WxsCH3剛體的平面運動a

理論力學TheoreticalMechanicsMonday,December25,2023主講教師：祝瑛第3章剛體的平面運動綜合實驗樓508Tel51682724第3章剛體的平面運動§3-1剛體的平面運動方程及運動分解§3-2平面運動剛體上各點的速度分析§3-3平面運動剛體上各點的加速度分析§3-4運動學綜合應用本章主要內容：

以點的合成法為基礎研究剛體的復雜運動問題。－運動學的重點內容之二剛體平面運動的特點

在運動中，剛體上的任意一點與某一固定平面始終保持相等的距離，且作平面曲線運動，這種運動稱為平面運動。§3-1剛體的平面運動方程及運動分解MASzM

=const這些平行平面上與公垂線的交點具有相同的運動軌跡、速度和加速度。剛體上平行于固定平面的所有平行平面具有相同的運動規(guī)律；2.計算模型的簡化剛體的平面運動可以用平面圖形來代表該平面圖形與一固定平面始終保持平行把研究剛體的平面運動轉化為研究平面圖形S的運動。3.平面運動的分解則平面圖形的平面運動可以視為隨同基點的平動及繞基點的定軸轉動合成的運動。在平面圖形上任取一點A(或B)為基點(basepoint)

，建立一平動坐標系Ax’y’(或Bx’y’

)

。說明：基點為平移坐標系（動系）的原點，基點固定于剛體上，基點應該是運動特征容易確定的點；平動坐標系Ax’y’的載體為一假想剛體，該剛體上的平動坐標系原點A始終與平面運動剛體上的基點A重合；平動與基點選擇有關，轉動與基點選擇無關；平動時須指明基點的位置，而轉動時不必.4.平面運動剛體的運動方程基點的運動方程剛體繞基點轉動的運動方程定系Oxy動系Ax’y’三個自由度一、基點法從點的合成運動觀點分析：可將平面運動剛體上除基點以外的任意一點作為動點，動系為平移坐標系Ax’y’,動坐標軸的方向始終不變，一般設平行于定系；牽連運動為過基點的平移坐標系Ax’y’的平移運動；相對運動為以基點為圓心，以動點到基點的距離為半徑的圓周運動；絕對運動為二者合成的結果。§3-2平面運動剛體上各點的速度分析結論平面圖形內任一點的速度等于基點的速度與該點隨圖形繞基點轉動的速度的矢量和。動點=+AMwvAvMAvM平面圖形內直線AM上任意點的速度分布圖例1已知：。求圖示瞬時(位置)的。解：AB桿作平面運動以A為基點，B為動點分析動點B的三種運動速度？RwAB

wAB？作速度三角形求解未知量vB=1.12Rw解例2：平面四連桿機構。已知曲柄OA長30cm,以勻角速度6rad/s順時針轉動,連桿AB長60cm。試求圖示位置連桿AB的角速度和搖桿BC的角速度。AB桿作平面運動,搖桿BC為定軸轉動以A為基點，B為動點分析動點B的三種運動速度？OA

w=1.8m/sAB

wAB？BC

wBCBC=0.6/sin60(m)30o例3：平面四連桿機構。曲柄OA以不變的角速度繞O軸轉動。求在圖示瞬間點C的速度。已知C、B、O在同一垂線上解：AC為平面運動剛體分析動點的三種運動速度先以B為動點，以A為基點，求wABC？？45o作速度平行四邊形，求解以C為動點，B為基點求vC？已知作速度平行四邊形，求解135o例4圖示的行星輪系中，大齒輪Ⅰ固定，半徑為r1

；行星齒輪Ⅱ沿輪Ⅰ只滾不滑，半徑為r2，桿OA角速度為ω0。求：輪Ⅱ的角速度ωⅡ及其上B，C兩點的速度。解:求ωⅡ輪Ⅱ作平面運動選擇動點：二輪的交點D選擇基點：A=求vB動點：II輪上的B點基點：A求vC二、速度投影定理同一平面圖形上任意兩點的速度在這兩點連線上的投影相等速度投影定理反映了剛體中兩點間距離不變的特性將各速度向AB點連線投影若將各速度向AB連線的垂線軸投影，可以寫出什么關系？可以求解哪個未知量？例1已知：。求圖示瞬時(位置)的。解AB桿為平面運動剛體，分析A、B兩點絕對速度將速度向AB連線投影，由速度投影定理得wAB將速度vA，vB

，

vBA向vBA的正向軸投影解例2：平面四連桿機構。已知曲柄OA長30cm,以勻角速度6rad/s順時針轉動,連桿AB長60cm。試求圖示位置搖桿BC的角速度。？如何求解連桿AB的角速度速度投影法例3

礦石軋碎機的活動夾板AB長600mm，由曲柄OE借連桿組帶動，使它繞A軸擺動。曲柄OE長100mm，角速度為10rad/s。連桿組由桿BG，GD和GE組成，桿BG和GD各長500mm。求當機構在圖示位置（OE

、BD水平、OG鉛垂）時，夾板AB的角速度。vBvGvE解：EG、GB均為平面運動剛體，先考慮EG求出vG，再研究GB求解wAB由速度投影定理得例4

圖示平面機構中，曲柄OA長100mm，以角速度ω=2rad/s轉動。連桿AB帶動搖桿CD，并拖動輪E沿水平面純滾動。已知：CD=3CB，圖示位置時A，B，E三點恰在一水平線上，且CD⊥ED。求：此瞬時點E的速度。

