多邊形及其內(nèi)角和課件

11.3

多邊形及其內(nèi)角和知識(shí)點(diǎn)一多邊形及其相關(guān)概念多邊形在平面內(nèi),由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形.如果一個(gè)多邊形由n條線段組成,那么這個(gè)多邊形就叫做n邊形.如三角形、四邊形、五邊形,三角形是最簡(jiǎn)單的多邊形多邊形的邊組成多邊形的線段多邊形的內(nèi)角多邊形相鄰兩邊組成的角多邊形的外角多邊形的邊與它的鄰邊的延長(zhǎng)線組成的角多邊形的對(duì)角線連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段要點(diǎn)解讀多邊形用表示它的各個(gè)頂點(diǎn)的字母表示,表示多邊形的字母要按頂點(diǎn)的順序書(shū)寫(xiě),可以按順時(shí)針順序,也可以按逆時(shí)針順序.從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā),可以引(n-3)條對(duì)角線,將n邊形分成(n-2)個(gè)三角形,n邊形的對(duì)角線條數(shù)是111.3

多邊形及其內(nèi)角和例1

如圖11-3-1,是多邊形的有哪些?它們的對(duì)角線條數(shù)分別是多少?圖11-3-1解析

根據(jù)多邊形的定義知,是多邊形的有①②⑤.圖①是三角形,對(duì)角線條數(shù)是0,圖②是四邊形,對(duì)角線條數(shù)是2,圖⑤是六邊形,對(duì)角線條數(shù)是9.211.3

多邊形及其內(nèi)角和知識(shí)點(diǎn)二多邊形的分類及正多邊形分類按邊數(shù)分:三角形、四邊形、五邊形、……按凸凹性分:畫(huà)出多邊形的任意一條邊所在直線,如果整個(gè)多邊形都在這條直線的同一側(cè),就是凸多邊形,否則就是凹多邊形正多邊形各個(gè)角都相等,各條邊都相等的多邊形要點(diǎn)解讀正多邊形必須滿足兩個(gè)條件:①各個(gè)角都相等;②各條邊都相等.二者缺一不可特別提醒無(wú)特別說(shuō)明,所討論的多邊形都是指凸多邊形.各個(gè)角都相等的多邊形不一定是正多邊形,如長(zhǎng)方形;各條邊都相等的多邊形也不一定是正多邊形,如菱形311.3

多邊形及其內(nèi)角和例2

下列說(shuō)法正確的是

(

)A.各邊都相等的多邊形是正多邊形B.各角都相等的多邊形是正多邊形C.各邊相等,各角也相等的多邊形是正多邊形D.一個(gè)正n邊形(n>3)有n條邊,n個(gè)內(nèi)角,n條對(duì)角線解析

根據(jù)正多邊形的定義可得A、B錯(cuò)誤,C正確,一個(gè)正n邊形(n>3,n為整數(shù))有n條邊,n個(gè)內(nèi)角,

條對(duì)角線,D錯(cuò)誤.故選C.答案

C411.3

多邊形及其內(nèi)角和知識(shí)點(diǎn)三多邊形的內(nèi)角和內(nèi)容n邊形的內(nèi)角和等于(n-2)×180°要點(diǎn)解讀多邊形內(nèi)角和公式的推導(dǎo)方法多樣(如圖),但都是把多邊形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形的問(wèn)題進(jìn)行解決.n邊形的內(nèi)角和隨邊數(shù)的增加而增加,每增加一條邊,其內(nèi)角和增加180°.(3)任意多邊形的內(nèi)角和都是180°的整數(shù)倍特別提醒正n邊形每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是511.3

多邊形及其內(nèi)角和6例3

(2018云南曲靖中考)若一個(gè)正多邊形的內(nèi)角和為720°,則這個(gè)正多邊形的每一個(gè)內(nèi)角是

(

)A.60°

B.90°

C.108°

D.120°解析

設(shè)該正多邊形為正n邊形,由題意,得(n-2)×180°=720°,解得n=6.則這個(gè)正多邊形的每一個(gè)內(nèi)角為720°÷6=120°.故選D.答案

