上海市2023-2024學年高三上學期期中考試數(shù)學模擬試題（含答案）

上海市2023-2024學年高三上學期期中考試數(shù)學模擬試題一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）1．計算：．2．已知集合,則．3．二項式的展開式中，系數(shù)最大的項為．4．設(shè)函數(shù)，則．5．復(fù)數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則的最大值為．6．已知，且，則的最大值為.7．已知直線：與雙曲線的一條漸近線平行，且經(jīng)過雙曲線的一個焦點，則雙曲線的標準方程為．8．已知點，，則在方向上的數(shù)量投影為.9．已知四棱錐的底面是邊長為的正方形，側(cè)棱長均為．若點在圓柱的一個底面圓周上，點P在圓柱的另一個底面內(nèi)，則該圓柱的體積為．10．已知實數(shù)的平均數(shù)為4，則這四個數(shù)的中位數(shù)的取值范圍是．11．A、B、C三位好友進行乒乓球擂臺賽，A、B先進行一局決勝負，負者下，由C挑戰(zhàn)勝者，繼續(xù)進行一局決勝負，負者下，勝者接受第三人的挑戰(zhàn)，依次舉行.假設(shè)三人水平接近，任意兩人的對決勝負都是五五開，已知三人共比賽了3局，則三人各勝一局的概率為．12．如圖，畫一個正三角形，不畫第三邊；接著畫正方形，對這個正方形，不畫第四邊：接著畫正五邊形，對這個正五邊形不畫第五邊：接著畫正六邊形，…，這樣無限畫下去，形成一條無窮伸展的等邊折線，稱為比爾折線.設(shè)第n條線段與第n+1條線段所夾的角為，則.二、選擇題（本大題共有4題，滿分20分，每題5分）13．下列函數(shù)在定義域內(nèi)為偶函數(shù)的是（

）A． B． C． D．14．三角形的三個頂點都不在平面上，則“平面與平面平行”是“點、、到平面的距離都相等”的（

）條件A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分也非必要15．已知復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．416．圖（1）是某條公共汽車線路收支差額關(guān)于乘客量的圖象，圖（2）?（3）是由于目前本條路線虧損，公司有關(guān)人員提出的兩種扭虧為盈的建議，則下列說法錯誤的是（

