高中函數(shù)總結(jié)

PAGEPAGE9函數(shù)函數(shù)：設(shè)在一個變化過程中有兩個變量x和y，如果對于x的每一個值，y都有唯一的值與它對應(yīng)，那么就說x是自變量，y是x的函數(shù).并將自變量x取值的集合叫做函數(shù)的定義域，和自變量x的值對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域.初中已經(jīng)學(xué)過：正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)等（二）已學(xué)函數(shù)的定義域和值域1．一次函數(shù):定義域R,值域R;2．反比例函:定義域,值域;3．二次函數(shù):定義域R值域：當(dāng)時，；當(dāng)時，（三）函數(shù)的值：關(guān)于函數(shù)值例：=+3x+1則f(2)=+3×2+1=11注意：1在中表示對應(yīng)法則，不同的函數(shù)其含義不一樣2不一定是解析式，有時可能是“列表”“圖象”3與是不同的，前者為變數(shù)，后者為常數(shù)（四）函數(shù)的三要素：對應(yīng)法則、定義域A、值域1．區(qū)間的概念和記號在研究函數(shù)時,常常用到區(qū)間的概念，它是數(shù)學(xué)中常用的述語和符號.設(shè)a,bR,且a<b.我們規(guī)定：①滿足不等式axb的實數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間，表示為[a,b]；②滿足不等式a<x<b的實數(shù)x的集合叫做開區(qū)間，表示為（a,b）；③滿足不等式ax<b或a<xb的實數(shù)x的集合叫做半開半閉區(qū)間，分別表示為[a，b),(a，b].這里的實數(shù)a和b叫做相應(yīng)區(qū)間的端點.在數(shù)軸上，這些區(qū)間都可以用一條以a和b為端點的線段來表示，在圖中，用實心點表示包括在區(qū)間內(nèi)的端點，用空心點表示不包括在區(qū)間內(nèi)的端點：定義名稱符號數(shù)軸表示{x|axb}閉區(qū)間[a，b]{x|a<x<b}開區(qū)間(a，b){x|ax<b}左閉右開區(qū)間[a，b]{x|a<xb}左開右閉區(qū)間(a，b)這樣實數(shù)集R也可用區(qū)間表示為(-,+),“”讀作“無窮大”，“-”讀作“負無窮大”，“+”讀作“正無窮大”.還可把滿足xa，x>a，xb，x<b的實數(shù)x的集合分別表示為[a，+，（a，+）,(-,b,(-,b).3．分段函數(shù)：有些函數(shù)在它的定義域中，對于自變量x的不同取值范圍，對應(yīng)法則不同，這樣的函數(shù)通常稱為分段函數(shù).分段函數(shù)是一個函數(shù)，而不是幾個函數(shù).4．復(fù)合函數(shù)：設(shè)f(x)=2x3，g(x)=x2+2，則稱f[g(x)]=2(x2+2)3=2x2+1（或g[f(x)]=(2x3)2+2=4x212x+11）為復(fù)合函數(shù)只有當(dāng)這三要素完全相同時，兩個函數(shù)才能稱為同一函數(shù)三、例題講解例1求下列函數(shù)的定義域：①；②；③解：①∵x-2=0，即x=2時，分式無意義，而時，分式有意義，∴這個函數(shù)的定義域是.②∵3x+2<0，即x<-時，根式無意義，而，即時，根式才有意義，∴這個函數(shù)的定義域是{|}.③∵當(dāng)，即且時，根式和分式同時有意義，∴這個函數(shù)的定義域是{|且}例3下列函數(shù)中哪個與函數(shù)是同一個函數(shù)⑴；⑵；⑶解：⑴＝（）,，定義域不同且值域不同，不是；⑵＝（）,，定義域值域都相同，是同一個函數(shù)；⑶＝||=,；值域不同，不是同一個函數(shù)例4下列各組中的兩個函數(shù)是否為相同的函數(shù)？①（定義域不同）②（定義域不同）③（定義域、值域都不同）例5若函數(shù)的定義域是R，求實數(shù)a的取值范圍（畫圖就可以求解）解：∵定義域是R,∴∴例5若函數(shù)的定義域為[1，1]，求函數(shù)的定義域解：要使函數(shù)有意義，必須：∴函數(shù)的定義域為：抽象函數(shù)：例6已知f(x)滿足，求；∵已知①，將①中x換成得②，①×2-②得∴.例1．求下列函數(shù)的值域①y=3x+2(-1x1)②③④解：①∵-1x1，∴-33x3，∴-13x+25，即-1y5，∴值域是[-1，5]②∵∴即函數(shù)的值域是{y|y2}③∵（對角函數(shù)）∴即函數(shù)的值域是{y|yR且y1}（此法亦稱分離常數(shù)法）④當(dāng)x>0，∴=，當(dāng)x<0時，=－∴值域是[2，+).（此法也稱為配方法）3若求f(x)解：令則(t0)則∴f(x)=(x0且x1)例2求下列函數(shù)的最大值、最小值與值域：①；②；③；④；解：∵，∴頂點為(2,-3)，頂點橫坐標為2.①∵拋物線的開口向上，函數(shù)的定義域R，∴x=2時，ymin=-3,無最大值；函數(shù)的值域是{y|y-3}.②∵頂點橫坐標2[3,4]，當(dāng)x=3時，y=-2；x=4時，y=1；∴在[3,4]上，=-2，=1；值域為[-2，1].③∵頂點橫坐標2[0,1]，當(dāng)x=0時，y=1；x=1時，y=-2,∴在[0,1]上，=-2，=1；值域為[-2，1].④∵頂點橫坐標2[0,5]，當(dāng)x=0時，y=1；x=2時，y=-3,x=5時，y=6,∴在[0,1]上，=-3，=6；值域為[-3，6].