D11.3

多邊形及其內(nèi)角和知識(shí)點(diǎn)四多邊形的外角和內(nèi)容證明過(guò)程應(yīng)用多邊形的外角和多邊形的外角和為360°多邊形的每個(gè)內(nèi)角同與它相鄰的外角互為鄰補(bǔ)角,所以n邊形的內(nèi)角和加上外角和為n·180°,則外角和等于n·180°-(n-2)×180°=360°已知正多邊形的外角度數(shù),求邊數(shù).已知正多邊形的邊數(shù),求外角度數(shù)知識(shí)詳解n邊形的外角和與邊數(shù)無(wú)關(guān),總是等于360°.正n邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等,則每個(gè)外角都相等,又其外角和為360°,所以正n邊形的每個(gè)外角度數(shù)為711.3

多邊形及其內(nèi)角和例4

(2018北京中考)若正多邊形的一個(gè)外角是60°,則該正多邊形的內(nèi)角和為

(

)A.360°

B.540°

C.720°

D.900°分析

先利用正多邊形的外角和等于360度及已知計(jì)算出正多邊形的邊數(shù),然后根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式計(jì)算.解析

這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為

=6,所以這個(gè)正多邊形的內(nèi)角和為(6-2)×180°=720°.故選C.答案

C811.3

多邊形及其內(nèi)角和題型一 求復(fù)雜幾何圖形的相關(guān)角的和例1

如圖11-3-2所示,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度數(shù).圖11-3-2分析

設(shè)法將這幾個(gè)角的和轉(zhuǎn)化為一個(gè)多邊形的內(nèi)角和,然后利用多邊形內(nèi)角和公式求解.911.3

多邊形及其內(nèi)角和解析

連接BE,設(shè)DE與BC的交點(diǎn)為M,如圖11-3-3.圖11-3-3在△CDM與△BEM中,∠CMD=∠BME,∴∠C+∠D=∠MBE+∠MEB,∴∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠DEF+∠F+∠G=∠A+∠ABC+∠MBE+∠MEB+∠DEF+∠F+∠G=∠A+∠ABE+∠BEF+∠F+∠G=(5-2)×180°=540°.點(diǎn)撥

通過(guò)作輔助線,把∠C與∠D的和轉(zhuǎn)化為∠MBE與∠MEB的和,從而把問(wèn)題變?yōu)榍笪暹呅蔚膬?nèi)角和,運(yùn)用“轉(zhuǎn)化思想”是解決1本0

題的關(guān)鍵.11.3

多邊形及其內(nèi)角和11題型二 用不等式思想解決有關(guān)邊數(shù)及角度的多邊形問(wèn)題例2

一個(gè)多邊形除去一個(gè)內(nèi)角后,其余內(nèi)角之和是2570°.求:(1)這個(gè)多邊形的邊數(shù);(2)除去的那個(gè)內(nèi)角的度數(shù).分析

(1)由已知條件可知這是一個(gè)與多邊形內(nèi)角和有關(guān)的問(wèn)題,由于除去一個(gè)內(nèi)角后,其余內(nèi)角之和為2

570°,故該多邊形的內(nèi)角和比2

570°大,比2570°+180°小.可列出關(guān)于邊數(shù)的不等式組,先確定邊數(shù)的范圍,再求邊數(shù).(2)求出邊數(shù)后,可利用多邊形內(nèi)角和公式得內(nèi)角和,進(jìn)而求出除

去的那個(gè)內(nèi)角的度數(shù).11.3

多邊形及其內(nèi)角和解析

(1)設(shè)多邊形的邊數(shù)為n,則其內(nèi)角和為(n-2)·180°.依題意,得解這個(gè)不等式組,得16

<n<17

.因?yàn)閚是大于或等于3的整數(shù),所以n=17,故這個(gè)多邊形的邊數(shù)為17.(2)除去的那個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為(17-2)×180°-2570°=130°.1211.3

