2023人教版新教材A版高中數學必修第二冊同步練習-5. 2 . 3 簡單復合函數的導數

5.2.3簡單復合函數的導數

基礎過關練

題組一復合函數的求導法則

1.(2022浙江嘉興期末)若函數f(x)=3'+sin2x,則f'(x)=

A.3'In3+2cos2xB.3'+2cos2,x

C.3*1n3+cos2xD.3'1n3-2cos2x

2.已知函數f(x)=Ln(a『l)的導函數是f'(x),且f'(2)=2,則實數的值為

()

A.-B.-C.-D.1

234

3.(多選)下列求導正確的是()

A.(e20=2exB.(3x+l)'=3

C.(V2x)'=意D.(xsinx)'=sinx+xcosx

4.(2022安徽合肥一中期末)函數F(x)=e"cos2x的導函數

f'(x)/.

5.(2022山西懷仁一中期末)已知函數f{x}=e2x+f'(0)In(x+4),則

f70)=.

6.求下列函數的導數.

⑴產方二；⑵尸”…；

Vl-2xz

⑶片sin12%+/⑷片510g2(2X+1).

題組二復合函數求導的綜合應用

7.(2022山西太原期末)已知一質點的運動方程為歹ln([2+l)+3方，其中位移s的單

位為m,時間t的單位為s,則質點在第1s末的瞬時速度為()

7

A.1m/sB.2m/sC.4m/sD.-m/s

2

8.設a￡R,函數f(x)=e'+a?e-'的導函數是f'(x),若kf'(x)是奇函數，則a

的值為()

A.1B.--C.-D.-1

22

9(2022河北邯鄲第一中學期末)已知函數F(x)=aez-xlnx的圖象在點(1,

AD)處的切線為1，則1在y軸上的截距為()

A.-2B.-1C.2D.1

10.在一次降雨過程中，某市的降雨量y(mm)與時間方(min)的函數關系可近似地表

示為產則在340時的降雨強度為()

A.20mm/minB.400mm/minC.-mm/minD.-mm/min

24

11.(2022江蘇鎮(zhèn)江期末)已知函數f(%)=V47T1,則函數f(x)的圖象在尸2處的

切線的斜率為.

12.已知函數F(x)為偶函數，當xWO時-，_f(x)=e*2-x,則曲線尸f(x)在點(2,f(2))

處的切線方程為.

13.已知曲線廠不一在點(0,1)處的切線與直線/平行,且此切線與直線1間的距

離為四,求直線1的方程.

能力提升練

題組復合函數的導數及其應用

1.(2021江西南昌八一中學、洪都中學等七校期末聯考)設點20分別是曲線

尸x0(e是自然對數的底數)和直線尸x+3上的動點，則P,0兩點間距離的最小值

為()

AV2(4e—1)DV2(4e+1)

A?--------------D.--------------

22

c.2D*

22

2.(多選)已知點尸在曲線片士上，a為曲線在點尸處的切線的傾斜角，則a的

ex+l

取值可以是()

A.-B.-C.—D.—

4248

3.(多選)(2022廣東惠州三調)關于雙曲正弦函數sin力(x)空二和雙曲余弦函

數cos力(x)至尹，下列結論正確的是()

A.sin4(-x)=-sin力(才)

B.[cosh{x)]，=-sinhkx}

C.cos/?(-l)<cos力(2)

D.[sin/(x)]2-[cos力(x)『=l

4.(2022河北保定月考)若曲線j^sinZx+jcos%在4(荀,必)，夕(蒞,久)兩點處的

切線互相垂直,則I獷蒞I的最小值為()

A.-B.-C.—D.Ji

323

5.定義方程M=f'(x)的實數根為為函數f(x)的“新駐點”，若函數

g(x)=/+l,7?(x)=ln(x+2),0(x)=cosx(x￡(0,」))的"新駐點”分別為a,b,c,

則a,6,c的大小關系為()

A.a<KcB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a

6.(多選)已知函數f(x)=/sin(3x+。乂4>0,3>0,\(p\<的圖象如圖所示,

令g(x)=f(x)+f'(x),則下列關于函數g(x)的說法中正確的是()

A.函數g(x)的圖象的對稱軸方程為產"喘(代力

B.函數g(x)的最大值為2

C.函數g(x)的圖象上存在點Z使得其在點〃處的切線與直線上產3k1平行

D.若方程g(x)=2的兩個不同的解分別為由,如則|由-蒞|的最小值為］

7.設函數F(x)=sin(8x+。)(0<?！幢?，若y=f{x)+f'(X)是偶函數，則

6=.

8.已知函數/'(x)=3x+cos2x+sin2x,f'(x)是F(x)的導函數，且apf'(：),求過

曲線片系上一點P1a,抗的切線方程.

答案全解全析

基礎過關練

1.Af'(x)=(3")'+(sin2x)'?(2x)'=31n3+2cos2x.故選A.

2.B由/'(x)=ln(ar-l)可得'(x)-",

ax-1

由/■'(2)=2,可得三=2,解得故選B.

2a—13

3.BCD(e2v)'=2e2：A錯誤；

(3戶1)'=3+0=3,B正確；

(岳)'=[(2券]'=&><)噢會,(；正確；

(xsinx)'=x'sinx+x(sinx)'=sinx+xcosx,D正確.故選BCD.

4.答案e'cos2『2e*sin2x

解析f'(x)=(e')'cos2x+e，(cos2x)'=e"cos2x-2e*sin2.x.

5.答案!

解析由題意得f'(x)=2e2*+坐,x>-4,當產0時，f'(0)=2+T，解得f，(°)考

x+443

故答案為*

1

6.解析⑴設產u~2,則=y\,u\

=(u")/d-2/),(一4才)=彳(1一2才2)-5(-40=2才(1一2/)-5.

