高考數(shù)學(xué)B版真題及模擬：平面向量的概念及線性運(yùn)算、平面向量基本定理及坐標(biāo)表示

平面向量的概念及線性運(yùn)算、平面向量基本定理及坐標(biāo)表示A組

自主命題·北京卷題組1.(2016北京,4,5分)設(shè)a,b是向量.則“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的

()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件答案

D當(dāng)|a|=|b|=0時,|a|=|b|?|a+b|=|a-b|.當(dāng)|a|=|b|≠0時,|a+b|=|a-b|?(a+b)2=(a-b)2?a·b=0?a⊥b,推不出|a|=|b|.同樣,由|a|=|b|也不能推出

a⊥b.故選D.思路分析先注意研究向量的模,考慮模的定義以及特殊的模,一般情況可以用平行四邊形法

則或三角形法則作圖,用有向線段的長度來表示向量的模.解后反思由向量加法、減法的幾何意義知:當(dāng)a、b不共線,且|a|=|b|時,a+b與a-b垂直;當(dāng)a⊥b

時,|a+b|=|a-b|.評析本題考查向量的模及運(yùn)算性質(zhì),屬容易題.2.(2015北京,13,5分,0.65)在△ABC中,點(diǎn)M,N滿足

=2

,

=

.若

=x

+y

,則x=

,y=

.答案

;-

解析由

=2

知M為AC上靠近C的三等分點(diǎn),由

=

知N為BC的中點(diǎn),作出草圖如下:

則有

=

(

+

),所以

=

-

=

(

+

)-

·

=

-

,又因為

=x

+y

,所以x=

,y=-

.思路分析由已知作出草圖,用

、

表示

、

,代入

=

-

中,化簡可求得x,y的值.3.(2013北京,13,5分,0.65)向量a,b,c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若c=λa+μb(λ,μ∈R),則

=

.

答案4解析以向量a和b的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的坐標(biāo)系,令每個小正方形的邊長為1個單

位,則A(1,-1),B(6,2),C(5,-1),所以a=

=(-1,1),b=

=(6,2),c=

=(-1,-3).由c=λa+μb可得

解得

所以

=4.

思路分析注意到網(wǎng)格線,先將某點(diǎn)設(shè)為原點(diǎn),建立直角坐標(biāo)系,利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算構(gòu)造

方程組求值.評析本題主要考查平面向量的基本定理和坐標(biāo)運(yùn)算,考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力和解析法在

向量中的應(yīng)用,構(gòu)建關(guān)于λ和μ的方程組是求解本題的關(guān)鍵.4.(2011北京,10,5分)已知向量a=(

,1),b=(0,-1),c=(k,

).若a-2b與c共線,則k=

.答案1解析∵a-2b=(

,3)與c=(k,

)共線,∴3k=

×

,故k=1.失分警示混淆兩向量共線與兩向量垂直的充要條件,造成失分.評析本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量共線的充要條件.解題的關(guān)鍵是利用向量共線的充

要條件列出關(guān)于k的方程,本題屬容易題.B組

統(tǒng)一命題、省(區(qū)、市)卷題組1.(2018課標(biāo)全國Ⅰ,6,5分)在△ABC中,AD為BC邊上的中線,E為AD的中點(diǎn),則

=

()A.

-

B.

-

C.

+

D.

+

答案

A本題主要考查平面向量的線性運(yùn)算及幾何意義.∵E是AD的中點(diǎn),∴

=-

,∴

=

+

=-

+

,又∵D為BC的中點(diǎn),∴

=

(

+

),因此

=-

(

+

)+

=

-

,故選A.題型歸納平面向量線性運(yùn)算問題的常見類型及解題策略(1)考查向量加法或減法的幾何意義.(2)求已知向量的和或差.一般共起點(diǎn)的向量求和用平行四邊形法則,求差用三角形法則;求首

尾相連的向量的和用三角形法則.(3)與三角形綜合,求參數(shù)的值.求出向量的和或差,與已知條件中的式子比較,求得參數(shù).(4)與平行四邊形綜合,研究向量的關(guān)系.畫出圖形,找出圖中的相等向量、共線向量,將所求向

量轉(zhuǎn)化到同一個平行四邊形或三角形中求解.2.(2015課標(biāo)Ⅰ,7,5分,0.725)設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),

=3

,則

()A.

=-

+

B.

=

-

C.

=

+

D.

