福建省將樂縣重點中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

將樂重點中學(xué)2023—2024學(xué)年高二上第三次月考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（

）在等差數(shù)列中，，則A．5B．6C．8D．92.（

）已知兩條直線，，若，則a＝A．1 B．1或2 C．3 D．1或33．（

）直線經(jīng)過圓的圓心，且傾斜角為，則直線的方程為：A． B．C． D．4．（

）若數(shù)列滿足，且，則：A． B． C． D．5.（

）與雙曲線有相同的焦點，且短半軸長為的橢圓方程是：A.B.C.D.6．（

）如圖，設(shè)拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，過點的直線交拋物線于兩點，交于點，且是的中點，則：

A．2 B．C．5D．7.（

）若為圓上任意兩點，為直線上一個動點，則的最大值是：A.B.C.D.8．（

）定義“等方差數(shù)列”：如果一個數(shù)列從第二項起，每一項的平方與它的前一項的平方的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫作等方差數(shù)列，這個常數(shù)叫作該數(shù)列的方公差．設(shè)是由正數(shù)組成的等方差數(shù)列，且方公差為4，，則數(shù)列的前24項和為：A．B．3C．D．6二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的．全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分．9．（

）已知空間中三點，，，則下列說法不正確的是A．與是共線向量B．與同向的單位向量是C．與夾角的余弦值是D．平面的一個法向量是10.（

）已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，a9＋a10＋a11>0，a9＋a12<0，則下列選項正確的有A.數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列B.當(dāng)n＝10時，Sn最大C.S19·S20<0D.S20·S21<011.（

）已知正方體的棱長為為的中點，為平面內(nèi)一動點，則下列命題正確的有A.若，則的中點的軌跡所圍成圖形的面積為B.若與平面所成的角為，則的軌跡為圓C.若到直線與直線的距離相等，則的軌跡為拋物線D.若與所成的角為，則的軌跡為雙曲線12.（

）已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a>b>0))的離心率為eq\f(3,4)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個焦點，P為橢圓C上的動點，△F1PF2的周長為14，則下列選項正確的有A.橢圓C的方程為eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,7)＝1B.eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))≤16C.△F1PF2內(nèi)切圓的面積S的最大值為πD.cos∠F1PF2≥－eq\f(1,8)三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知拋物線的方程是，則它的焦點坐標(biāo)為____________.14．等差數(shù)列的前項和為，若，，則.15．如圖，在棱長為1的正方體中，E為線段的中點，則點C到平面的距離等于.16．已知橢圓：與圓：，若在橢圓上不存在點P，使得由點P所作的圓的兩條切線互相垂直，則橢圓的離心率的取值范圍是________.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.(本小題滿分10分)已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，若a8＝6，S21＝0.(1)求數(shù)列{an}的通項公式an與Sn；(2)求數(shù)列的前50項和T50.18．(本小題滿分12分)已知直線恒過定點，圓經(jīng)過點和點，且圓心在直線上.(1)求定點的坐標(biāo)與圓的方程；(2)過的直線被圓截得的弦長為8，求直線方程.19.(本小題滿分12分)已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，且軸時，.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）若直線與拋物線交于兩點，求的面積.20．(本小題滿分12分)如圖，在四棱錐中，底面，四邊形是直角梯形，，，，點E在棱PB上．

(1)證明：平面平面PBC；(2)當(dāng)時，求二面角的余弦值．21．(本小題滿分12分)已知數(shù)列的前n項和為，且有，數(shù)列滿足，且，前9項和為153.(1)求數(shù)列，的通項公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前n項和為，求使不等式對一切都成立的最大正整數(shù)k的值.22.(本小題滿分12分)已知一動圓與圓E：(x＋3)2＋y2＝18外切，與圓F：(x－3)2＋y2＝2內(nèi)切，該動圓的圓心的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程．(2)已知點P在曲線C上，斜率為k的直線l與曲線C交于A，B兩點(異于點P)，記直線PA和直線PB的斜率分別為k1，k2，從下面①、②、③中選取兩個作為已知條件，證明另外一個成立．①Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，1))；②k1＋k2＝0；③k＝－eq\f(1,2).注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分．參考答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（

）在等差數(shù)列中，，則A．5B．6C．8D．9【答案】A【分析】直接利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可【詳解】因為是和的等差中項，所以，即，.故選：A2.（

