廣東省汕頭市2024屆高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1廣東省汕頭市2024屆高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一?選擇題1.已知全集，能表示集合與關(guān)系的Venn圖是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，又，所以，所以，，，根?jù)選項(xiàng)的Venn圖可知選項(xiàng)D符合.故選：D.2.已知復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)都是純虛數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)，則，，由題意可得,解得，所以.故選：D.3.設(shè)，則有（）A. B.C. D.【答案】C【解析】，，，因?yàn)樵跁r(shí)單調(diào)遞增，所以，即.故選：C.4.為了進(jìn)一步學(xué)習(xí)貫徹黨的二十大精神，推進(jìn)科普宣傳教育，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，營(yíng)造良好的學(xué)習(xí)氛圍，不斷提高學(xué)生對(duì)科學(xué)?法律?健康等知識(shí)的了解，某學(xué)校組織全校班級(jí)開展“紅色百年路?科普萬(wàn)里行”知識(shí)競(jìng)賽.現(xiàn)抽取10個(gè)班級(jí)的平均成績(jī)：，據(jù)此估計(jì)該校各個(gè)班級(jí)平均成績(jī)的第40百分位數(shù)為（）A.77 B.78 C.76 D.80【答案】A【解析】因共10個(gè)數(shù)據(jù)，則，故該組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為從小到大排列第4個(gè)數(shù)據(jù)與第5個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即.故選：A.5.已知，點(diǎn)在線段上（不包括端點(diǎn)），向量，的最小值為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】，點(diǎn)在線段上（不包括端點(diǎn)），故存在，使得，即，即，因?yàn)橄蛄?，所以，可得，，，由基本不等式得，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.故選：C．6.圖1是一個(gè)水平放置且高為6的直三棱柱容器，現(xiàn)往內(nèi)灌進(jìn)一些水，設(shè)水深為.將容器底面的一邊固定于地面上，再將容器傾斜，當(dāng)傾斜到某一位置時(shí)，水面形狀恰好為，如圖2，則（）A.3 B.4 C. D.6【答案】B【解析】在圖1中的幾何體中，水的體積為，在圖2的幾何體中，水的體積為，因?yàn)?，可得，解?故選：B.7.已知函數(shù)圖象的一部分如圖1，則圖2中的函數(shù)圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由題意可知，圖2中的圖象是將圖1中的圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)先縮短，再向右平移個(gè)單位得到的.所以對(duì)應(yīng)的解析式為.故選：D.8.設(shè)，若函數(shù)在遞增，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在遞增，所以在上恒成立，則，即在上恒成立，由函數(shù)單調(diào)遞增得，又，所以，所以，所以即，解得，所以的取值范圍是.故選：B二?多選題9.設(shè)為兩個(gè)互斥的事件，且，則（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】因?yàn)闉閮蓚€(gè)互斥的事件，且，所以,即，故A正確，B錯(cuò)誤；因?yàn)闉閮蓚€(gè)互斥的事件，不一定為對(duì)立事件，所以也不一定為對(duì)立事件，故不一定為1，故C錯(cuò)誤；因?yàn)闉閮蓚€(gè)互斥的事件，所以，故D正確，故選：AD.10.已知圓，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線分別與圓相切于點(diǎn)，則（）A.圓上恰有一個(gè)點(diǎn)到的距離為 B.直線恒過(guò)定點(diǎn)C.的最小值是 D.四邊形面積的最小值為2【答案】BC【解析】圓心，半徑，對(duì)A，圓心到直線的距離為，所以圓上的點(diǎn)到直線距離得最小值為，圓上的點(diǎn)到直線距離得最大值為，所以圓上恰有兩個(gè)點(diǎn)到的距離為，A錯(cuò)誤；對(duì)B，設(shè)，由題意可知，都在以為直徑的圓上，又，所以為直徑的圓的方程為，整理得，，聯(lián)立可得，，即為直線的方程，即令，解得，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，B正確；對(duì)C，因?yàn)橹本€恒過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)定點(diǎn)與圓心連線垂直于時(shí)，圓心到直線的距離最大，則最小，定點(diǎn)與圓心之間的距離為，所以，C正確；對(duì)D，四邊形的面積為,根據(jù)切線長(zhǎng)公式可得，，當(dāng)最小時(shí)，最小，，所以最小值為1，即四邊形面積的最小值為1，D錯(cuò)誤；故選:BC.11.如圖，在長(zhǎng)方體中，分別為棱中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.平面B.⊥平面C.異面直線CN和AB所成角的余弦值為D.若P為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到平面CMN的距離不是定值【答案】AD【解析】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，對(duì)于A，因?yàn)樗?，又平面，平面，所以平面，故A正確；對(duì)于B：，設(shè)平面的法向量為，則即令，則所以平面的一個(gè)法向量為因?yàn)榕c不平行，所以⊥平面不成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：設(shè)異面直線CN和AB所成的角為，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)，所以，又平面的一個(gè)法向量為所以點(diǎn)P到平面的距離不是定值.故D正確.故選：AD.12.對(duì)于函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.