）A．圖（1）的點的實際意義為：當乘客量為0時，虧損1個單位B．圖（1）的射線上的點表示當乘客量小于3時將虧損，大于3時將盈利C．圖（2）的建議為降低成本而保持票價不變D．圖（3）的建議為降低成本的同時提高票價三、解答題（共5道大題，其中17題14分，18題14分，19題14分，20題16分，21題18分，共計76分）17．如圖，正四棱柱中，．(1)求證：是銳角三角形；(2)求異面直線與所成的角的大?。?8．已知數(shù)列、的各項均為正數(shù)，且對任意，都有，，成等差數(shù)列，，，成等比數(shù)列，且，．(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列、的通項公式．19．某礦物質(zhì)有A、B兩種冶煉方法，若使用A方法，所需費用（單位：千元）與礦物質(zhì)的重量（單位：噸）的平方成正比，若使用B方法，所需費用（單位：千元）與礦物質(zhì)的重量（單位：噸）成正比，已知用A方法冶煉2噸、用B方法冶煉1噸所需的總費用為14千元，用A方法冶煉1噸、用B方法冶煉2噸所需的總費用也是14千元，現(xiàn)有該礦物質(zhì)共m噸（），計劃用A方法冶煉x噸（），剩余部分用B方法冶煉，所需總費用為y千元.(1)建立y與x的函數(shù)關(guān)系：(2)求總費用y的最小值，并說明其實際意義．20．已知橢圓：，，為左右焦點，直線l過左焦點與橢圓交于A，B兩點，其中A在第一象限，記，，．(1)若橢圓的離心率為，三角形的周長為6，求橢圓的方程；(2)求證：；(3)直線與橢圓交于另一點，若，求的最大值．21．已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)的全體；在定義域內(nèi)存在實數(shù)t，使得．（1）判斷是否屬于集合M，并說明理由；（2）若屬于集合M，求實數(shù)a的取值范圍；（3）若，求證：對任意實數(shù)b，都有．1．##0.5【分析】利用等比數(shù)列求和公式得到，從而求出極限值.【詳解】，故.故2．【分析】利用函數(shù)的值域與定義域求集合結(jié)合交集的定義計算即可.【詳解】由題意可知，.故3．【分析】先得到展開式的通項公式，進而得到要想系數(shù)最大，則為偶數(shù)，比較后得到答案.【詳解】展開式通項公式為，且為整數(shù).要想系數(shù)最大，則為偶數(shù)，其中，，，，顯然系數(shù)最大項為.故4．【分析】根據(jù)函數(shù)求導(dǎo)法則求導(dǎo)后，即可計算出結(jié)果.【詳解】因為，所以.故答案為.5．7【分析】由復(fù)數(shù)模的幾何意義確定復(fù)數(shù)z對應(yīng)點的軌跡，問題化為圓上點到原點的距離最大值，即可得結(jié)果.【詳解】令且，又，所以，即，所以復(fù)數(shù)z對應(yīng)點在以為圓心，半徑為2的圓上，又表示圓上點到原點的距離，而圓心到原點距離為5，所以的最大值為.故76．1【詳解】試題分析：因為，所以，當且僅當時取等號.因此即的最大值為1.考點：基本不等式求最值7．【分析】首先求出直線與軸的交點坐標，即可得到，再根據(jù)雙曲線的方程表示出漸近線方程，結(jié)合兩直線平行斜率相等，即可得到方程組，解得即可；【詳解】解：對于直線：，令，解得，所以雙曲線的一個焦點為，雙曲線的漸近線為，依題意且又，解得，，所以雙曲線方程為；故8．【分析】根據(jù)數(shù)量積的幾何意義結(jié)合已知條件直接求解即可【詳解】因為，，所以在方向上的數(shù)量投影為.故9．【分析】畫圖求出圓柱體的底面圓的半徑及高，利用圓柱體體積公式計算即可.【詳解】如圖所示：連接交于點，連接，因為四棱錐的底面是邊長為的正方形，側(cè)棱長均為，所以面，因為點在圓柱的一個底面圓周上，所以圓柱底面圓的半徑為：，又點P在圓柱的另一個底面內(nèi)，所以圓柱體的高為，所以圓柱體的體積為：，故答案為.10．【分析】利用平均數(shù)及中位數(shù)的概念計算即可.【詳解】由題意可知，若該四個數(shù)按大小排列，位于中間，則位于兩側(cè)，此時中位數(shù)是；若該四個數(shù)按大小排列，位于中間，則位于兩側(cè)，此時，不符合題意；若該四個數(shù)按大小排列，位于中間，則位于兩側(cè)，同上，不符合題意；若該四個數(shù)按大小排列，位于中間，則位于兩側(cè)，則有；若該四個數(shù)按大小排列，位于中間，則位于兩側(cè)，同上；若該四個數(shù)按大小排列，位于中間，則位于兩側(cè)，可知；此時中位數(shù)是；綜上所述這四個數(shù)的中位數(shù)的取值范圍是.故答案為.11．##0.25【分析】根據(jù)相互獨立事件和概率的加法公式進行計算可得答案.【詳解】設(shè)A、B比賽A獲勝為事件M，A、C比賽C獲勝為事件N，C、B比賽B獲勝為事件Q，且M、N、Q相互獨立，則，設(shè)三人共比賽了3局，三人各勝一局的概率為D，則.故答案為.12．【分析】根據(jù)正三角形、正方形、正五邊形的角的度數(shù)規(guī)律，類比出多邊形個角的度數(shù)表達式，再計算出2022條線段所在的正多邊形的邊數(shù)，進一步求出夾角.【詳解】第一條線段與第二條線段所夾的角，由此類推，，，，，，，，，，