多邊形及其內(nèi)角和邏輯推理在“求凹多邊形內(nèi)角和”中的應(yīng)用素養(yǎng)解讀邏輯推理是指從一些事實(shí)和命題出發(fā),依據(jù)規(guī)則推出其他命題的素養(yǎng).主要包括兩類:一類是從特殊到一般的推理,推理形式主要有歸納、類比;一類是從一般到特殊的推理,推理形式主要有演繹.邏輯推理是得到數(shù)學(xué)結(jié)論、構(gòu)建數(shù)學(xué)體系的重要方式,是數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的基本保證,是人們?cè)跀?shù)學(xué)活動(dòng)中進(jìn)行交流的基本思維品質(zhì).1311.3

多邊形及其內(nèi)角和典例剖析例

(1)如圖11-3-4①,這是一個(gè)五角星ABCDE,你能計(jì)算出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù)嗎?為什么?(必須寫(xiě)推理過(guò)程)如圖11-3-4②,如果點(diǎn)B向右移動(dòng)到AC上,那么還能求出∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E的大小嗎?若能,結(jié)果是多少?如圖11-3-4③,當(dāng)點(diǎn)B向右移動(dòng)到AC的另一側(cè)時(shí),上面的結(jié)論還成立嗎?(4)如圖11-3-4④,當(dāng)點(diǎn)B、E移動(dòng)到∠CAD的內(nèi)部時(shí),結(jié)論又如何?根據(jù)圖

11-3-4④,說(shuō)明你的理由.14圖11-3-411.3

多邊形及其內(nèi)角和15解析

(1)能.如圖11-3-5①,由三角形的外角性質(zhì)得,∠A+∠C=∠1,∠B+∠D=∠2,∵∠1+∠2+∠E=180°,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.能.如圖11-3-5②,由三角形的外角性質(zhì)得,∠A+∠D=∠1,∵∠1+∠DBE+∠C+∠E=180°,∴∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E=180°.成立.如圖11-3-5③,由三角形的外角性質(zhì)得,∠A+∠C=∠1,∠B+∠D=∠2,∵∠1+∠2+∠E=180°,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.11.3

多邊形及其內(nèi)角和圖11-3-5(4)結(jié)論仍成立.如圖11-3-5④,延長(zhǎng)CE與AD相交,由三角形的外角性質(zhì)

得,∠A+∠C=∠1,∠B+∠BEC=∠2,∵∠1+∠2+∠D=180°,∴∠A+∠B+16∠C+∠D+∠BEC=180°.11.3

多邊形及其內(nèi)角和17素養(yǎng)呈現(xiàn)對(duì)于問(wèn)題(1)和(3),利用三角形外角與內(nèi)角的關(guān)系進(jìn)行“聚角”(集中),(1)(3)問(wèn)中,利用“三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和”得到“∠2=∠B+∠D,∠1=∠A+∠C”,而∠1,∠2和∠E在同一個(gè)三角形內(nèi),這樣將位置分散的角集中在一個(gè)圖形內(nèi),然后利用三角形的內(nèi)角和定理求解.對(duì)于問(wèn)題(2),利用“三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和”得到∠1=∠A+∠D.結(jié)合∠1+∠DBE+∠C+∠E=180°,可得∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E=180°,從而使問(wèn)題得解.對(duì)于問(wèn)題(4),在題圖④中,延長(zhǎng)CE與AD相交,然后類比問(wèn)題(1)(2)(3)的解決思路,從而使問(wèn)題得解.由三角形的外角性質(zhì)求凹多邊形的內(nèi)角和的解決思路是利用外角與內(nèi)角的關(guān)系進(jìn)行“聚角”(集中),將位置分散的

角集中在一個(gè)圖形內(nèi),然后利用多邊形的內(nèi)角和公式求解.11.3

多邊形及其內(nèi)角和知識(shí)點(diǎn)一 多邊形及其相關(guān)概念1.下列圖形中,不是多邊形的是

(

)答案

C A中的圖形是四邊形,是多邊形;B中的圖形是五邊形,是多邊形;C中的圖形不是多邊形;D中的圖形是五邊形,是多邊形.1811.3

多邊形及其內(nèi)角和192.(2019湖北武漢硚口期中)若某多邊形從一個(gè)頂點(diǎn)一共可引出4條對(duì)角線,則這個(gè)多邊形是

(

)A.五邊形

B.六邊形

C.七邊形

D.八邊形答案

C

設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n,∵該多邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引出4條對(duì)角線,∴n-3=4,解得n=7,即這個(gè)多邊形是七邊形,故選C.11.3