對于二次函數(shù),⑴若定義域為R時，①當(dāng)a>0時，則當(dāng)時，其最小值；②當(dāng)a<0時，則當(dāng)時，其最大值.⑵若定義域為x[a,b],則應(yīng)首先判定其頂點橫坐標x0是否屬于區(qū)間[a,b].①若[a,b],則是函數(shù)的最小值（a>0）時或最大值（a<0）時，再比較的大小決定函數(shù)的最大（?。┲?②若[a,b],則[a,b]是在的單調(diào)區(qū)間內(nèi)，只需比較的大小即可決定函數(shù)的最大（小）值.注：①若給定區(qū)間不是閉區(qū)間，則可能得不到最大（?。┲?；②當(dāng)頂點橫坐標是字母時，則應(yīng)根據(jù)其對應(yīng)區(qū)間特別是區(qū)間兩端點的位置關(guān)系進行討論.3．判別式法（△法）：判別式法一般用于分式函數(shù)，其分子或分母只能為二次式，解題中要注意二次項系數(shù)是否為0的討論例3．求函數(shù)的值域方法一：去分母得(y1)+(y+5)x6y6=0①當(dāng)y1時∵xR∴△=(y+5)+4(y1)×6(y+1)0由此得(5y+1)0檢驗時（代入①求根）∵2定義域{x|x2且x3}∴再檢驗y=1代入①求得x=2∴y1綜上所述，函數(shù)的值域為{y|y1且y}方法二：把已知函數(shù)化為函數(shù)(x2)由此可得y1∵x=2時即∴函數(shù)的值域為{y|y1且y}4．換元法例4．求函數(shù)的值域解：設(shè)則t0x=1代入得∵t0∴y45．分段函數(shù)例5．求函數(shù)y=|x+1|+|x-2|的值域.解法1：將函數(shù)化為分段函數(shù)形式：，畫出它的圖象（下圖），由圖象可知，函數(shù)的值域是{y|y3}.解法2：∵函數(shù)y=|x+1|+|x-2|表示數(shù)軸上的動點x到兩定點-1，2的距離之和，∴易見y的最小值是3，∴函數(shù)的值域是[3，+].如圖函數(shù)的單調(diào)性1教學(xué)目的：（1）了解單調(diào)函數(shù)、單調(diào)區(qū)間的概念：能說出單調(diào)函數(shù)、單調(diào)區(qū)間這兩個概念的大致意思（2）理解函數(shù)單調(diào)性的概念：能用自已的語言表述概念；并能根據(jù)函數(shù)的圖象指出單調(diào)性、寫出單調(diào)區(qū)間（3）掌握運用函數(shù)的單調(diào)性定義解決一類具體問題：能運用函數(shù)的單調(diào)性定義證明簡單函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)眾多性質(zhì)中的重要性質(zhì)之一，函數(shù)的單調(diào)性一節(jié)中的知識是今后研究具體函數(shù)的單調(diào)性理論基礎(chǔ)；在解決函數(shù)值域、定義域、不等式、比較兩數(shù)大小等具體問題中均需用到函數(shù)的單調(diào)性；在歷年的高考中對函數(shù)的單調(diào)性考查每年都有涉及；同時在這一節(jié)中利用函數(shù)圖象來研究函數(shù)性質(zhì)的數(shù)形結(jié)合思想將貫穿于我們整個高中數(shù)學(xué)教學(xué)一、復(fù)習(xí)引入：⒈復(fù)習(xí)：我們在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)圖象的畫法.為了研究函數(shù)的性質(zhì)，我們按照列表、描點、連線等步驟先分別畫函數(shù)和的圖象.的圖象如圖1，的圖象如圖2.⒉引入：從函數(shù)的圖象（圖1）看到：圖象在軸的右側(cè)部分是上升的，也就是說，當(dāng)在區(qū)間[0，+)上取值時，隨著的增大,相應(yīng)的值也隨著增大，即如果取∈[0，+)，得到=,=,那么當(dāng)<時，有<.這時我們就說函數(shù)==在[0,+)上是增函數(shù).圖象在軸的左側(cè)部分是下降的，也就是說，當(dāng)在區(qū)間（-，0）上取值時，隨著的增大，相應(yīng)的值反而隨著減小，即如果取∈（-，0），得到=,=,那么當(dāng)<時，有>.這時我們就說函數(shù)==在(-,0)上是減函數(shù).⒈增函數(shù)與減函數(shù)定義：對于函數(shù)的定義域I內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值，⑴若當(dāng)<時，都有<,則說在這個區(qū)間上是增函數(shù)（如圖3）；⑵若當(dāng)<時，都有>,則說在這個區(qū)間上是減函數(shù)（如圖4）.⒉單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間若函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，則就說函數(shù)在這一區(qū)間具有（嚴格的）單調(diào)性，這一區(qū)間叫做函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.此時也說函數(shù)是這一區(qū)間上的單調(diào)函數(shù).例1如圖6是定義在閉區(qū)間[-5，5]上的函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象說出的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù).