高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)強(qiáng)化練10：空間幾何體

強(qiáng)化練10空間幾何體一、單項(xiàng)選擇題1．(2023·唐山模擬)若圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，則球的表面積與圓柱的側(cè)面積的比為()A．1∶1B．1∶2C．2∶1D．2∶32．(2023·錦州模擬)已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為4，P，Q是棱DD1的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則三棱錐Q－PBC的體積為()A.eq\f(8,3)B.eq\f(32,9)C.eq\f(16,9)D.eq\f(16,3)3.(2023·泉州模擬)如圖是底面半徑為3的圓錐，將其放倒在一平面上，使圓錐在此平面內(nèi)繞圓錐頂點(diǎn)O滾動(dòng)，當(dāng)這個(gè)圓錐在平面內(nèi)轉(zhuǎn)回原位置時(shí)，圓錐本身恰好滾動(dòng)了3周，則該圓錐的表面積為()A．36πB．27πC．18eq\r(2)πD．9π4．(2023·長(zhǎng)沙模擬)最早的測(cè)雨器記載見(jiàn)于南宋數(shù)學(xué)家秦九韶所著的《數(shù)書(shū)九章》(1247年)．該書(shū)第二章為“天時(shí)類(lèi)”，收錄了有關(guān)降水量計(jì)算的四個(gè)例子，分別是“天池測(cè)雨”“圓罌測(cè)雨”“峻積驗(yàn)雪”和“竹器驗(yàn)雪”.其中“天池測(cè)雨”法是下雨時(shí)用一個(gè)圓臺(tái)形的天池盆收集雨水．已知天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸，當(dāng)盆中積水深九寸時(shí)，平地的降雨量是()(注：一尺＝10寸，平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積)A．9寸 B．6寸C．4寸 D．3寸5．(2023·日照模擬)紅燈籠起源于中國(guó)的西漢時(shí)期，兩千多年來(lái)，每逢春節(jié)人們便會(huì)掛起象征美好團(tuán)圓意義的紅燈籠，營(yíng)造一種喜慶的氛圍．如圖1，某球形燈籠的輪廓由三部分組成，上、下兩部分是兩個(gè)相同的圓柱的側(cè)面，中間是球面除去上、下兩個(gè)相同球冠剩下的部分．如圖2，球冠是由球面被平面截得的一部分，垂直于截面的直徑被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球面的半徑為R，球冠的高為h，則球冠的面積S＝2πRh.如圖1，已知該燈籠的高為58cm，上、下圓柱的高為5cm，圓柱的底面圓直徑為14cm，則圍成該燈籠中間球面部分所需布料的面積為()A．1940πcm2 B．2350πcm2C．2400πcm2 D．2540πcm26．(2023·淄博模擬)某學(xué)生到工廠實(shí)踐，欲將一個(gè)底面半徑為2，高為3的實(shí)心圓錐體工件切割成一個(gè)圓柱體，并使圓柱體的一個(gè)底面落在圓錐體的底面內(nèi)．若不考慮損耗，則得到的圓柱體的最大體積是()A.eq\f(16π,9) B.eq\f(8π,9)C.eq\f(16π,27) D.eq\f(8π,27)7．(2023·廣西聯(lián)考)已知在一個(gè)表面積為24的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E在B1D上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)BE＋A1E取得最小值時(shí)，AE等于()A．2B.eq\f(3\r(2),2)C.eq\r(3)D.eq\f(3\r(2),4)8．(2023·廣州模擬)現(xiàn)有一個(gè)軸截面是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形的倒置圓錐(頂點(diǎn)在下方，底面在上方)，將半徑為eq\f(\r(3),2)的小球放入圓錐，使得小球與圓錐的側(cè)面相切，過(guò)所有切點(diǎn)所在平面將圓錐分割成兩個(gè)部分，則分割得到的圓臺(tái)的側(cè)面積為()A.eq\f(27π,8)B.eq\f(33π,8)C.eq\f(45π,8)D.eq\f(55π,8)二、多項(xiàng)選擇題9．有一張長(zhǎng)和寬分別為8和4的矩形硬紙板，以這張硬紙板為側(cè)面，將它折成正四棱柱，則此正四棱柱的體對(duì)角線的長(zhǎng)度為()A．2eq\r(2)B．2eq\r(6)C．4eq\r(5)D.eq\r(66)10．