多邊形及其內(nèi)角和知識(shí)點(diǎn)二 多邊形的分類及正多邊形3.一個(gè)正多邊形的周長(zhǎng)是100,邊長(zhǎng)為10,則該正多邊形的邊數(shù)為

.答案

10解析

∵正多邊形的周長(zhǎng)是100,邊長(zhǎng)為10,∴該正多邊形的邊數(shù)為

=10,故答案為10.知識(shí)點(diǎn)三 多邊形的內(nèi)角和4.(2018云南中考)一個(gè)五邊形的內(nèi)角和為

(

)A.540°

B.450°

C.360°

D.180°答案

A 180°×(5-2)=540°,故選A.2011.3

多邊形及其內(nèi)角和5.(2018江蘇南通中考)若一個(gè)凸多邊形的內(nèi)角和為720°,則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為

(

)A.4

B.5

C.6

D.7答案

C

設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n,

則(n-2)×180°=720°,解得n=6,故選C.知識(shí)點(diǎn)四 多邊形的外角和6.若多邊形的邊數(shù)由3增加到n(n為大于3的整數(shù)),則其外角和的度數(shù)(

)A.增加B.減少C.不變D.不能確定答案選C.C因?yàn)槎噙呅蔚耐饨呛蜑?60°,所以外角和的度數(shù)是不變的.故2111.3

多邊形及其內(nèi)角和7.(2018山西中考)圖11-3-1①是我國(guó)古代建筑中的一種窗格,其中冰裂紋圖案象征著堅(jiān)冰出現(xiàn)裂紋并開(kāi)始消融,形狀無(wú)一定規(guī)則,代表一種自然和諧美.圖11-3-1②是從圖11-3-1①冰裂紋窗格圖案中提取的由五條線段組成的圖形,則∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=

度.①②圖11-3-12211.3

多邊形及其內(nèi)角和23解析

由多邊形的外角和等于360°可知,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°,故答案為360.答案

36011.3

多邊形及其內(nèi)角和1.(2018四川廣安中考)一個(gè)n邊形的每一個(gè)內(nèi)角等于108°,那么n=

答案.

5解析

每個(gè)外角的度數(shù)為180°-108°=72°,則n=

=5,故答案為5.2.(2019甘肅慶陽(yáng)鎮(zhèn)原期中)若多邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等,每個(gè)內(nèi)角與其相鄰?fù)饨堑牟顬?00°,則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為

.答案

9解析

設(shè)每個(gè)內(nèi)角是x°,與其相鄰的外角是y°,則 解得而任何多邊形的外角和是360°,故多邊形的邊數(shù)是360÷40=9,故答案為9.2411.3

多邊形及其內(nèi)角和3.某機(jī)器人編制一段程序,如果機(jī)器人以2cm/s的速度在平地上按照下圖中的步驟行走,那么該機(jī)器人從開(kāi)始到停止所需的時(shí)間為

s.答案

16解析

由題意得,該機(jī)器人所經(jīng)過(guò)的路徑是一個(gè)正多邊形,多邊形的邊數(shù)為

=8,則所走的路程為4×8=32(cm),則所用時(shí)間為32÷2=16(s).故答案為16.2511.3

多邊形及其內(nèi)角和1.將一長(zhǎng)方形紙片沿一條直線剪成兩個(gè)多邊形,那么這兩個(gè)多邊形的內(nèi)角和之和不可能是

(

)A.360°

B.540°

C.720°

D.900°2611.3

多邊形及其內(nèi)角和答案

D

如圖①,將長(zhǎng)方形紙片沿對(duì)角線剪開(kāi),得到兩個(gè)三角形,兩個(gè)多邊形的內(nèi)角和之和為180°+180°=360°;如圖②,將長(zhǎng)方形紙片從一頂點(diǎn)剪向?qū)?得到一個(gè)三角形和一個(gè)四邊形,兩個(gè)多邊形的內(nèi)角和之和為180°+360°=540°;如圖③,將長(zhǎng)方形紙片沿一組對(duì)邊剪開(kāi),得到兩個(gè)四邊形,兩個(gè)多邊形的內(nèi)角和之和為360°+360°=720°;如圖④將長(zhǎng)方形紙片沿一組鄰邊剪開(kāi),得到一個(gè)三角形和一個(gè)五邊形,兩個(gè)多邊形的內(nèi)角和之和為180°+540°=720°.故選D.2711.3

