2017年高中數(shù)學(xué)課時(shí)達(dá)標(biāo)訓(xùn)練20空間向量與空間角

課時(shí)達(dá)標(biāo)訓(xùn)練（二十）空間向量與空間角

［即時(shí)達(dá)標(biāo)對(duì)點(diǎn)練］

題組1異面直線所成的角

1.已知直線人的一個(gè)方向向量為a=（l,—2,1）,直線人的一個(gè)方向向量為6=（2,

-2,0）,則兩直線所成角的余弦值為（）

A.1B羋C.平D.平

DJ乙

2.在長(zhǎng)方體四出G4中，46=2,笈=2,如=3,則〃1與B隊(duì)所成角的余弦值為（）

A.0B.噂

_32/70遍

7070

3.如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有直三棱柱ABC-A^a,CA=CG=2CB,8G與直線AB,

夾角的余弦值為（）

A.地B.號(hào)

DO

C.羋屋

55

題組2直線與平面所成的角

4.若直線/的方向向量與平面的法向量的夾角等于120°,則直線，與平面。所成的

角等于（）

A.120°B.60°C.30°D.以上均錯(cuò)

5.正方體18CD4544中，國(guó)與平面4位所成角的余弦值為（）

A虛iD必

A.3氏B亞33u-3

6.如圖，正方形力四所在的平面與平面力6。垂直，材是以與力〃的交點(diǎn)，ACLBQ且

AC=BC.

%

（1）求證：4"_L平面EBC?,

(2)求直線與平面板所成角的大小.

題組3二面角

7.如圖，過邊長(zhǎng)為1的正方形/靦的頂點(diǎn)/作線段以，平面4G若劭=1,則平面

4應(yīng)與平面腔'所成的二面角的大小是()

A.120°B.45°

C.135°D.60°

8.平面a的法向量為(1,0,-1),平面￡的法向量為(0,-1,1),則平面a與平

面￡所成二面角的大小為.

9.如圖，四邊形力為正方形，PO上平面做D,PD//QA,QA=AB=^PD.

(1)證明：平面圖灶平面，GQ

(2)求二面角0冊(cè)。的余弦值.

［能力提升綜合練］

1.在長(zhǎng)方體4尻D48G4中，6c和G9與底面所成角分別為60°和45°,則異面直

線區(qū)C和G〃所成角的余弦值為()

A羋B.手

44

cmD亞

J24

2.已知直角△/比'中，ZC=90°,N8=30°,AB=4,〃為16的中點(diǎn)，沿中線將

折起使得46=亞，則二面角小86的大小為()

A.60°B.90°C.120°D.150°

3.如圖正方體4比的棱長(zhǎng)為1,。是面484〃的中心，則8。到平面ABCM

所成角的正弦值為

G

/L)'---

A

4.四棱柱ABC)ABCm的側(cè)棱/U垂直于底面，底面18(力為直角梯形,

AD//BC,ADVAB,AD=AB=AAx=2BC,6為加的中點(diǎn)，尸為4〃的中點(diǎn).

(1)求證：用〃平面加完；

(2)求直線跖與平面4⑺所成角。的正弦值.

5.在如圖所示的幾何體中，四邊形力靦是等腰梯形，AB//CD,/%8=60°,下UL平

面4BCD,AEVBD,CB=CQCF.

(1)求證：陽(yáng)上平面3

(2)求二面角尸的余弦值.

6.如圖，在四棱錐八力比》中，為，平面四(力，ACA.AD,ABLBC,ZBAC=45°,PA=

49=2,47=1.

D

(1)求證：PCLAD；

(2)求二面角小肥。的正弦值；

⑶若￡為棱為上的點(diǎn)，且異面直線應(yīng)與切所成的角為30°,求45■的長(zhǎng).

答案

即時(shí)達(dá)標(biāo)對(duì)點(diǎn)練

1.解析：選Dcos〈a,t>)=；：比

|(1,一2,1)?(2,—2,0)|!2+41巾

―yJl2+22+l2-yj22+(-2)2―乖乂鄧.2，

2.解析：選A建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則2(0,0,3),8(2,2,0),/(2,

0,0),<7(0,2,0).

所以B/>=(-2,—2,3),.AC—(—2,2,0).

BD-AC

.}--——^=0

所以cos(麗”AC)=而I-AC

3.解析：選A設(shè)"=1,則4(2,0,0),8(0,2,1),6(0,2,0),8(0,0,1),

皮1=(0,2,-1),ABI=(-2,2,1).

BC)?ABj3__V5

cos<BC'j,AB1〉5

BCiAB-.7OX3-'

4.解析：選C的方向向量與平面的法向量的夾角為120°?.它們所在直線的夾

角為60°,則直線/與平面。所成的角為90°-60°=30°.

5.解析：選D建系如圖，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1,Dg,0,0),5,(1,1,1),8(1,1,

0),

則麗i=(0,0,1).

：821平面ACDx,

.?.加i=(l,1,1)為平面4口的法向量.

設(shè)班與平面/5所成的角為6,

麗1?DBj_A

則sin8=}=

甌I反7)萬一3?

..cos

6.解：?.?四邊形4碗1是正方形，

C.EALAC,AMLEC.

?.?平面平面ABC,

.,.夕l_L平面ABC.

.?.可以以點(diǎn)力為原點(diǎn)，以過4點(diǎn)平行于外的直線為x軸，分別以然和四所在直線為

y軸和z軸，建立空間直角坐標(biāo)系

D

設(shè)EA=AC=BC=2,

則4(0,0,0),8(2,2,0),C(0,2,0),￡(0,0,2).