）已知兩條直線，，若，則a＝A．1 B．1或2 C．3 D．1或3【答案】C【解析】∵，∴或故選：C3．（

）直線經(jīng)過圓的圓心，且傾斜角為，則直線的方程為：A． B．C． D．【答案】A【分析】將圓的方程整理為標(biāo)準(zhǔn)方程可得圓心坐標(biāo)，由傾斜角和斜率關(guān)系求得直線斜率，由直線點斜式方程整理得到結(jié)果.【詳解】整理圓的方程可得：，圓心，傾斜角為，其斜率，方程為：，即.故選：A.4．（

）若數(shù)列滿足，且，則：A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)題干中的遞推公式進(jìn)行逐項代入，即可判別出數(shù)列為周期數(shù)列，再根據(jù)周期數(shù)列的性質(zhì)即可計算出的值．【詳解】數(shù)列滿足，且，，，，，則數(shù)列是以4為最小正周期的周期數(shù)列，即，∴.故選：B5.（

）與雙曲線有相同的焦點，且短半軸長為的橢圓方程是：A.B.C.D.5.【答案】D【詳解】依題橢圓的焦點（即：雙曲線的焦點）為，所以可設(shè)橢圓方程為：∴依題得：∴橢圓方程為：故選：D6．（

）如圖，設(shè)拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，過點的直線交拋物線于兩點，交于點，且是的中點，則：

A．2 B．C．5D．【答案】D【分析】由題意作出垂直于準(zhǔn)線，然后得，得，寫出直線方程，聯(lián)立方程組，得關(guān)于的一元二次方程，寫出韋達(dá)定理，代入焦點弦公式計算.【解析】如圖，過點作垂直于準(zhǔn)線，由拋物線定義得.因為是的中點，所以，所以，焦點，則直線的方程為，聯(lián)立消去得.設(shè)，所以，得，故選：D.7.（

）若為圓上任意兩點，為直線上一個動點，則的最大值是：A.B.C.D.【答案】B【分析】由圖上易知，當(dāng)不動時，為兩切線角最大，再將的最值問題轉(zhuǎn)化為的最值問題可求.【詳解】如圖，為兩切線，為直線上一個點，所以當(dāng)為兩切線是取等號；又，故只需求，，又，故選：B8．（

）定義“等方差數(shù)列”：如果一個數(shù)列從第二項起，每一項的平方與它的前一項的平方的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫作等方差數(shù)列，這個常數(shù)叫作該數(shù)列的方公差．設(shè)是由正數(shù)組成的等方差數(shù)列，且方公差為4，，則數(shù)列的前24項和為：A． B．3 C． D．6【答案】C【分析】根據(jù)等方差數(shù)列的定義，結(jié)合等差數(shù)列的通項公式，運用裂項相消法進(jìn)行求解即可.【詳解】因為是方公差為4的等方差數(shù)列，所以，，∴，∴，∴，故選：C．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的．全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分．9．（

）已知空間中三點，，，則下列說法不正確的是A．與是共線向量B．與同向的單位向量是C．與夾角的余弦值是D．平面的一個法向量是【答案】AC【分析】由給定條件求出，的坐標(biāo)，借助向量共線的坐標(biāo)表示即可判斷A，B，再求出的坐標(biāo)，用向量夾角公式計算可判斷C，最后求出平面的一個法向量判斷D而得解.【詳解】依題意，不存在實數(shù)，使得成立，即與不共線，A不正確；與同方向的單位向量是，B正確；，則與夾角的余弦值是，C不正確；設(shè)平面的一個法向量，則，令，則，即，D正確.故選：AC10.（

）已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，a9＋a10＋a11>0，a9＋a12<0，則下列選項正確的有A.數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列B.當(dāng)n＝10時，Sn最大C.S19·S20<0D.S20·S21<0【答案】BC【解析】設(shè){an}的公差為d.因為a9＋a10＋a11＝3a10>0，所以a10>0.又a9＋a12＝a10＋a11<0，所以a11＝a10＋d<0，故d<0，所以A錯誤；因為d<0，所以a1>a2>a3>a4>a5>a6>a7>a8>a9>a10>0>a11>…>an，所以當(dāng)n＝10時，Sn最大，所以B正確；因為S19＝eq\f(19（a1＋a19）,2)＝eq\f(19×2a10,2)>0，S20＝eq\f(20（a1＋a20）,2)＝eq\f(20（a10＋a11）,2)<0，S21＝eq\f(21（a1＋a21）,2)＝eq\f(21×2a11,2)<0，所以C正確，D錯誤．11.（