多邊形及其內(nèi)角和2.小范將幾塊六邊形紙片分別剪掉了一部分(虛線部分),得到了一個(gè)新多邊形.若新多邊形的內(nèi)角和是其外角和的2倍,則對(duì)應(yīng)的圖形是

()答案

B

設(shè)新多邊形的邊數(shù)是n,則(n-2)·180°=720°,解得n=6,故選B.2811.3

多邊形及其內(nèi)角和3.如圖11-3-2,七邊形ABCDEFG中,AB,ED的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)O,若∠1,∠2,∠3,∠4相鄰的外角的和等于210°,則∠BOD的度數(shù)為

(

)A.30°B.35°C.40°圖11-3-2D.45°2911.3

多邊形及其內(nèi)角和30答案

A

∵∠1、∠2、∠3、∠4相鄰的外角的和為210°,∴∠1+∠2+∠3+∠4+210°=4×180°,∴∠1+∠2+∠3+∠4=510°,∵五邊形OAGFE的內(nèi)角和為(5-2)×180°=540°,∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠BOD=540°,∴∠BOD=540°-510°=30°,故選A.11.3

多邊形及其內(nèi)角和(2019北京八中月考)小明同學(xué)在用計(jì)算器計(jì)算某n邊形的內(nèi)角和時(shí),不小心多輸入一個(gè)內(nèi)角,得到和為2016°,則n等于

(

)A.11

B.12

C.13

D.14答案

C

設(shè)這個(gè)內(nèi)角度數(shù)為x°,則(n-2)×180+x=2

016,即180·n=2

376-x,∵n為正整數(shù),且0<x<180,∴n=13,即多邊形的邊數(shù)是13.故選C.3111.3

多邊形及其內(nèi)角和一、選擇題1.(2019內(nèi)蒙古巴彥淖爾期末,5,★★☆)一個(gè)多邊形的邊數(shù)增加1,則內(nèi)角和與外角和增加的度數(shù)之和是

(

)A.60°

B.90°

C.180°

D.360°答案 C 由多邊形的內(nèi)角和公式可知,一個(gè)多邊形邊數(shù)增加1,則這個(gè)多邊形內(nèi)角和增加180°;由任意多邊形的外角和是360°可知,外角和增加0°,則內(nèi)角和與外角和增加的度數(shù)之和是180°.故選C.3211.3

多邊形及其內(nèi)角和2.(2019湖北荊門(mén)沙洋期中,5,★★☆)一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為540°,則它的對(duì)角線共有

(

)A.3條

B.5條

C.6條

D.12條答案

B

設(shè)該多邊形的邊數(shù)為n,∴(n-2)·180°=540°,解得n=5,∴這個(gè)多邊形共有×5×(5-3)=5條對(duì)角線.故選B.3311.3

多邊形及其內(nèi)角和343.(2019山東濟(jì)寧微山期中,5,★★☆)一個(gè)正多邊形的一個(gè)內(nèi)角是它相鄰?fù)饨堑?倍,則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是

(

)A.12

B.10

C.8

D.6答案

A

設(shè)這個(gè)正多邊形的每個(gè)外角為x°,由題意得x+5x=180,解得x=30,360°÷30°=12.故選A.11.3

多邊形及其內(nèi)角和二、填空題4.(2019吉林白城期中,9,★★☆)如圖11-3-3,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=

.圖11-3-33511.3

多邊形及其內(nèi)角和答案

540°解析

如圖.∵∠6+∠7=∠8+∠9,∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠8+∠9=(5-2)×180°=540°,故答案為540°.3611.3