是正方形力物'的對(duì)角線的交點(diǎn)，

AMO,1,1).

(1)證明：?；久麗=(0,1,1)./=(0.2.0)—(0,0,2)=

(0.2.-2),CB=(2.2.0)-(0.2.0)=(2.0.0),

：.AM-EC=O,AM-CB=0.

：.AMLEC,AI/±CB.

又VirnCB=C,."MJ_平面EBC.

⑵粒L平面EBC,

：.時(shí)為平面傲7的一個(gè)法向量.

VAM=(0,1,1),AB=(2,2,0),

A<AB.AM)=60°.

...直線四與平面取所成的角為30°.

7.解析：選B以4為原點(diǎn)，分別以四，AD,4￡所在直線為x軸，y軸，z軸，建立

如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則￡(0,0,1),8(1,0,0),C(l,1,0),麗=(1,0,-

1),TT=(1,1.-1).

設(shè)平面比方的法向量為〃=(x,y,z),

x-z=0,

則有，

x+y—z=0,

可取〃=(1,0,1).

又平面口〃的法向量為標(biāo)=(1,0,0),

所以cos",AB)=~^—=坐,

<2X12

故平面力應(yīng)與平面核所成的二面角為45°.

8.解析：設(shè)〃=(1,0,—1),7=(0,—1,1).

。與￡所成二面角的大小為0.

-11

則COS。=±Icos0=±后河=±2'

JI2n

答案：了或虧

9.解：如圖，以〃為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段刃的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度，射線力為X軸的正半軸建

立空間直角坐標(biāo)系?xyz.

(1)證明：依題意有。(1,1,0),(7(0,0,1),一(0,2,0),則詼=(1,1,0),玩

=(0,0,1),PQ=(1,—1,0),

所以血?T)Q=Q.PQ?DC=0.

即PQA.DQ,PQLDC.故尸0J_平面DCQ.

又Pg平面PQC,所以平面尸0C_L平面DCQ.

(2)依題意有6(1,0,1),CB=(l,0,0),BP=(-l,2,-l).

設(shè)〃=(x,y,z)是平面如C的法向量，則

n-CB=0.1T=0,

n?B~P=09-I+2廠N=0.

因此可取〃=(0,—1,-2).

tn?B戶=0,

設(shè)/〃是平面PBQ的法向量，則、.

m?PQ=0.

可取227=(1,1,1),所以cos〈加，n)=-

故二面角0冊(cè)。的余弦值為一匹

能力提升綜合練

1.解析：選A建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，可知NCSG=60°,ZDCM=

45°,

設(shè)5G=1,CC=/=D隊(duì).

.?.G4=/,則有a（小，0,0）,C（小，1,?。?G（y/3,1,0）,〃（0,1,?。?

.?.時(shí)=（0.1的.取=（一0.0.商.

2.解析：選C?、酥悬c(diǎn)￡,在平面靦內(nèi)過8點(diǎn)作64切，交或延長(zhǎng)線于五

據(jù)題意知力反1繆，AE=BF=事,歷=2,48=迎.

且〈麗.筋〉為二面角的平面角.

由初2=(X1?+而+麗)2得i3=3+3+4+2X3X

cos(AE,FB),cos<.EA,FB)=-y.

〈鐳.喬〉=120°.即所求的二面角為120°.

3.解析：建立坐標(biāo)系如圖，則6(1,1,0),年，lj,

示i=(l,0,1)是平面力阿"的一個(gè)法向量.

又加=伶，?-1)

與平面49G〃所成角的正弦值為

1

麗-萬！=5=4

麗.網(wǎng)一Q一百

答案：平

6

4.解：(1)證明：?.?反尸分別是如，為?的中點(diǎn),

：.EF//AxDx.

又AD"BG"BC,

J.EF//BC,且aC平面48C,以七平面48G

；.跖〃平面A.BC.

(2),：AB,AD,44兩兩垂直，以18所在直線為x軸，以/。所在直線為y軸，以44所

在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，

設(shè)6c=1,則4(0,0,0),4(0,0,2),C(2,1,0),2(0,2,0),"(0,2,2),下(0,

1,1),￡(0,2,1),

二FE=(0,1,0),設(shè)平面4切的法向量〃=(x,y,z),

(n?Aib=(x,y.z')?(0,2.-2)=2j-2z=0,

叫一

[n?CD=(z,?z)?(-2,l,0)=-2x+j=0,

取27=(1,2,2),

〃?F廣

則sin8=cos<n.FE>=~=1X0+2X1+2X02

yj1+4+4^0+1+03，

2

，直線砂與平面4切所成角。的正弦值等于耳.

5.解：⑴證明：?.?四邊形/靦是等腰梯形，AB//CD,ZDAB=&0°,：.ZADC=ZBCD

=120°.

又，：CB=CD，:.NCDB=3Q：

二/4如=90°,即4m_薇

又,：AE1BD,且Afc平面力朋，4fc平面川沙，...劭_L平面

(2)由⑴知ADLBD,：.AC±BC.

又尸CJ?平面4%/,因此G4,CB,C77兩兩垂直.

以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以。，CB,〃所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空

間直角坐標(biāo)系.

X

y

型1o

不妨設(shè)==1,則以0,0,0),MO,1,0),2亍

-1,oL訴=(0,-1,1).

設(shè)平面即7的一個(gè)法向量為必=(x,y,z),

則R?BD=0,m*BF=0,

即￥王一￡尸0,—y+z=0,所以

令z=l,得m=(小,1,1).

由于/=(0,0,1)是平面W的一個(gè)法向量,

in?CF175"

則cos</n.CF>=

inCF45

故二