解：1、求vBAB作平面運動，由速度投影定理可得CD作定軸轉動，轉動軸為CDE作平面運動2、求vD3、求vE三、速度瞬心法1、速度瞬心的概念定義

一般情況下，在每一瞬時，平面圖形上（或其擴展面內）都唯一地存在一個速度為零的點。該點即為瞬時速度中心，簡稱速度瞬心。設*平面圖形內任一點的速度等于該點隨圖形繞瞬時速度中心轉動的速度。若以速度瞬心為基點，則*平面圖形作瞬時定軸轉動，轉動中心為瞬心；*圖形上各點速度分布如同圖形繞瞬心作定軸轉動一樣；2、平面圖形內各點的速度及其分布1）當平面圖形沿一固定平面做無滑動的滾動時3、瞬心位置的幾種確定方法圖形與固定平面的接觸點2）、已知圖形內任兩點A和B的速度的方向兩點速度垂線的交點3）、已知圖形上兩點A和B的速度相互平行，且速度的方向垂直于兩點的連線AB。兩點速度的起點連線和終點連線的交點當兩點速度同向時，瞬心位于AB連線外側；當兩點速度異向時，瞬心位于AB連線內側；4）某一瞬時，圖形上A、B兩點的速度相等,且速度的方向不與兩點的連線AB垂直。瞬時平動瞬心位于速度垂線方向的無窮遠處例1已知：。瞬心法求圖示瞬時(位置)的解確定瞬心CvA=AC

wABvB=BC

wAB75o60o45o例2：橢圓尺規(guī)的A端以速度沿x軸的負方向運動，AB=。試求B端的速度，尺AB的角速度及AB中點D的速度。解：瞬心法vA=AC

wABvB=BC

wAB例3

已知：行星輪系固定輪半徑R，行星輪半徑r（只滾不滑），曲柄角速度。求：行星輪上M點速度。解：行星輪作平面運動兩輪交點C為瞬心vA=(R+r)w=rwAABD例4：已知AB桿A點的速度，桿長L，求桿B端的速度、桿的角速度、桿中點D的速度和圓盤的角速度。解：研究AB桿，確定AB桿的速度瞬心DCBAvOO例5：已知半徑為R的圓輪在直線軌道上作純滾動。輪心速度為vO

。求：輪緣上A、B、C、D四點的速度。DCBAvOOw解：點A為速度瞬心由vO

＝Rω

得到例6已知：曲柄－滑塊機構中，曲柄OA＝r，以等角速度

ω0繞O軸轉動，連桿AB＝l。在圖示情形下連桿與曲柄垂直。求：1.滑塊的速度vB；

2.連桿AB的角速度ω

AB。解：選擇基點：A(速度已知)

動點：B(速度方向已知)

vA=rω

0解法1：基點法vAvBAvB解法2：速度投影法vA=r

0解：應用速度投影定理vAvAvBAvB解法3：速度瞬心法

AB解：確定速度瞬心：CvAvBC

已知：曲柄－滑塊機構中，曲柄OA＝r，以等角速度w繞O軸轉動，曲柄處于水平位置；連桿AB＝l。求：1.滑塊的速度vB；

2.連桿AB的角速度。x′y′vAvB解：AB桿為瞬時平動§3-3平面運動剛體上各點的加速度分析++基點：A動點：B基點法例1橢圓規(guī)機構中，曲柄OD以勻角速度繞O軸轉動，。求當時尺AB的角加速度和點A的加速度。解：尺AB作平面運動,以尺AB上D點為基點,以A為動點？？分別寫出加速度在x、h坐標軸上的投影式例2

曲柄滑塊機構。已知：。求圖示位置時的滑塊加速度。

解：AB桿為平面運動等式兩邊向BA方向投影向與AB垂直的方向投影++選A為基點，B為動點aB=0.84Rw2例3車輪沿直線純滾動。已知半徑為R，中心O的速度為，加速度為，求車輪上速度瞬心C點的加速度。解：wa取中心O為基點，瞬心C為動點向水平方向投影？向CO方向投影輪子在平面上只滾不滑時，速度瞬心C點的加速度不為零，且方向永遠指向輪心。 除速度瞬心C點以外，輪子邊緣其他點的加速度方向是否也永遠指向輪心？

平面運動剛體的速度瞬心點的速度為零，但加速度不為零?！矔r轉動與定軸轉動的根本區(qū)別A討論：如何求解輪上A點的加速度?取中心O為基點，A為動點w分別向x、y軸方向投影如果是勻速純滾動的輪子，結果又如何？外嚙合行星齒輪的機構中，,,齒輪I的半徑為r。A在的延長線上，B在垂直于的半徑上。試求點A和B的加速度。例4解：輪I作平面運動,以O點為基點,再分別以A、B為動點=constABDC例5A端沿直線勻速運動,求繩鉛垂時AB桿的角加速度和中點C的加速度.解：研究AB桿，瞬時平移以A為基點，B為動點ABDC上式在鉛垂軸上投影：討論：是否存在加速度瞬時中心？可否仿照速度瞬心法得到加速度瞬心法？平面運動的基點坐標系能否為轉動坐標系？能否求得速度瞬心軌跡線？剛體的平面運動==〉平動

+轉動平面運