多邊形及其內(nèi)角和375.(2018山東濱州期末,18,★★★)一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后,形成新多邊形的內(nèi)角和為2520°,則原多邊形的邊數(shù)為

.答案

15或16或17解析

設(shè)新多邊形的邊數(shù)是n,則(n-2)·180°=2

520°,解得n=16,∵截去一個(gè)角后的多邊形與原多邊形的邊數(shù)可以相等,也可以多1或少1,∴原多邊形的邊數(shù)是15或16或17.11.3

多邊形及其內(nèi)角和三、解答題6.(2019四川綿陽(yáng)期中,23,★★☆)如圖11-3-4,在六邊形ABCDEF中,AF∥CD,AB∥DE,且∠BAF=100°,∠BCD=120°,求∠ABC和∠D的度數(shù).(6分)圖11-3-43811.3

多邊形及其內(nèi)角和解析

連接AD,∵AF∥CD,AB∥DE,∴∠FAD=∠ADC,∠BAD=∠ADE,∴∠BAF=∠CDE=100°.∵∠ABC+∠DCB+∠BAD+∠ADC=360°,∠FAB=∠FAD+∠BAD=∠ADC+∠BAD=100°,∴∠ABC=360°-120°-100°=140°.3911.3

多邊形及其內(nèi)角和1.(2019吉林延邊安圖月考,5,★★☆)如圖,在六邊形ABCDEF中,若∠A+∠B+∠C+∠D=500°,∠DEF與∠AFE的平分線交于點(diǎn)G,則∠G等于(

)A.55°B.65°C.70°D.80°4011.3

多邊形及其內(nèi)角和答案

C

六邊形ABCDEF的內(nèi)角和為(6-2)×180°=4×180°=720°,∵∠A+∠B+∠C+∠D=500°,∴∠DEF+∠AFE=720°-500°=220°,∵EG平分∠DEF,FG平分∠AFE,∴∠GEF+∠GFE=

(∠DEF+∠AFE)=

×220°=110°,∴∠G=180°-110°=70°.故選C.4111.3

多邊形及其內(nèi)角和2.(2018遼寧撫順新賓期中,16,★★☆)如圖,四邊形ABCD中,點(diǎn)M、N分別在AB、BC上,將△BMN沿MN翻折,得△FMN,若MF∥AD,FN∥DC,則∠D的度數(shù)為

°.答案

954211.3

多邊形及其內(nèi)角和43解析

∵M(jìn)F∥AD,FN∥DC,∠A=100°,∠C=70°,∴∠BMF=100°,∠FNB=70°,∵將△BMN沿MN翻折,得△FMN,∴∠FMN=∠BMN=50°,∠FNM=∠MNB=35°,∴∠F=∠B=180°-50°-35°=95°,∴∠D=360°-100°-70°-95°=95°.故答案為95.11.3

多邊形及其內(nèi)角和一、選擇題1.(2018貴州銅仁中考,7,★☆☆)如果一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的3倍,則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是

(

)A.8

B.9

C.10

D.11答案

A

多邊形的外角和是360°,設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n,根據(jù)題意得180°·(n-2)=3×360°,解得n=8.故選A.4411.3

多邊形及其內(nèi)角和2.(2018山東濟(jì)寧中考,8,★★☆)如圖11-3-5,在五邊形ABCDE中,∠A+∠B+∠E=300°,DP、CP分別平分∠EDC、∠BCD,則∠P的度數(shù)是

()A.50°B.55°C.60°圖11-3-5D.65°4511.3

多邊形及其內(nèi)角和46答案

C

∵在五邊形ABCDE中,∠A+∠B+∠E=300°,五邊形的內(nèi)角和為(5-2)×180°=540°,∴∠EDC+∠BCD=240°,又∵DP、CP分別平分∠EDC、∠BCD,∴∠PDC+∠PCD=120°,∴∠P=180°-(∠PDC+∠PCD)=180°-120°=60°.故選C.11.3

多邊形及其內(nèi)角和47二、填空題3.(2018上海中考,16,★★☆)通過(guò)畫(huà)出多邊形的對(duì)角線,可以把多邊形內(nèi)角和問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形內(nèi)角和問(wèn)題.如果從某個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線共有2條,那么該多邊形的內(nèi)角和是