解：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間有[-5，-2)，[-2，1)，[1，3)，[3，5]，其中在區(qū)間[-5，-2)，[1，3)上是減函數(shù)，在區(qū)間[-2，1)，[3，5]上是增函數(shù).例2證明函數(shù)在R上是增函數(shù).證明：設(shè)是R上的任意兩個實數(shù)，且<，則－=(3+2)-(3+2)=3(－),由<x,得－<0,于是－<0,即<.∴在R上是增函數(shù).例3證明函數(shù)在(0,+)上是減函數(shù).證明：設(shè),是(0,+)上的任意兩個實數(shù)，且<，則－=－=,由,∈(0,+)，得>0,又由<,得－>0,于是－>0,即>∴在(0,+)上是減函數(shù).例4．討論函數(shù)在(-2,2)內(nèi)的單調(diào)性.（畫圖變可以求解）解：∵，對稱軸∴若,則在(-2,2)內(nèi)是增函數(shù)；若則在(-2,a)內(nèi)是減函數(shù),在[a,2]內(nèi)是增函數(shù)若,則在(-2,2)內(nèi)是減函數(shù).3判斷函數(shù)=在(-,0)上是增函數(shù)還是減函數(shù)并證明你的結(jié)論.解：設(shè),∈(-，0)，且<，∵－=－==,由,∈(-，0)，得>0,又由<,得－>0,于是－>0,即>.∴=在(0,+)上是減函數(shù).能否說函數(shù)=在(-，+)上是減函數(shù)？答：不能.因為=0不屬于=的定義域.了解復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法.一、復(fù)習(xí)引入：1.對于函數(shù)的定義域I內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值⑴若當(dāng)<時，都有<,則說在這個區(qū)間上是增函數(shù)；⑵若當(dāng)<時，都有>,則說在這個區(qū)間上是減函數(shù).2.若函數(shù)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，則就說函數(shù)在這一區(qū)間具有（嚴格的）單調(diào)性，這一區(qū)間叫做函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.此時也說函數(shù)是這一區(qū)間上的單調(diào)函數(shù).3.判斷證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟是：⑴設(shè),是給定區(qū)間內(nèi)的任意兩個值，且<；⑵作差－，并將此差式變形（要注意變形的程度）；⑶判斷－的正負（要注意說理的充分性）；⑷根據(jù)－的符號確定其增減性.2．復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷對于函數(shù)和，如果在區(qū)間上是具有單調(diào)性，當(dāng)時，，且在區(qū)間上也具有單調(diào)性，則復(fù)合函數(shù)在區(qū)間具有單調(diào)性的規(guī)律見下表：增↗減↘增↗減↘增↗減↘增↗減↘減↘增↗以上規(guī)律還可總結(jié)為：“同向得增，異向得減”或“同增異減”.例2．求函數(shù)的值域，并寫出其單調(diào)區(qū)間解：題設(shè)函數(shù)由和復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，函數(shù)的值域是，在上的值域是.故函數(shù)的值域是.對于函數(shù)的單調(diào)性，不難知二次函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)；二次函數(shù)區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)當(dāng)時，，即，或.當(dāng)時，，即，.因此，本題應(yīng)在四個區(qū)間，，，上考慮①當(dāng)時，，而在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)②當(dāng)時，，而在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，所以，函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)③當(dāng)時，，而在上是減函數(shù)，在上是減函數(shù)，所以，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)④當(dāng)時，，而在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，所以，函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)綜上所述，函數(shù)在區(qū)間、上是增函數(shù)；在區(qū)間、上是減函數(shù)反函數(shù)（一）函數(shù)反函數(shù)定義域AC值域CA例1．求下列函數(shù)的反函數(shù)：①；②；③；④.解：①由解得∴函數(shù)的反函數(shù)是，②由解得x=,∴函數(shù)的反函數(shù)是③由y