新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)精講講練學(xué)案 兩角和與差角正弦、余弦、正切公式的應(yīng)用（含解析）

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)第第頁(yè)參考答案1．A【解析】【分析】利用同角三角函數(shù)平方關(guān)系可求得，由，利用兩角和差余弦公式可求得結(jié)果.【詳解】為銳角，，，又，.故選：A.2．D【解析】【分析】先由平方關(guān)系求得，再由余弦差角公式求解即可.【詳解】因?yàn)榻菫榈诙笙藿?，所以，則.故選：D.3．C【解析】【分析】使用誘導(dǎo)公式及兩角和與差得余弦解決.【詳解】因?yàn)?，所以．又，所以，故故選：C.4．C【解析】【分析】根據(jù)兩角和的余弦公式即可求解.【詳解】由兩角和的余弦公式得：故選：C5．B【解析】【分析】由余弦的差角公式求解即可【詳解】故選：B6．A【解析】【分析】根據(jù)兩角差的余弦公式可求出結(jié)果.【詳解】.故選：A7．D【解析】【分析】根據(jù)韋達(dá)定理可得，，結(jié)合，可得，根據(jù)兩角和的余弦公式可得，由此可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閟inα、cosα是方程5x2﹣x﹣2＝0的兩個(gè)實(shí)根，所以，，因?yàn)?，且，所以且，所以，所?故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了韋達(dá)定理，兩角和的余弦公式，屬于基礎(chǔ)題.8．C【解析】【分析】利用兩角和的余弦公式化簡(jiǎn)已知等式可得，兩邊平方，可得2sinαcosα的值，根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡(jiǎn)所求即可求解．【詳解】因?yàn)?，可得，兩邊平方，可得，所以．故選：C.9．D【解析】【分析】本題首先應(yīng)用誘導(dǎo)公式，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成銳角三角函數(shù)的計(jì)算，進(jìn)一步應(yīng)用兩角和的正切公式計(jì)算求解．題目較易，注重了基礎(chǔ)知識(shí)、基本計(jì)算能力的考查．【詳解】詳解：=【點(diǎn)睛】三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、兩角和與差的三角函數(shù)、特殊角的三角函數(shù)值、運(yùn)算求解能力．10．D【解析】【分析】先對(duì)變形，然后通過(guò)三角函數(shù)圖像變換規(guī)律求出的解析式，從而可求出的值.【詳解】，則將的圖像向左平移個(gè)單位后得，，所以，故選：D11．C【解析】【分析】先利用平方關(guān)系求得，，再由求解.【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以，，所以，?故選：C12．A【解析】【分析】先求的正余弦三角函數(shù)，再求的正余弦三角函數(shù)，然后根據(jù)余弦的兩角和與差的公式計(jì)算即可得到答案.【詳解】由角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，得，因?yàn)榻堑慕K邊是由角的終邊順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，所以，故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的定義以及兩角和與差的正余弦公式的應(yīng)用，屬于中檔題.13．D【解析】【分析】先判定角終邊所在象限，再通過(guò)角的三角函數(shù)值確定角.【詳解】則又，則角終邊在第二象限則角可以是故選：D14．C【解析】【分析】將轉(zhuǎn)化成，展開(kāi)整理化簡(jiǎn)即可.【詳解】故選：C【點(diǎn)睛】本題考查內(nèi)容是三角恒等變換的知識(shí)，其中化簡(jiǎn)表達(dá)式一般先找角之間的關(guān)系，盡可能將出現(xiàn)的角變少，然后利用三角恒等變換的公式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可.15．D【解析】【分析】逆用兩角差的余弦公式化簡(jiǎn)即可【詳解】解：原式＝－cos[(x＋y)－(x－y)]＝－cos2y，故選：D.16．A【解析】【分析】由、的范圍求出的范圍，由題意，利用平方關(guān)系求出和，由兩角和與差的余弦公式求出的值即可.【詳解】解：、，，，，...故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查兩角和與差的余弦公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.17．D【解析】【分析】利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系求得、的值，利用兩角差的余弦公式可求得的值.