線性代數(shù) 課件

第一章

習(xí)題課個(gè)不同的元素排成一列，叫做這 個(gè)元全排列 排列個(gè)不同的元素的所有排列的種數(shù)用 表示，．１

全排列中，若數(shù)，逆序一個(gè)排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆序數(shù)逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列，逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列．２

逆序數(shù)定義在排列中，將任意兩個(gè)元素對(duì)調(diào)，其余元素不動(dòng)，稱為一次對(duì)換．將相鄰兩個(gè)元素對(duì)調(diào)，定理一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對(duì)換，排列改推論

奇排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為奇數(shù)，偶排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為偶數(shù)．４對(duì)

換５

n階行列式的定義６

n階行列式的性質(zhì)７

行列式按行（列）展開(kāi)１）余子式與代數(shù)余子式８

克拉默法則定理定理一、計(jì)算排列的逆序數(shù)二、計(jì)算（證明）行列式三、克拉默法則典

型

例

題分別算出排列中每個(gè)元素前面比它大的數(shù)碼之和，即算出排列中每個(gè)元素的逆序數(shù)．解一、計(jì)算排列的逆序數(shù)為偶數(shù)時(shí)，排列為偶排列，當(dāng) 為奇數(shù)時(shí)，排列為奇排列．解評(píng)注本例是從一般項(xiàng)入手，將行標(biāo)按標(biāo)準(zhǔn)順序排列，討論列標(biāo)的所有可能取到的值，并注意每一項(xiàng)的符號(hào)，這是用定義計(jì)算行列式的一般注意證明評(píng)注本題證明兩個(gè)行列式相等，即證明兩點(diǎn)，一是兩個(gè)行列式有完全相同的項(xiàng)，二是每一項(xiàng)所帶的符號(hào)相同．這也是用定義證明兩個(gè)行列式相等的常用方法．解階范德蒙行列式，由評(píng)注本題所給行列式各行（列）都是某元素的不同方冪，而其方冪次數(shù)或其排列與范德蒙行列式不完全相同，需要利用行列式的性質(zhì)（如提取公因子、調(diào)換各行（列）的次序等）將此行解評(píng)注

“化零”的方法，逐步將所給行列式化為三角形行列式．化零時(shí)一般盡量選含有１的行（列）及含零較多的行（列）；若沒(méi)有１，則可適當(dāng)選取便于化零的數(shù)，或利用行列式性質(zhì)將某行（列）中的某數(shù)；若所給行列式中元素間具有某些特點(diǎn)，則應(yīng)充分利用這些特點(diǎn)，應(yīng)用行列式性質(zhì)，以達(dá)到化為三角形行列式之目的．４

用降階法計(jì)算解評(píng)注

本題是利用行列式的性質(zhì)將所給行列式的某行（列）化成只含有一個(gè)非零元素，然后按此行（列）展開(kāi)，每展開(kāi)一次，行列式的階數(shù)階，如此繼續(xù)進(jìn)行，直到行列式能直接計(jì)算出來(lái)為止（一般展開(kāi)成二階行列式）．這種方法對(duì)階數(shù)不高的數(shù)字行列式比較適用．５ 用拆成行列式之和（積）計(jì)算證６

用遞推法計(jì)算解評(píng)注７

用數(shù)學(xué)歸納法證評(píng)注小結(jié)計(jì)算行列式的方法比較靈活，同一行列式可以有多種計(jì)算方法；有的行列式計(jì)算需要幾種方法綜合應(yīng)用．在計(jì)算時(shí)，首先要仔細(xì)考察行列式在構(gòu)造上的特點(diǎn)，利用行列式的性質(zhì)對(duì)它進(jìn)行變換后，再考察它是否能用常用的幾種方法．當(dāng)線性方程組方程個(gè)數(shù)與未知數(shù)個(gè)數(shù)相等、且系數(shù)行列式不等于零時(shí)，可用克萊姆法則．為了避免在計(jì)算中出現(xiàn)分?jǐn)?shù)，可對(duì)有的方程乘以適當(dāng)整數(shù)，把原方程組變成系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)都是整數(shù)的線性方程組后再求解．三、克拉默法則解于是，所求的多項(xiàng)式為證克；乙種化肥每千克含克；丙種化肥每千克含氮克．若把此三種化肥混合，要