=

-

答案

A

=

+

=

+

+

=

+

=

+

(

-

)=-

+

.故選A.3.(2014福建,8,5分)在下列向量組中,可以把向量a=(3,2)表示出來的是

()A.e1=(0,0),e2=(1,2)B.e1=(-1,2),e2=(5,-2)C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,-3),e2=(-2,3)答案

B設(shè)a=k1e1+k2e2,A選項,∵(3,2)=(k2,2k2),∴

無解.B選項,∵(3,2)=(-k1+5k2,2k1-2k2),∴

解之得

故B中的e1,e2可把a(bǔ)表示出來.同理,C、D選項同A選項,無解.4.(2017課標(biāo)全國Ⅲ,12,5分)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,動點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的

圓上.若

=λ

+μ

,則λ+μ的最大值為

()A.3

B.2

C.

D.2答案

A本題考查向量的運(yùn)算.分別以CB、CD所在的直線為x軸、y軸建立直角坐標(biāo)系,則A(2,1),B(2,0),D(0,1).∵點(diǎn)P在以C為圓心且與BD相切的圓上,∴可設(shè)P

.則

=(0,-1),

=(-2,0),

=

.又

=λ

+μ

,∴λ=-

sinθ+1,μ=-

cosθ+1,∴λ+μ=2-

sinθ-

cosθ=2-sin(θ+φ),其中tanφ=

,∴(λ+μ)max=3.5.(2018課標(biāo)全國Ⅲ,13,5分)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),則λ=

.答案

解析本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算.由已知得2a+b=(4,2).又c=(1,λ),c∥(2a+b),所以4λ-2=0,解得λ=

.6.(2015課標(biāo)Ⅱ,13,5分,0.724)設(shè)向量a,b不平行,向量λa+b與a+2b平行,則實數(shù)λ=

.答案

解析由于a,b不平行,所以可以以a,b作為一組基底,于是λa+b與a+2b平行等價于

=

,即λ=

.7.(2015江蘇,6,5分)已知向量a=(2,1),b=(1,-2),若ma+nb=(9,-8)(m,n∈R),則m-n的值為

.答案-3解析由a=(2,1),b=(1,-2),可得ma+nb=(2m,m)+(n,-2n)=(2m+n,m-2n),由已知可得

解得

從而m-n=-3.A組

2016—2018年高考模擬·基礎(chǔ)題組(時間:25分鐘分值:55分)一、選擇題(每題5分,共40分)1.(2018北京海淀一模,2)已知向量a=(1,2),b=(-1,0),則a+2b=

()A.(-1,2)

B.(-1,4)

C.(1,2)

D.(1,4)答案

A

a+2b=(1,2)+2(-1,0)=(-1,2),故選A.2.(2018北京西城一模,5)已知O是正方形ABCD的中心.若

=λ

+μ

,其中λ,μ∈R,則

=

()A.-

B.-2

C.-

D.

答案

B

=

-

=

-

=

-(

-

)=

-

,故λ=1,μ=-

,所以

=-2,故選B.3.(2018北京一六一中學(xué)期中,4)若非零向量a,b滿足|a+b|=|a-b|,則

()A.|a|=|b|

B.a=bC.a∥bD.a⊥b答案

D解法一:利用向量加法的平行四邊形法則和減法的幾何意義易得D正確.解法二:∵|a+b|=|a-b|,∴a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2,∴a·b=0.∵a,b均為非零向量,∴a⊥b.故選D.4.(2018北京豐臺二模,2)設(shè)a,b為非零向量,則“a與b的方向相同”是“a∥b”的

()A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件答案

A

5.(2018北京西城二模,5)向量a,b,c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若向量λa+b與c共線,則實

數(shù)λ=

()

A.-2

B.-1

C.1

D.2答案

D如圖,建立平面直角坐標(biāo)系xOy,則a=(1,1),b=(0,-1),c=(2,1),∴λa+b=(λ,λ-1).∴λ=2(λ-

1),解得λ=2,故選D.

6.(2017北京西城一模,5)在△ABC中,點(diǎn)D滿足

=3

,則

()A.

=

-

B.

=

+

C.

=

-

D.

=

+

答案

D在△ABC中,

=3

,所以

=

+

=

+

=

+

(

-

)=

+

.7.(2017北京豐臺一模,4)設(shè)E,F分別是正方形ABCD的邊AB,BC上的點(diǎn),且

=

,

=

,如果

=m

+n

(m,n為實數(shù)),那么m+n的值為

()A.-

B.0

C.