(2023·新高考全國(guó)Ⅱ)已知圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，∠APB＝120°，PA＝2，點(diǎn)C在底面圓周上，且二面角P－AC－O為45°，則()A．該圓錐的體積為πB．該圓錐的側(cè)面積為4eq\r(3)πC．AC＝2eq\r(2)D．△PAC的面積為eq\r(3)11．(2023·德州模擬)如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，將△ADE，△CDF，△BEF分別沿DE，DF，EF折起，使A，B，C重合于點(diǎn)P，則下列結(jié)論正確的是()A．PD⊥EFB．三棱錐P－DEF的外接球的體積為2eq\r(6)πC．點(diǎn)P到平面DEF的距離為eq\f(2,3)D．二面角P－EF－D的余弦值為eq\f(1,4)12．(2023·遼陽(yáng)統(tǒng)考)若正三棱錐P－ABC的底面邊長(zhǎng)為3，高為eq\r(6)，則該正三棱錐的()A．體積為eq\f(9\r(2),4)B．表面積為9eq\r(3)C．外接球的表面積為27πD．內(nèi)切球的表面積為eq\f(3π,2)三、填空題13.(2023·鄭州模擬)攢尖是中國(guó)古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，依其平面有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、六角攢尖等，多見(jiàn)于亭閣式建筑．如故宮中和殿的屋頂為四角攢尖頂，它的主要部分的輪廓可近似看作一個(gè)正四棱錐，設(shè)正四棱錐的側(cè)面的等腰三角形的頂角為60°，則該正四棱錐的側(cè)面積與底面積的比為_(kāi)___________________________________________．14．(2023·新高考全國(guó)Ⅰ)在正四棱臺(tái)ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝eq\r(2)，則該棱臺(tái)的體積為_(kāi)_______．15．(2023·八省八校聯(lián)考)如圖，已知正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為1，過(guò)點(diǎn)B作截面α分別交側(cè)棱AC，AD于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，且四面體ABEF的體積為四面體ABCD體積的eq\f(1,3)，則EF的最小值為_(kāi)_______．16．(2023·遼陽(yáng)模擬)將3個(gè)6cm×6cm的正方形都沿其中的一對(duì)鄰邊的中點(diǎn)剪開(kāi)，每個(gè)正方形均分成兩個(gè)部分，如圖(1)所示，將這6個(gè)部分接入一個(gè)邊長(zhǎng)為3eq\r(2)cm的正六邊形上，如圖(2)所示．若該平面圖沿著正六邊形的邊折起，圍成一個(gè)七面體，則該七面體的體積為_(kāi)_______cm3.參考答案1．A2.B3.A4.D5.C6.A7．A[作出圖形，如圖所示．依題意6AB2＝24，故AB＝2，將平面A1B1D翻折至與平面BB1D共面，易得△A1B1D≌△BB1D，故當(dāng)A1E⊥B1D時(shí)，BE＋A1E有最小值，此時(shí)eq\f(B1E,DE)＝eq\f(1,2)，過(guò)點(diǎn)E作平面ABCD的垂線，垂足為F，則BF＝eq\f(1,3)BD＝eq\f(2\r(2),3)，EF＝eq\f(2,3)BB1＝eq\f(4,3)，由余弦定理得AF2＝AB2＋BF2－2AB·BF·cos45°＝4＋eq\f(8,9)－2×2×eq\f(2\r(2),3)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(20,9)，則AE＝eq\r(AF2＋EF2)＝eq\r(\f(20,9)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))2)＝2.]8．D[作軸截面圖如圖所示，△ABC為圓錐的軸截面，點(diǎn)O為與側(cè)面相切球的球心，點(diǎn)E，F(xiàn)為切點(diǎn)，由已知，可得AB＝BC＝AC＝4，OE＝OF＝eq\f(\r(3),2)，∠ACB＝60°，OE⊥AC，在△OEC中，OE＝eq\f(\r(3),2)，∠OEC＝90°，∠OCE＝30°，所以O(shè)C＝eq\r(3)，CE＝eq\f(3,2)，又AC＝4，所以AE＝eq\f(5,2)，所以圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為eq\f(5,2)，因?yàn)镃E＝CF，∠ECF＝60°，所以△ECF為等邊三角形，所以EF＝eq\f(3,2)，所以圓臺(tái)的側(cè)面積S＝π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)＋2))×eq\f(5,2)＝eq\f(55π,8).]9．