專(zhuān)題14 全等三角形中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題（原卷版）

專(zhuān)題14全等三角形中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題（原卷版）第一部分典例剖析+變式訓(xùn)練類(lèi)型一單動(dòng)點(diǎn)與全等三角形典例1（2023春?惠濟(jì)區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7cm，BC＝3cm，CD為AB邊上的高，點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)沿直線(xiàn)BC以2cm/s的速度移動(dòng)，過(guò)點(diǎn)E作BC的垂線(xiàn)交直線(xiàn)CD于點(diǎn)F．（1）試說(shuō)明：∠A＝∠BCD；（2）當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)多長(zhǎng)時(shí)間時(shí)，CF＝AB？請(qǐng)說(shuō)明理由．變式訓(xùn)練1．（2023春?梅江區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝12，點(diǎn)D從B出發(fā)以每秒2個(gè)單位的速度在線(xiàn)段BC上從點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E同時(shí)從C出發(fā)以每秒2個(gè)單位的速度在線(xiàn)段CA上向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，連接AD、DE，設(shè)D、E兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t＜4）（1）運(yùn)動(dòng)秒時(shí)，AE=13（2）運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)，△ABD≌△DCE能成立，并說(shuō)明理由；（3）若△ABD≌△DCE，∠BAC＝α，則∠ADE＝（用含α的式子表示）．

類(lèi)型二雙動(dòng)點(diǎn)與全等三角形典例2（2022秋?南召縣期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠C，AB＝20cm，BC＝15cm，E為AB的中點(diǎn)，若點(diǎn)P在線(xiàn)段BC上以5cm/s的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線(xiàn)段CD上由點(diǎn)C向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．（1）若點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度是5cm/s，經(jīng)過(guò)1秒后，△BPE與△CQP是否全等，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)△BPE與△CQP全等時(shí)，求出點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度．變式訓(xùn)練1．（2023春?豐城市期末）如圖，做一個(gè)“U”字形框架PABQ，其中AB＝42cm，AP、BQ足夠長(zhǎng)，PA⊥AB，QB⊥AB，點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)，向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)，向點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)的速度之比為3：4，當(dāng)M、N兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到某一瞬間同時(shí)停止，此時(shí)在射線(xiàn)AP上取點(diǎn)C，使△ACM與△BMN全等，求此時(shí)線(xiàn)段AC的長(zhǎng)是多少？2．（2023春?吉安縣期末）如圖，△ABC中，D為AB的中點(diǎn)，AD＝5厘米，∠B＝∠C，BC＝8厘米．（1）若點(diǎn)P在線(xiàn)段BC上以3厘米/秒的速度從點(diǎn)B向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q在線(xiàn)段CA上從點(diǎn)C向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)Q的速度與點(diǎn)P的速度相等，經(jīng)1秒鐘后，請(qǐng)說(shuō)明△BPD≌△CQP；（2）若點(diǎn)P以3厘米/秒的速度從點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q以5厘米/秒的速度從點(diǎn)C向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，它們都依次沿△ABC三邊運(yùn)動(dòng)，則經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，點(diǎn)Q第一次在△ABC的哪條邊上追上點(diǎn)P？

類(lèi)型三線(xiàn)動(dòng)與全等三角形例3（2020秋?新蔡縣期中）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線(xiàn)MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且AD⊥MN于點(diǎn)D，BE⊥MN于點(diǎn)E．（1）當(dāng)直線(xiàn)MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE；（2）當(dāng)直線(xiàn)MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，試問(wèn)DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系，并加以證明；（3）當(dāng)直線(xiàn)MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，試問(wèn)DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？（請(qǐng)直接寫(xiě)出這個(gè)等量關(guān)系，不需要證明）．針對(duì)訓(xùn)練1．（2020秋?沂源縣期中）如圖，把長(zhǎng)短確定的兩根木棍AB、AC的一端固定在A處，和第三根木棍BM擺出△ABC，木棍AB固定，木棍AC繞A轉(zhuǎn)動(dòng)，得到△ABD，這個(gè)實(shí)驗(yàn)說(shuō)明．2．（2020秋?宿豫區(qū)校級(jí)月考）如圖1，在△ABC中，點(diǎn)P為BC邊中點(diǎn)，直線(xiàn)a繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，若B、P在直線(xiàn)a的異側(cè)，BM⊥直線(xiàn)a于點(diǎn)M，CN⊥直線(xiàn)a于點(diǎn)N，連接PM、PN；（1）延長(zhǎng)MP交CN于點(diǎn)E（如圖2），①求證：△BPM≌△CPE；②求證：PM＝PN；（2）若直線(xiàn)a繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，點(diǎn)B、P在直線(xiàn)a的同側(cè)，其它條件不變，此時(shí)PM＝PN還成立嗎？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