D.1答案

C如圖所示,

∵

=

+

=

+

=

+

(

+

)=-

+

,∴m=-

,n=

,∴m+n=

.8.(2016北京西城一模,4)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,向量

=(-1,2),

=(2,m),若O,A,B三點(diǎn)能構(gòu)成三角形,則

()A.m=-4

B.m≠-4C.m≠1

D.m∈R答案

B因為O,A,B三點(diǎn)能構(gòu)成三角形,所以向量

與

不共線,所以

≠

,即m≠-4.9.(2018北京十四中期中,13)在△ABC中,點(diǎn)M,N滿足2

=

,

=

.若

=x

+y

,則x+y=

.二、填空題(每題5分,共15分)答案

解析如圖,

=

+

=

+

=

+

(

-

)=

+

,∴x=

,y=

,∴x+y=

.

10.(2016北京海淀一模,9)已知向量a=(1,t),b=(t,9),若a∥b,則t=

.答案

±3解析∵a=(1,t),b=(t,9),且a∥b,∴1×9=t2?t=±3.11.(2016北京朝陽一模,13)已知M為△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn),且

=

+n

.若點(diǎn)M在△ABC的內(nèi)部(不含邊界),則實數(shù)n的取值范圍是

.答案

解析根據(jù)平面向量基本定理可知,當(dāng)n+

=1時,M點(diǎn)在直線BC上,又點(diǎn)M在△ABC的內(nèi)部(不含邊界),∴n>0,且n+

<1,∴0<n<

,∴實數(shù)n的取值范圍為

.B組

2016—2018年高考模擬·綜合題組(時間:20分鐘分值:40分)一、選擇題(每題5分,共25分)1.(2018北京順義二模,7)已知O是正△ABC的中心.若

=λ

+μ

,其中λ,μ∈R,則

的值為

()A.-

B.-

C.-

D.2答案

C如圖,取AB的中點(diǎn)D,由已知得

=

=

×

(

+

)=

(

+

).∵

=

-

,∴

=

-

,∴

∴

=-

,故選C.

2.(2018北京門頭溝一模,6)在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=90°,且AB=2CD=2AD=2,P是

BC的中點(diǎn),則

·

=()A.

B.3

C.2

D.

答案

C以A為原點(diǎn),AB所在直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則D(0,1),A(0,0),P

,所以

=

,

=

,所以

·

=

-

=2,故選C.

3.(2018北京東城二模,5)設(shè)a,b是非零向量,則“|a+b|=|a|-|b|”是“a∥b”的

()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件答案

A充分性:|a+b|=|a|-|b|?|a+b|2=(|a|-|b|)2?a2+b2+2a·b=|a|2+|b|2-2|a|·|b|?2|a|·|b|cos<a,b>=-2

|a|·|b|?cos<a,b>=-1?<a,b>=π,∴a∥b,故充分性成立.必要性:當(dāng)a,b同向時,|a+b|=|a|+|b|≠|(zhì)a|-|b|,故必要性不成立.故選A.思路分析本題以充分必要條件的判斷為載體考查平面向量的基本知識,充分性的證明可以

利用平方關(guān)系轉(zhuǎn)化為平面向量的數(shù)量積運(yùn)算,如果用平面向量的加法和減法的運(yùn)算法則,同樣

會起到非常好的效果.4.(2016北京東城二模,4)已知向量a=(1,0),b=(2,1),c=(x,1),若3a-b與c共線,則x的值為

()A.1

B.-3C.-2

D.-1答案

D∵3a-b=(1,-1),c=(x,1),又3a-b與c共線,∴(-1)×x=1×1,即x=-1,故選D.思路分析在坐標(biāo)形式下,直接用向量共線的坐標(biāo)表示求值.5.(2016北京東城一模,8)已知e1,e2為平面上的單位向量,e1與e2的起點(diǎn)均為坐標(biāo)原點(diǎn)O,e1與e2的夾

角為

,平面區(qū)域D由所有滿足

=λe1+μe2的點(diǎn)P組成,其中

那么平面區(qū)域D的面積為

()A.

B.

C.

D.

答案

D如圖,設(shè)

=e1,

=e2,則

=λe1+μe2=λ

+μ

,當(dāng)λ+μ=1時,λ≥0,μ≥0表示點(diǎn)P在線段AB上,所以λ+μ≤1,λ≥0,μ≥0表示點(diǎn)P在正三角形OAB上或其內(nèi)部,故平面區(qū)域D的面積等

于以1為邊長的正三角形的面積,即為

.

思路分析先判斷λ+μ=1時點(diǎn)P的軌跡,再確定λ+μ≤1時點(diǎn)P的軌跡,然后求平面區(qū)域D的面積.6.(2018北京朝陽期末,11)在?ABCD中,E,F分別為邊BC,CD的中點(diǎn),若

=x

+y

(x,y∈R),則x+y=