BD[分兩種情況求解：①若正四棱柱的高為8，則底面邊長(zhǎng)為1，此時(shí)體對(duì)角線的長(zhǎng)度為eq\r(82＋1＋1)＝eq\r(66)；②若正四棱柱的高為4，則底面邊長(zhǎng)為2，此時(shí)體對(duì)角線的長(zhǎng)度為eq\r(42＋22＋22)＝2eq\r(6).]10．AC[依題意，∠APB＝120°，PA＝2，所以O(shè)P＝1，OA＝OB＝eq\r(3).A項(xiàng)，圓錐的體積為eq\f(1,3)×π×(eq\r(3))2×1＝π，故A正確；B項(xiàng)，圓錐的側(cè)面積為π×eq\r(3)×2＝2eq\r(3)π，故B錯(cuò)誤；C項(xiàng)，取AC的中點(diǎn)D，連接OD，PD，如圖所示，則AC⊥OD，AC⊥PD，所以∠PDO是二面角P－AC－O的平面角，則∠PDO＝45°，所以O(shè)P＝OD＝1，故AD＝CD＝eq\r(3－1)＝eq\r(2)，則AC＝2eq\r(2)，故C正確；D項(xiàng)，PD＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2)，所以S△PAC＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×eq\r(2)＝2，故D錯(cuò)誤．]11．AC[如圖1，取EF的中點(diǎn)H，連接PH，DH，易知△PEF和△DEF均為等腰三角形，故PH⊥EF，DH⊥EF，又因?yàn)镻H∩DH＝H，所以EF⊥平面PDH，又PD?平面PDH，所以PD⊥EF，A正確；圖1由PE，PF，PD三線兩兩互相垂直，可構(gòu)造如圖2所示的長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體的外接球就是三棱錐P－DEF的外接球，長(zhǎng)方體的體對(duì)角線就是外接球的直徑，設(shè)為2R，則(2R)2＝12＋12＋22＝6，則R＝eq\f(\r(6),2)，所以所求外接球的體積為eq\f(4,3)πR3＝eq\r(6)π，B錯(cuò)誤；圖2設(shè)點(diǎn)P到平面DEF的距離為h，如圖1，在△EHD中，EH＝PH＝eq\f(\r(2),2)，DE＝eq\r(5)，DH＝eq\r(DE2－EH2)＝eq\r(5－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝eq\f(3\r(2),2)，由等體積法可得V三棱錐D－PEF＝V三棱錐P－DEF，即eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×2＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\f(3\r(2),2)×h，解得h＝eq\f(2,3)，C正確；如圖1，因?yàn)镻H⊥EF，DH⊥EF，所以∠PHD即為二面角P－EF－D的平面角，因?yàn)镻D⊥PF，PD⊥PE，且PF∩PE＝P，PE，PF?平面PEF，所以PD⊥平面PEF，又PH?平面PEF，則PD⊥PH，即∠DPH＝90°，在Rt△PHD中，cos∠PHD＝eq\f(PH,DH)＝eq\f(1,3)，D錯(cuò)誤．]12．ABD[如圖，三棱錐P－ABC的體積V＝eq\f(1,3)S△ABC·h＝eq\f(1,3)×eq\f(9\r(3),4)×eq\r(6)＝eq\f(9\r(2),4)，故A正確；取AB的中點(diǎn)D，連接CD，PD，則在正三棱錐P－ABC中，AB⊥CD，AB⊥PD.作PH⊥平面ABC，垂足為H，則PH＝eq\r(6).由正三棱錐的性質(zhì)可知H在CD上，且CH＝2DH.因?yàn)锳B＝3，所以CD＝eq\f(3\r(3),2)，則CH＝eq\r(3).因?yàn)镻H＝eq\r(6)，所以PC＝eq\r(3＋6)＝3，則三棱錐P－ABC的表面積為eq\f(9\r(3),4)×4＝9eq\r(3)，故B正確；設(shè)三棱錐P－ABC的外接球的球心為O，半徑為R，則O在PH上，連接OC，則R2＝CH2＋OH2＝(PH－OH)2，即R2＝3＋OH2＝(eq\r(6)－OH)2，解得OH＝eq\f(\r(6),4)，所以R2＝3＋eq\f(3,8)＝eq\f(27,8)，則三棱錐P－ABC的外接球的表面積為4πR2＝eq\f(27π,2)，故C錯(cuò)誤；設(shè)三棱錐P－ABC的內(nèi)切球的半徑為r，則eq\f(1,3)×9eq\r(3)r＝eq\f(9\r(2),4)，解得r＝eq\f(\r(6),4)，從而三棱錐P－ABC的內(nèi)切球的表面積為4πr2＝eq\f(3π,2)，故D正確．]13.eq\r(3)14.eq\f(7\r(6),6)15.eq\f(\r(3),3)解析由題知VB－AEF＝eq\f(1,3)VB－ACD，所以S△AEF＝eq\f(1,3)S△ACD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),1