【詳解】，，則，，，，因此，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查利用兩角差的余弦公式求值，考查計(jì)算能力，屬于中等題.18．A【解析】設(shè)大的正方形的邊長(zhǎng)為1，由已知可求小正方形的邊長(zhǎng)，可求，，且，，進(jìn)而利用兩角差的余弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可計(jì)算得解.【詳解】設(shè)大的正方形的邊長(zhǎng)為1，由于小正方形與大正方形面積之比為，可得:小正方形的邊長(zhǎng)為，可得:，①，②由圖可得:，，①×②可得:，解得:，故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩角差的余弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的綜合應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.19．D【解析】【分析】直接利用誘導(dǎo)公式及兩角和的正弦公式求解.【詳解】因?yàn)?故選：D20．B【解析】【分析】利用三角形邊角關(guān)系，將轉(zhuǎn)化為關(guān)于邊的方程，解得邊，進(jìn)而由三角形的面積公式，直接求出面積即可.【詳解】如圖，過(guò)作,交的延長(zhǎng)線(xiàn)于，因?yàn)椋瑒t,，，所以又因?yàn)樗?，即，解得：或（舍）所?故選：B.21．D【解析】【分析】由三角函數(shù)的定義可得，，，的值，再由差角的余弦公式計(jì)算即得.【詳解】由任意角的三角函數(shù)的定義可得，，，因，且射線(xiàn)和射線(xiàn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則射線(xiàn)OB與單位圓的交點(diǎn)為，于是得，，因此，，所以的值是.故選：D22．D【解析】【分析】利用兩角差的正弦、余弦公式化簡(jiǎn)，再利用誘導(dǎo)公式、二倍角公式求解即可.【詳解】故選：D.23．D【解析】【分析】由求解.【詳解】因?yàn)椋?，所以，又，則，，又，所以，所以，，故選：D24．C【解析】先根據(jù)單位圓及點(diǎn)的橫坐標(biāo)確定出點(diǎn)的縱坐標(biāo)，根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義可求得及，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，利用余弦的差角公式求解即可.【詳解】由單位圓上第一象限內(nèi)一點(diǎn)沿圓周逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，可知點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．則，，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，又，所以．故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查任意角三角函數(shù)的定義及余弦的差角公式的運(yùn)用，解答時(shí)注意以下幾點(diǎn)：（1）一般地，當(dāng)已知角終邊上一點(diǎn)時(shí)，則，，；（2）注意，計(jì)算時(shí)，要注意根據(jù)角與的范圍確定其三角函數(shù)值的正負(fù).25．B【解析】【分析】本題首先可根據(jù)得出，然后根據(jù)誘導(dǎo)公式以及二倍角公式即可得出結(jié)果.【詳解】，即，，，則，故選：B.26．C【解析】利用兩角和的正切公式，特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)已知即可求解．【詳解】解：．故選：．27．C【解析】【分析】根據(jù)兩角差的余弦公式，準(zhǔn)確化簡(jiǎn)，即可求解.【詳解】由.故選：C.28．C【解析】【分析】由已知，結(jié)合同角平方關(guān)系可求cos()、sin()，然后根據(jù)，由兩角差的余弦展開(kāi)可求值．【詳解】∵，∴，．∵，∴，則cos()＝，∵，∴sin()＝．＝cos()cos()+sin()sin()＝．故選：C．29．C【解析】【分析】先由三角函數(shù)的定義求出，，由題知，然后利用兩角差的正弦公式即可求出的值.【詳解】由題知，點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，，，.故選：C.30．B【解析】【分析】通過(guò)做輔助線(xiàn)，將已知所求量轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，借助正弦定理，求得，進(jìn)而得到答案．【詳解】過(guò)作，過(guò)作，故，由題，易知為等腰直角三角形，所以．所以．因?yàn)?，所以在中，由正弦定理得：，而，所以所以．故選：B．