(2)設尸e",尸sinv,v=ax+b,

<z

則y\=匕?uv?八=e,cosv*a

=acos(ax+6)-esin(a^.

(3)設y=if,tFsinv,v=2x+],

貝(Jyl=/"?"I'?二=2u?cosv?2=4sinrcosv=2sin2尸2sin(4%+空).

(4)設尸51og24尸2x+l(%>—3)，則y'*=y，u*u，x

=(51og2〃)，?(2x+l)(%>一，

uln2(2x+l)ln2\2/

7.C由題意得s'=等v+3,故質點在第Is末的瞬時速度為二+3=4m/s.故選C.

8.A易得f'(x)=e'-ae因為尸A'(x)是奇函數,所以f"(O)=l-a=O,解得a=l.

經檢驗符合題意.

9.D由題意可得f'(x)=ae--Ln『1,切點坐標為(1,a),則切線1的斜率kf

'(1)=廿1,所以切線1的方程為廣所(年1)(六1),故1在y軸上的截距為

a+(a-l)X(-1)=1.

10.D由/■⑺二師,得F'")=$?(101)'=手，所以f'(40)=票;.

2y10t2Vt2V404

故在夕40時的降雨強度為:mm/min.

11.答案I

解析因為f(x)=kn,所以f'(x)=。彳所以f'(2)=萬X，所以函數

V4x+104x2+13

Ax)的圖象在產2處的切線的斜率為|.

12.答案尸2尸1

解析設x>0,則-水0,f(-x)=e'"+x,

,/f(x)為偶函數，x>0時，F(x)=釬2+%

則f'(x)=e"+l,'⑵=2,

又f(2)=3,.?.曲線片f(x)在點(2,『(2))處的切線方程為y3=2(k2),即尸2尸1.

13.解析.?.，=”'cosx,

...曲線尸6'汨'在點(0,1)處的切線方程為廣1=/即獷產1=0.

又直線1與直線廠方1=0平行，

直線1的方程可設為尸產妹0(勿#1).

由/‘二2二夜得爐T或爐3.

Vi2+(-i)2

，直線1的方程為片『1=0或『戶3=0.

能力提升練

1.C由題意知,求已0兩點間的距離的最小值,就是求在曲線尸xe”上某點處和

直線尸x+3平行的切線與直線產x+3之間的距離.

由產xe-'得y，=(l-^)e',

令/=(1-x)ex=l,解得A=0,

當尸0時,尸0,故P,0兩點間的距離的最小值即為點(0,0)到直線支x+3的距離，

:.P,0兩點間的距離的最小值為方故選C.

722

2.CD因為片長，所以/=書/三

ex+l(ex+l)2e2x+2ex+le%+—ex+2

因為e'>0,所以e*+*22]鏟/=2(當且僅當e%=,，即x=0時取等號)

所以￡[T,0),所以tanae[-1,0).

又因為ae[0,n),所以ae乎,n).

結合選項知選CD.

p-X_XpX_p-X、

3.ACsin力(-x)=--p-=----=-sin力z(x),

AA正確;

[cos/?(,￥)]y-)，=~^-=sin力(x)W—sin力(x),「.B錯誤；

cosh⑵-COS/?(-l)=—--~~?二D.>0,7.cos??(2)>cos

222ez2e2

力(-1),，C正確；

[sin力(x)]2-[cos/CO]2=(鏟；%)-(U")=子-1,「.D錯誤.

故選AC.

??1o.V3210.73^/14-COS2X1..

4A.nB?尸一sin2x+—cosA=-sin2x+—X-----=-sin2x+

424222V

泊,.?./=cos(2%+?

，曲線的切線的斜率在范圍內，

又曲線在4、方兩點處的切線互相垂直，

/.曲線在A,方兩點處的切線的斜率一個是1,另一個是T.

不妨設曲線在4點處的切線的斜率為1,

則2為+]=2左n(A￡Z),2%+]=2Ln+n(L￡Z),故

Xi-x2=(左一女2)冗~^kJi(A￡Z),

所以|%1—%2lmin=1.故選B.

5.C由g(x)=V+1可得g,(x)=2x,

令1+i=2x,解得Xi=X2=l,即a=l.

由力(x)=ln(x+2)可得力'(x)=」一,x>~2,

x+2

設網才)=力(才)-2'(x)=ln(x+2)，

x+2

易知尸(x)在(-2,+OO)上單調遞增，

當A=-l時，方(一1)=T〈O,

當A=0時，/(0)=ln2-|=lnV4_lnVe>0,

故T〈伙0.

由0(x)=cosx(x￡(0,JI))可得O'(x)=-sinx,

令cos產-sinx,Wsinx+cosA=0,

則V^sin(%+9=。，

又(0,Ji),所以x+：=Ji,得廣手,即c=：.

444

綜上可知,6〈水c.故選C.

6.AD由題圖知力=2,

4362

7^2Ji,2TT=1.

T

當產2時，3x+(1>=-+0=2+24五，kGZ,

662

0|4,.，._f(x)=2sin(%+§,

f，(x)=2cos(%+以，

g(x)=f(x)+f'(x)=2sin[+1)+2cos(%+小=2&sin(.x+^+：)=2V^sin(X+

工)，

令^r+—=-+/rJi,keZ,解得x^~—+kn,kRZ,

12212

函數g(x)的圖象的對稱軸方程為尸，■Z,A正確；

當，代Z時，函數g(x)取得最大值,為2V2,B錯誤;

易得g'(x)=2近cos(x+工)，

?.,g'(x)W2V^<3,.,.g(x)的圖象上不存在點已使得其在點〃處的切線與直線

1:產3xT平行,C錯誤;

方程g(x)=2即2V^sin(%+勻=2,「.sin(x+")=