觀察規(guī)律，三角形會有個相等的角，并且角的度數(shù)恰好是其內(nèi)角的度數(shù)，正方形有個，正五邊形有個，正六邊形有個，

多邊形有個，又觀察圖形得：正三角形畫條線段，正方形畫條線段，正五邊形畫條線段，正六邊形畫條線段，，正邊形畫條線段；畫到正多邊形時，畫線段的條數(shù)為，當時，；當時，，第條線段應(yīng)在正邊形中，故答案為.13．C【分析】利用函數(shù)的奇偶性定義判定即可.【詳解】對A，，故A不是偶函數(shù)；對B，，故B不是偶函數(shù)；對C，的定義域為，關(guān)于原點對稱，且，則其為偶函數(shù)；對D，，故D不是偶函數(shù)，故選：C14．A【分析】根據(jù)平面的位置關(guān)系及充分、必要性定義判斷題設(shè)條件間的推出關(guān)系，即可得答案.【詳解】如下圖示，若線段、的中點、都在平面內(nèi)，則的三個頂點到平面的距離相等，此時，所在平面與平面不平行，即“平面與平面平行”“點、、到平面的距離都相等”；若平面與平面平行，則點、、到平面的距離都相等，即“平面與平面平行”“點、、到平面的距離都相等”，所以，“平面與平面平行”是“點、、到平面的距離都相等”的充分非必要條件.故選：A.15．D【分析】設(shè)，代入，由復(fù)數(shù)相等的條件列等式即可求解.【詳解】設(shè)，復(fù)數(shù)滿足，，化為，解得，或，，或1，或.故選：D.16．D【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合選項逐一判斷即可.【詳解】A：當時，，所以當乘客量為0時，虧損1個單位，故本選項說法正確；B：當時，，當時，，所以本選項說法正確；C：降低成本而保持票價不變，兩條線是平行，所以本選項正確；D：由圖可知中：成本不變，同時提高票價，所以本選項說法不正確，故選：D17．(1)證明見解析(2)【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用空間向量的數(shù)量積計算夾角即可；（2）利用空間向量計算線線夾角即可.【詳解】（1）由題意不妨設(shè)，如圖建立空間直角坐標系，則，則，所以，即是等腰三角形，且為頂點，由，即該等腰三角形的頂角為銳角，所以是銳角三角形；（2）由上可知，故，所以異面直線與所成的角的大小為18．(1)證明見解析(2)【分析】（1）由題意可得，聯(lián)立化簡變形可得即證；（2）由（1）可得，即可求出數(shù)列的通項，結(jié)合即可求出數(shù)列的通項.【詳解】（1）因為、、成等差數(shù)列，、、成等比數(shù)列，所以①，②，又數(shù)列、的各項均為正數(shù)，則由②可得③，將③代入①，得對任意，有，即，所以數(shù)列是等差數(shù)列.（2）設(shè)數(shù)列的公差為，由，得，，所以，由已知，當時，，而也滿足此式，所以，.19．(1)，；(2)答案見解析.【分析】（1）由題設(shè)，令各方法費用，，再由已知列方程組求參數(shù)，即可得y與x的函數(shù)關(guān)系；（2）由（1）有，，討論、確定對應(yīng)總費最小對應(yīng)的實際意義即可.【詳解】（1）若分別表示用A、B方法的費用，表示A、B方法使用礦物重量，所以，可設(shè)，，由題意，，所以，所需總費用，且.（2）由（1）知：，，當時，時總費用y的最小值，即全部用方法A冶煉費用最??；當時，時總費用y的最小值，即1.5噸用方法A，剩余的用方法B，費用最小.20．(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）由題意，根據(jù)橢圓的定義和離心率的定義建立方程組，解之即可求解；（2）由題意可得直線AB方程為，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達定理表示，代入式子，化簡計算即可證明；（3）由題意可得直線AB方程為，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達定理表示，進而可得的表達式，寫出的表達式，同理可得的表達式，由可得，結(jié)合基本不等式計算即可求解.【詳解】（1）由橢圓的定義知，，由題意知，，解得，所以橢圓的方程為；（2）由題意知，直線AB的斜率為，則其方程為，又為直線AB與橢圓的交點，由，消去y，得，所以，則，即.（3）由題意知，，所以，所以橢圓的方程為，則，得直線的方程為，，消去y，得，得，所以，則，同理，所以，當且僅當即時，等號成立，所以的最大值為.21．（1）不屬于,理由詳見解析；（2）；（3）詳見解析.【分析】（1）利用f（x）＝3x+2，通過f（t+2）＝f（t）+f（2）推出方程無解，說明f（x）＝3x+2不屬于集合M；（2）由屬于集合M，推出有實解，即（a﹣6）x2+4ax+6（a﹣2）＝0有實解，對參數(shù)分類討論，利用判斷式求解即可；（3）當f（x）＝2x+bx2時，方程f（x+2）＝f（x）+f（2）?3×2x+4bx﹣4＝0，令g（x）＝3×2x+4bx﹣4，則g（x）在R上的圖象是連續(xù)的，當b≥0時，當b＜0時，判斷函數(shù)是否有