）已知正方體的棱長為為的中點，為平面內(nèi)一動點，則下列命題正確的有A.若，則的中點的軌跡所圍成圖形的面積為B.若與平面所成的角為，則的軌跡為圓C.若到直線與直線的距離相等，則的軌跡為拋物線D.若與所成的角為，則的軌跡為雙曲線【答案】BCD【分析】設(shè)MN中點為H，DM中點為Q，連接PQ，計算出PQ可知P的軌跡為圓可判斷A；根據(jù)已知算出DN，可判斷B；根據(jù)拋物線定義可判斷C；以DA?DC?所在直線分別為x軸?y軸?z軸，利用向量的夾角公式計算可判斷D.【詳解】對于A，設(shè)MN中點為H，DM中點為Q，連接HQ，則，且，如圖，若，則所以，，則，所以點H的軌跡是以Q為圓心，半徑為的圓，面積，故A錯誤；對于B，，，則，所以N的軌跡是以D為圓心，半徑為的圓，故B正確；對于C，點N到直線的距離為BN，所以點N到定點B和直線DC的距離相等，且B點不在直線DC上，由拋物線定義可知，N的軌跡是拋物線，故C正確；對于D，如圖，以DA?DC?所在直線分別為x軸?y軸?z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，，所以，，，化簡得，即，所以的軌跡為雙曲線，故D正確；故選：BCD.12.（