是的一個(gè)周期 B.在上有3個(gè)零點(diǎn)C.的最大值為 D.在上是增函數(shù)【答案】ABC【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，所以是的一個(gè)周期，A正確；對(duì)于B，當(dāng)，時(shí)，，即，即或，解得或或，所以在上有個(gè)零點(diǎn)，故B正確；對(duì)于C，由A可知，只需考慮求在上的最大值即可.，則，令，求得或，所以當(dāng)或時(shí)，，此時(shí)，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，但不恒為0，則在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，為，C正確；對(duì)于D，由C可知，在上不是增函數(shù)，D錯(cuò)誤.故選：ABC.三?填空題13.以下4幅散點(diǎn)圖所對(duì)應(yīng)的樣本相關(guān)系數(shù)的大小關(guān)系為__________.【答案】【解析】根據(jù)散點(diǎn)圖可知，圖①③成正相關(guān)，圖②④成負(fù)相關(guān)，所以，又圖①②的散點(diǎn)圖近似在一條直線上，所以圖①②兩變量的線性相關(guān)程度比較高，圖③④的散點(diǎn)圖比較分散，故圖③④兩變量的線性相關(guān)程度比較低，即與比較大，與比較小，所以.故答案為：14.高中數(shù)學(xué)教材含必修類課本2冊(cè)，選擇性必修類課本3冊(cè)，現(xiàn)從中選擇3冊(cè)，要求兩類課本中各至少選一冊(cè)，則不同的選法共有__________種.（用數(shù)字作答）【答案】9【解析】第一類，只選取一冊(cè)必修類課本的選法有種；第二類，兩冊(cè)必修類課本都選的選法有種.綜上，滿足條件的選法共有種.故答案：9.15.如圖，在三棱錐中，，若，則直線與所成角的大小是__________.【答案】【解析】根據(jù)題意可得，又，所以可得，即可知，設(shè)直線與所成的角為，則，又，所以.故答案為：16.三等分角是“古希臘三大幾何問(wèn)題”之一，目前尺規(guī)作圖仍不能解決這個(gè)問(wèn)題．古希臘數(shù)學(xué)家Pappus（約300~350前后）借助圓弧和雙曲線給出了一種三等分角的方法：如圖，以角的頂點(diǎn)C為圓心作圓交角的兩邊于A，B兩點(diǎn)；取線段AB的三等分點(diǎn)O，D；以B為焦點(diǎn)，A，D為頂點(diǎn)作雙曲線H．雙曲線H與弧AB的交點(diǎn)記為E，連接CE，則．①雙曲線H的離心率為________；②若，，CE交AB于點(diǎn)P，則________．【答案】①2②【解析】①由題可得所以，所以雙曲線H的離心率為；②，因?yàn)?，且，所?又因?yàn)?，所以所以，所?因?yàn)?解得，所以,故答案為:2;.四?解答題17.記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，證明：.（1）解：由是公差為的等差數(shù)列，可得，即，當(dāng)時(shí)，，兩式相減可得，即，當(dāng)時(shí)，，適合上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）證明：由（1）知，當(dāng)時(shí)，，則，所以，因?yàn)椋?，所?18.如圖，長(zhǎng)方體中，，，若在上存在點(diǎn)，使得平面.（1）求的長(zhǎng)；（2）求平面與平面夾角的余弦值.解：（1）以為原點(diǎn)，以，，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：設(shè)，則，，，，0，，，0，，，2，，，0，，，2，，，2，，，，，平面，，即，解得，.（2）由（1）可知，，為平面的法向量，，，，，0，，設(shè)平面的法向量為，，，則，即，令可得，2，，，.平面與平面夾角的余弦值為.19.某種疾病的歷史資料顯示，這種疾病的自然痊愈率為.為試驗(yàn)一種新藥，在有關(guān)部門批準(zhǔn)后，某醫(yī)院把此藥給10個(gè)病人服用，試驗(yàn)方案為：若這10個(gè)病人中至少有5人痊愈，則認(rèn)為這種藥有效，提高了治愈率；否則認(rèn)為這種藥無(wú)效.假設(shè)每個(gè)病人是否痊愈是相互獨(dú)立的.（1）如果新藥有效，把治愈率提高到了，求經(jīng)試驗(yàn)認(rèn)定該藥無(wú)效的概率；（精確到0.001，參考數(shù)據(jù)：）（2）根據(jù)（1）中值的大小解釋試驗(yàn)方案是否合理.解：（1）設(shè)通過(guò)試驗(yàn)痊愈的人數(shù)為變量，則，所以經(jīng)試驗(yàn)認(rèn)定該藥無(wú)效的概率為：.（2）由題意，新藥是有效的，由（1）得經(jīng)試驗(yàn)認(rèn)定該藥無(wú)效的概率為，概率很小是小概率事件，故試驗(yàn)方案合理.20.在凸四邊形中，對(duì)角線交于點(diǎn)，且.（1）若，求的余弦值；（2）若，求邊的長(zhǎng).解：（1）因?yàn)?，所以，設(shè)，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，所以，解得，所以，在中，由余弦定理得；（2）在中，由正弦定理得，所以，又為三角形的內(nèi)角，所以，所以，，且，所以，又，在中，由余弦定理得，所以.21.設(shè)橢圓的離心率為，上?下頂點(diǎn)分別為.過(guò)點(diǎn)，且斜率為的直線與軸相交于點(diǎn)，與橢圓相交于兩點(diǎn).（1）若，求的值；（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得直線平行于直線？證明你的結(jié)論.解：（1）根據(jù)題意，，解得，所以橢圓的方程為，當(dāng)時(shí)，直線方程為，與軸無(wú)交點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，設(shè)直線方程為，則，設(shè)，，由得，，所以，，所以的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，又因?yàn)椋宜狞c(diǎn)共線，取中點(diǎn)，則，所以，即，所以是的中點(diǎn)，即與的中點(diǎn)重合，即，解得.（2）不存在實(shí)數(shù)，使直線平行于直線，證明如下：由題意，，則，，若則，所以，化簡(jiǎn)得，即，化簡(jiǎn)得，由（2）得，所以，故，整理得，無(wú)解，所以不存在實(shí)數(shù)，使直線平行于直線.22.已知函數(shù)，．（1）若的圖像在點(diǎn)（1，f（1））處的切線過(guò)（3，3），求函數(shù)y=xf（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)a>0時(shí)，曲線f（x）與曲線g（x