有一位從事的是戶外作業(yè)的概率為.【點(diǎn)睛】本題考查利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想解決實(shí)際問(wèn)題,同時(shí)也考查了利用列舉法求解古典概型的概率問(wèn)題,考查計(jì)算能力,屬于中等題.20、(Ⅰ);(Ⅱ)證明見(jiàn)解析【解析】
(Ⅰ)求導(dǎo)得到,,解得答案.(Ⅱ),故,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,,設(shè),證明函數(shù)單調(diào)遞減,故,得到證明.【詳解】(Ⅰ),故,,故.(Ⅱ),即,存在唯一零點(diǎn),設(shè)零點(diǎn)為,故,即,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,故,設(shè),則,設(shè),則,單調(diào)遞減,,故恒成立,故
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