度.答案540解析從多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線共有2條,則將多邊形分割為3個(gè)三角形.所以該多邊形的內(nèi)角和是3×180°=540°.故答案為540.11.3

多邊形及其內(nèi)角和4.(2018湖南邵陽(yáng)中考,14,★★☆)如圖11-3-6所示,在四邊形ABCD中,AD⊥AB,∠C=110°,它的一個(gè)外角∠ADE=60°,則∠B的大小是

.圖11-3-6答案

40°4811.3

多邊形及其內(nèi)角和49解析

∵∠ADE=60°,∴∠ADC=120°,∵AD⊥AB,∴∠DAB=90°,∴∠B=360°-∠C-∠ADC-∠A=40°,故答案為40°.11.3

多邊形及其內(nèi)角和505.(2018山東聊城中考,14,★★★)如果一個(gè)正方形被截掉一個(gè)角后,得到一個(gè)多邊形,那么這個(gè)多邊形的內(nèi)角和是

.答案

540°或360°或180°解析

一個(gè)正方形截掉一個(gè)角后,所得新多邊形的邊數(shù)可能增加1,可能不變,也可能減少1.邊數(shù)增加1時(shí),新多邊形的內(nèi)角和是(4+1-2)×180°=540°;邊數(shù)不變時(shí),新多邊形的內(nèi)角和是(4-2)×180°=360°;邊數(shù)減少1時(shí),新多邊形的內(nèi)角和是(4-1-2)×180°=180°,因而所成的新多邊形的內(nèi)角和是540°或360°或180°.11.3

多邊形及其內(nèi)角和51三、解答題6.已知n邊形的內(nèi)角和θ=(n-2)×180°.(9分)甲同學(xué)說(shuō):“θ能取360°,”而乙同學(xué)說(shuō):“θ也能取630°.”甲、乙的說(shuō)法對(duì)嗎?若對(duì),求出邊數(shù)n;若不對(duì),說(shuō)明理由;若n邊形變?yōu)?n+x)邊形,發(fā)現(xiàn)內(nèi)角和增加了360°,用列方程的方法確定x.11.3

多邊形及其內(nèi)角和解析

(1)甲對(duì),乙不對(duì).∵θ=360°,∴(n-2)×180=360.解得n=4.∵θ=630°,∴(n-2)×180=630,解得n=

.∵n為整數(shù),∴θ不能取630°.(2)依題意,得(n-2)×180+360=(n+x-2)×180,解得x=2.5211.3

多邊形及其內(nèi)角和1.(2017湖北宜昌中考,10,★☆☆)如圖,將一張四邊形紙片沿直線剪開(kāi),如果剪開(kāi)后的兩個(gè)圖形的內(nèi)角和相等,下列四種剪法中,符合要求的是(

)A.①②B.①③C.②④圖11-3-2D.③④5311.3

多邊形及其內(nèi)角和54答案

B

∵①剪開(kāi)后的兩個(gè)圖形是四邊形,它們的內(nèi)角和都是360°,③剪開(kāi)后的兩個(gè)圖形是三角形,它們的內(nèi)角和都是180°,∴①③剪開(kāi)后的兩個(gè)圖形的內(nèi)角和相等,故選B.2.(2017新疆烏魯木齊中考,5,★☆☆)如果n邊形每一個(gè)內(nèi)角等于與它相鄰?fù)饨堑?倍,則n的值是

(

)A.4

B.5

C.6

D.7答案

C

設(shè)正n邊形外角度數(shù)為x,則與它相鄰的內(nèi)角度數(shù)為2x,由題意得2x+x=180°,解得x=60°,所以n=360÷60=6,故選C.11.3

多邊形及其內(nèi)角和3.(2017山東萊蕪中考,7,★★☆)一個(gè)多邊形的內(nèi)角和比其外角和的2倍多180°,則該多邊形的對(duì)角線的條數(shù)是