）已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a>b>0))的離心率為eq\f(3,4)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個焦點，P為橢圓C上的動點，△F1PF2的周長為14，則下列選項正確的有A.橢圓C的方程為eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,7)＝1B.eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))≤16C.△F1PF2內(nèi)切圓的面積S的最大值為πD.cos∠F1PF2≥－eq\f(1,8)【答案】ABD【解析】設(shè)焦距為2c，由題意，得eq\f(c,a)＝eq\f(3,4)，△F1PF2的周長為eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))＝2a＋2c＝14，解得a＝4，c＝3.又a2＝b2＋c2，所以b＝eq\r(7)，故橢圓C的方程為eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,7)＝1，所以A正確；因為eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))＝2a＝8，所以8＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))≥2eq\r(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))·\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2)))，當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|＝|PF2|＝4時等號成立，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))≤16，所以B正確；設(shè)△F1PF2內(nèi)切圓的半徑為r，則S△F1PF2＝eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(yp))＝eq\f(1,2)req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))＋\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))＋\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))))，所以r＝eq\f(3\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(yp)),7).又eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(yp))≤eq\r(7)，所以r≤eq\f(3\r(7),7)，所以S≤eq\f(9π,7)，所以C錯誤；因為cos∠F1PF2＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))\s\up12(2)＋\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))\s\up12(2)－\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))\s\up12(2),2\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))·\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2)))＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))＋\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))))\s\up12(2)－2\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))·\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))－\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))\s\up12(2),2\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))·\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2)))＝－1＋eq\f(14,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))·\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))).又eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))≤16，所以－1＋eq\f(14,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))·\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2)))≥－eq\f(1,8)，所以D正確．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知拋物線的方程是，則它的焦點坐標(biāo)為____________.【答案】【詳解】拋物線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形：的∴其焦點坐標(biāo)為.14．等差數(shù)列的前項和為，若，，則.【答案】30【詳解】因為為等差數(shù)列的前n項和，且，，所以成等差數(shù)列，而，∴∴.15．如圖，在棱長為1的正方體中，E為線段的中點，則點C到平面的距離等于.【答案】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求點到平面的距離.【解析】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，設(shè)平面的一個法向量為，，即，取，又，所以點到面的距離，故答案為：.16．已知橢圓：與圓：，若在橢圓上不存在點P，使得由點P所作的圓的兩條切線互相垂直，則橢圓的離心率的取值范圍是________.【答案】【分析】設(shè)過點的兩條直線與圓分別切于點，由兩條切線相互垂直，可知，由題知，解得，又即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)過的兩條直線與圓分別切于點，由兩條切線相互垂直，知：，又在橢圓C1上不存在點P，使得由P所作的圓C2的兩條切線互相垂直，所以，即得，所以，所以橢圓C1的離心率，又，所以.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.(本小題滿分10分)已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，若a8＝6，S21＝0.(1)求數(shù)列{an}的通項公式an與Sn；(2)求數(shù)列的前50項和T50.17.解：(1)設(shè)數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d.由S21＝21a1＋eq\f(21×20,2)d＝0，……………….………………1分得a1＋10d＝0又a8＝a1＋7d＝6，……………….………………2分所以d＝－2，a1＝20，………………3分所以an＝20＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－1))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2))＝－2n＋22.…………………4分Sn=……5分(2)由an＝－2n＋22≥0，解得n≤11，所以數(shù)列eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(an))＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an，n≤11，,－an，n>11，))………………6分故T50＝a1＋a2＋…＋a11－a12－a13－…－a50………………7分＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋…＋a11＋a12＋a13＋…＋a50))＋2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋…＋a11))＝－S50＋2S11…………………9分＝＝1450＋220＝1670.………………………10分18．(本小題滿分12分)已知直線恒過定點，圓經(jīng)過點和點，且圓心在直線上.(1)求定點的坐標(biāo)與圓的方程；(2)過的直線被圓截得的弦長為8，求直線方程.【答案】(1)，(2)或【分析】（1）直線變形為，列出方程組，求出定點的坐標(biāo)，設(shè)出圓心坐標(biāo)，根據(jù)半徑相等列出方程，求出，從而確定圓心和半徑，寫出圓的方程；（2）分直線斜率不存在和斜率存在兩種情況，結(jié)合垂徑定理，求出直線方程.【詳解】（1）變形為，令，解得：，故定點的坐標(biāo)為，………………2分由圓心在直線上可設(shè)圓心坐標(biāo)為，……………3分則，即，………………4分解得：，………………5分故圓心坐標(biāo)為，半徑為，故圓的方程為；………………6分（2）當(dāng)直線斜率不存在時，直線為，此時圓心到的距離為，由垂徑定理得：弦長為，滿足要求，……7分當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線為，圓心到直線即距離為，…8分由垂徑定理得：，…………………10分解得：，………………11分故直線方程為：即綜上：直線方程為或…………12分19.(本小題滿分12分)已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，且軸時，.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）若直線與拋物線交于兩點，求的面積.19（1）解：當(dāng)軸時，，所以………………3分故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為………………4分（2）解：設(shè)，，由（1）可知.………………5分由，消去得，………………6分則，，………………7分所以，………………8分又，，所以，………………9分故…………………10分因為點到直線的距離，………………11分所以的面積為…………12分20．(本小題滿分12分)如圖，在四棱錐中，底面，四邊形是直角梯形，，，，點E在棱PB上．

(1)證明：平面平面PBC；(2)當(dāng)時，求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由線面垂直得到線線垂直，求出各邊長，由勾股定理逆定理得到，從而證明出線面垂直，面面垂直；（2）解法一：以C為原點，CB，CA，CP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建系，寫出點的坐標(biāo)及平面的法向量，求出二面角的余弦值；解法二：取AB的中點G，連接CG，以點C為原點，CG，CD，CP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建系，寫出點的坐標(biāo)及平面的法向量，求出二面角的余弦值；【解析】（1）因為底面，平面，所以．………………1分因為，，所以．所以，所以…………3分又因為，平面PBC，平面PBC，所以平面PBC．………………4分又平面EAC，所以平面平面PBC．………5分（2）解法一：以點C為原點，CB，CA，CP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，．……6分

設(shè)點E的坐標(biāo)為，因為，所以，即，，，所以．……………7分所以，．設(shè)平面ACE的一個法向量為，則．所以，………………8分取，則，．所以平面ACE的一個法向量為．……………9分又因為平面PAC，所以平面PAC的一個法向量為．………………10分設(shè)平面PAC與平面ACE的夾角為，則．所以，平面PAC與平面ACE夾角的余弦值為．……12分解法二：取AB的中點G，連接CG，以點C為原點，CG，CD，CP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，．………6分