類(lèi)型四形動(dòng)與全等三角形典例4（2021秋?興化市期末）如圖1，△ABC與△ADE是共頂點(diǎn)A的兩個(gè)等腰三角形，其中AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，連接CE、BD．（1）求證：CE＝BD；（2）如圖2，固定△ABC，將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，若AD＝25，BC＝20，S△ABC＝240，當(dāng)點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到線(xiàn)段BC上時(shí)，求CE的長(zhǎng)；（3）如圖3，設(shè)F為BD、CE的交點(diǎn)，G、H分別為BD、CE的中點(diǎn)，∠BFC＝α，∠AGH＝β，試探究α與β的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

針對(duì)訓(xùn)練1．（2023?大新縣校級(jí)模擬）已知：點(diǎn)P為∠AOB的角平分線(xiàn)的任意一點(diǎn)，∠EPF與∠AOB互補(bǔ)，∠EPF的兩邊與∠AOB的兩邊交于E、F兩點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)∠EPF繞著點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)，PE和PF的數(shù)量關(guān)系是，請(qǐng)驗(yàn)證你的結(jié)論；（2）如圖2，若∠AOB＝90°時(shí)，∠EPF與∠AOB仍然互補(bǔ)，這時(shí)PE與PF還相等嗎？并加以證明．2．（2021秋?敘州區(qū)期末）如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°．（1）當(dāng)點(diǎn)D在AC上時(shí)，如圖①，線(xiàn)段BD，CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請(qǐng)證明你的猜想；（2）將圖①中的△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），如圖②，線(xiàn)段BD，CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．

專(zhuān)題提優(yōu)訓(xùn)練1．（2023春?渭濱區(qū)期末）如圖①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，現(xiàn)有一動(dòng)點(diǎn)P，從點(diǎn)A出發(fā)，沿著三角形的邊AC→CB→BA運(yùn)動(dòng)，回到點(diǎn)A停止，速度為3cm/s，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts．（1）如圖（1），當(dāng)t＝時(shí)，△APC的面積等于△ABC面積的一半；（2）如圖（2），在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC的邊上，若另外有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q，與點(diǎn)P同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，沿著邊AB→BC→CA運(yùn)動(dòng)，回到點(diǎn)A停止．在兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的某一時(shí)刻，恰好△APQ≌△DEF，求點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度．2．（2023春?東源縣期末）如圖，AE與BD相交于點(diǎn)C，AC＝EC，BC＝DC，AB＝8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)出發(fā)，沿A→B→A方向以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，沿D→E方向以lcm/s的速度運(yùn)動(dòng)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．（1）求證：AB∥DE．（2）寫(xiě)出線(xiàn)段AP的長(zhǎng)（用含t的式子表示）．（3）連接PQ，當(dāng)線(xiàn)段PQ經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，求t的值．

3．（2023春?三水區(qū)校級(jí)期中）如圖：已知A（a，0）、B（0，b），且a、b滿(mǎn)足（a﹣2）2+|2b﹣4|＝0．（1）如圖1，求△AOB的面積；（2）如圖2，點(diǎn)C在線(xiàn)段AB上（不與A、B重合）移動(dòng)，AB⊥BD，且∠COD＝45°，猜想線(xiàn)段AC、BD、CD之間的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論；（3）如圖3，若P為x軸上異于原點(diǎn)O和點(diǎn)A的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PB，將線(xiàn)段PB繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至PE，直線(xiàn)AE交y軸Q，點(diǎn)Q，當(dāng)P點(diǎn)在x軸上移動(dòng)時(shí)，線(xiàn)段BE和線(xiàn)段BQ中，請(qǐng)判斷哪條線(xiàn)段長(zhǎng)為定值，并求出該定值．4．（2018秋?東勝區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將直角三角形的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)P（4，4）處，兩直角邊與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B．（1）求OA+OB的值；（2）將直角三角形繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，兩直角邊與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，求OA﹣OB的值．

5．（2021秋?安徽期末）如圖①，△ABC≌△DEF，將△ABC和△DEF的頂點(diǎn)B與頂點(diǎn)E重合，把△DEF繞點(diǎn)B順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，這時(shí)AC與DF相交于點(diǎn)O．（1）當(dāng)△DEF旋轉(zhuǎn)至如圖②位置，點(diǎn)B（E）、C、D在同一直線(xiàn)上時(shí)，∠AFD與∠DCA的數(shù)量關(guān)系是．（2）當(dāng)△DEF繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖③位置時(shí)，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）在圖③中，連接BO、AD，猜想BO與AD之間有怎樣的位置關(guān)系？畫(huà)出圖形，寫(xiě)出結(jié)論，無(wú)需證明．6．（2022春?濟(jì)南期中）把兩個(gè)全等的直角三角板的斜邊重合，組成一個(gè)四邊形ACBD以D為頂點(diǎn)作∠MDN，交邊AC、BC于M、N．（1）若∠ACD＝30°，∠MDN＝60°，當(dāng)∠MDN繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)時(shí)，AM、MN、BN三條線(xiàn)段之間有何種數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論；（2）當(dāng)∠ACD+∠MDN＝90°時(shí)，AM、MN、BN三條線(xiàn)段之間有何數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論；（3）如圖③，在（2）的條件下，若將M、N改在CA、BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，完成圖3，其余條件不變，則AM、MN、BN之間有何