(

)A.12

B.13

C.14

D.15答案

C

根據(jù)題意,得(n-2)·180°=360°×2+180°,解得n=7.則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是7,七邊形的對(duì)角線條數(shù)為=14,故選C.5511.3

多邊形及其內(nèi)角和4.如圖,五邊形ABCDE中,AB∥CD,∠1、∠2、∠3分別是∠BAE、∠AED、∠EDC的外角,則∠1+∠2+∠3=

(

)A.90°B.180°C.120°D.270°5611.3

多邊形及其內(nèi)角和答案

B

如圖,分別延長(zhǎng)線段AB,DC,∵AB∥CD,∴∠4+∠5=180°,∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°,∴∠1+∠2+∠3=180°.故選B.5711.3

多邊形及其內(nèi)角和1.(1)如圖11-3-7①②,試探究∠1、∠2與∠3、∠4之間的數(shù)量關(guān)系;(2)請(qǐng)你用文字語(yǔ)言描述(1)中的關(guān)系;(3)用你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論解決下列問(wèn)題:如圖11-3-7?,AE、DE分別平分四邊形ABCD的外角∠NAD、∠MDA,∠B+∠C=240°,求∠E的度數(shù).圖11-3-75811.3

多邊形及其內(nèi)角和解析

(1)∵∠3、∠4、∠5、∠6是四邊形的四個(gè)內(nèi)角,∴∠3+∠4+∠5+∠6=360°,∴∠3+∠4=360°-(∠5+∠6),∵∠1+∠5=180°,∠2+∠6=180°,∴∠1+∠2=360°-(∠5+∠6),∴∠1+∠2=∠3+∠4.(2)四邊形的任意兩個(gè)外角的和等于與它們不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.(3)∵∠B+∠C=240°,∴∠MDA+∠NAD=240°,∵AE、DE分別平分∠NAD、∠MDA,∴∠DAE=

∠NAD,∠ADE=

∠MDA,∴∠ADE+∠DAE=

(∠MDA+∠NAD)=

×240°=120°,∴∠E=180°-(∠ADE+∠DAE)=180°-120°=60°.5911.3

多邊形及其內(nèi)角和2.(獨(dú)家原創(chuàng)試題)李華學(xué)習(xí)了人教版八上第十一章第3節(jié)“多邊形及其內(nèi)角和”后,對(duì)幾何學(xué)習(xí)產(chǎn)生了濃厚的興趣,人教版八上課本第29頁(yè)第11題如下:如圖11-3-8,△ABC的∠ABC和∠ACB的平分線BE,CF相交于點(diǎn)G.求證:(1)∠BGC=180°-

(∠ABC+∠ACB);(2)∠BGC=90°+

∠A.圖11-3-86011.3

多邊形及其內(nèi)角和李華發(fā)現(xiàn)這個(gè)題目其實(shí)是解決“三角形的一個(gè)內(nèi)角與另兩個(gè)內(nèi)角的平分線所夾的鈍角之間有何種關(guān)系”這個(gè)問(wèn)題,他把這個(gè)問(wèn)題改編如下:問(wèn)題1:若將△ABC改為任意四邊形ABCD呢?已知:如圖11-3-9?,在四邊形ABCD中,DP、CP分別平分∠ADC和∠BCD,請(qǐng)你利用上述結(jié)論探究∠P與∠A+∠B的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由;問(wèn)題2:若將上題中的四邊形ABCD改為六邊形ABCDEF呢?如圖11-3-9②所示,請(qǐng)你利用上述結(jié)論探究∠P與∠A+∠B+∠E+∠F的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.圖11-3-96111.3

多邊形及其內(nèi)角和∠BCD=180°-(∠ADC+解析

問(wèn)題1:∠P=

(∠A+∠B).理由:∵DP、CP分別平分∠ADC和∠BCD,∴∠PDC=

∠ADC,∠PCD=

∠BCD,∴∠P=180°-∠PDC-∠PCD=180°-

∠ADC-∠BCD)=180°- (360°-∠A-∠B)=

(∠A+∠B).問(wèn)題2:∠P= (∠A+∠B+∠E+∠F)-180°.理由:六邊形ABCDEF的內(nèi)角和為(6-2)×180°=720