設(shè)點E的坐標(biāo)為，因為，所以，即，，，所以．………………7分所以，．設(shè)平面ACE的一個法向量為，則．所以，………………8分取，則，．所以，平面ACE的一個法向量為．………9分又因為平面PAC，所以平面PAC的一個法向量為．………………10分設(shè)平面PAC與平面ACE的夾角為，則．所以，平面PAC與平面ACE夾角的余弦值為……12分21．(本小題滿分12分)已知數(shù)列的前n項和為，且有，數(shù)列滿足，且，前9項和為153.(1)求數(shù)列，的通項公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前n項和為，求使不等式對一切都成立的最大正整數(shù)k的值.【答案】(1)，(2)8【分析】（1）根據(jù)計算出的通項公式，再判斷出為等差數(shù)列，根據(jù)，前9項和，得到公差，求出通項公式；（2）裂項求和得到，由得到單調(diào)遞增，故，進(jìn)而得到不等式，求出的最大正整數(shù)k的值.【詳解】（1），故當(dāng)時，；當(dāng)時，，滿足上式，.………………2分（沒有驗證n=1,扣1分）又，∴，數(shù)列為等差數(shù)列，令其前n項和為，∴，∵，∴，∴公差，……………4分…………5分（2）由（1）知：，故，………………7分.………………9分又，單調(diào)遞增，故.…………11分由題意可知；得：，∴最大正整數(shù)k的值為8…………12分22.(本小題滿分12分)已知一動圓與圓E：(x＋3)2＋y2＝18外切，與圓F：(x－3)2＋y2＝2內(nèi)切，該動圓的圓心的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程．(2)已知點P在曲線C上，斜率為k的直線l與曲線C交于A，B兩點(異于點P)，記直線PA和直線PB的斜率分別為k1，k2，從下面①、②、③中選取兩個作為已知條件，證明另外一個成立．①Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，1))；②k1＋k2＝0；③k＝－eq\f(1,2).注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分．【詳解】(1)設(shè)動圓的圓心為Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，y))，半徑為r，則eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ME))＝r＋3eq\r(2)，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MF))＝r－eq\r(2)，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ME))－eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MF))＝4eq\r(2)<eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(EF))＝6.……………2分由雙曲線定義可知，M的軌跡是以E，F(xiàn)為焦點，實軸長為4eq\r(2)的雙曲線的右支，所以2a＝4eq\r(2)，2c＝6，即a＝2eq\r(2)，c＝3，所以b2＝c2－a2＝1，所以曲線C的方程為eq\f(x2,8)－y2＝1，x≥2eq\r(2).…………………4分(沒有注明范圍扣1分)(2)選擇①②?③：設(shè)直線l：y＝kx＋m，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1，y1))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2，y2))，聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,8)－y2＝1，))得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－8k2))x2－16mkx－8m2－8＝0，…………………5分所以x1＋x2＝－eq\f(16mk,8k2－1)，x1x2＝eq\f(8m2＋8,8k2－1).……………………6分因為P(4，1)，k1＋k2＝0，所以eq\f(y2－1,x2－4)＋eq\f(y1－1,x1－4)＝0，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1－4))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kx2＋m－1))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－4))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kx1＋m－1))＝0，………7分即2kx1x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－1－4k))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋x2))－8eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－1))＝0，所以2k×eq\f(8m2＋8,8k2－1)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－1－4k))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(16mk,8k2－1)))－8eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－1))＝0，………………8分化簡得8k2＋2k－1＋meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2k＋1))＝0，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2k＋1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4k－1＋m))＝0，所以k＝－eq\f(1,2)或m＝1－4k.…………………10分當(dāng)m＝1－4k時，直線l：y＝kx＋m＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－4))＋1過點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，1))，與題意不符，舍去，故k＝－eq\f(1,2)，所以③成立.……………………12分選擇①③?②：設(shè)直線l：y＝－eq\f(1,2)x＋m，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1，y1))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2，y2))，聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(1,2)x＋m，,\f(x2,8)－y2＝1，))得x2－8mx＋8m2＋8＝0，……………5分所以x1＋x2＝8m，x1x2＝8m2＋8，…………6分所以k1＋k2＝eq\f(y2－1,x2－4)＋eq\f(y1－1,x1－4)………………