【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵點(diǎn)在于如何正確將的長(zhǎng)度通過(guò)作輔助線(xiàn)的方式轉(zhuǎn)化為．31．B【解析】【分析】分析式子特點(diǎn)，，利用和差角公式得出，即；以及為銳角，為鈍角，則，但，充分性不成立，從而得解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，均為銳角，，即，故，則，則，必要性成立；若為銳角，為鈍角，則，但，充分性不成立.故“”是“”的必要不充分條件.故選：B【點(diǎn)睛】根據(jù)題目信息進(jìn)行轉(zhuǎn)化處理，并會(huì)舉反例來(lái)進(jìn)行說(shuō)明，要求對(duì)三角函數(shù)的變形以及充分必要性熟練掌握.32．ABC【解析】【分析】利用三角形“大角對(duì)長(zhǎng)邊”和正弦定理即可判斷A；利用余弦定理，即可判斷B；首先利用正弦定理得到，即可求出判斷C；對(duì)選項(xiàng)D，首先利用面積公式得到，利用余弦定理得到，再利用正弦定理即可判斷D.【詳解】對(duì)于A(yíng)，在中，由，利用正弦定理得，故A正確.對(duì)于B，由銳角三角形知，則，，故B正確.對(duì)于C，由，利用正弦定理得，即，故，即，則是直角三角形，故C正確.對(duì)于D，，解得，利用余弦定理知，所以，又因?yàn)椋?，故D錯(cuò)誤.故選：ABC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查正弦定理和余弦定理的綜合應(yīng)用，熟練掌握公式為解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.33．AC【解析】【分析】選項(xiàng)A利用二倍角的正弦求值；選項(xiàng)B利用二倍角的余弦求值；選項(xiàng)C逆用兩角差的正弦公式求值；選項(xiàng)D利用兩角和的正切公式求值.【詳解】因?yàn)?，故選項(xiàng)A正確；因?yàn)?，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；因?yàn)?，故選項(xiàng)C正確；因?yàn)?，整理得，，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：AC.34．BCD【解析】根據(jù)題意可得，，再利用兩角和的正切公式可判斷B，利用基本不等式可判斷C、D【詳解】由，是方程的兩不等實(shí)根，所以，，，由，，均為正數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，等號(hào)不成立，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，故選：BCD【點(diǎn)睛】本題考查了韋達(dá)定理、兩角和的正切公式、基本不等式的應(yīng)用，注意驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，屬于基礎(chǔ)題.35．AC【解析】【分析】根據(jù)，，進(jìn)行化簡(jiǎn)可得結(jié)果.【詳解】由，兩式相加可得，故B正確兩式相減可得，故D正確由，兩式相減可得，故A,C錯(cuò)故選：AC【點(diǎn)睛】本題考核從兩角和與差的正弦公式與余弦公式，重在對(duì)公式的考查與計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.36．【解析】【分析】由題意觀(guān)察出角之間的關(guān)系為，故將，轉(zhuǎn)化為，利用兩角差的余弦公式化簡(jiǎn)求解.【詳解】.故答案為：37．2【解析】【分析】由正弦定理化邊為角，利用誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式展開(kāi)變形求得，已知，由余弦定理得，求出，再由勾股定理求得．【詳解】由正弦定理可得：．又在三角形中，，∴，∴．又在三角形中，，∴，∴．∵，∴．由點(diǎn)D為的中點(diǎn)，，得即，而得得或（舍去），∴，則，在中有，，則，解得，即．故答案為：2．38．32【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出角度和邊長(zhǎng)，表達(dá)出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而表達(dá)出，利用三角函數(shù)換元，求出最大值.【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥y軸于點(diǎn)F，設(shè)，（），則由三角形全等可知，設(shè)，，則，則，，則，令，，則，當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為32故答案為：3239．【解析】【分析】由題意觀(guān)察出角之間的關(guān)系為，，故原式轉(zhuǎn)化為，利用兩角差的余弦公式化簡(jiǎn)求解.【詳解】.故答案為：40．【解析】【分析】根據(jù)作差并結(jié)合已知整理得，再對(duì)已知和該式兩邊平方求和即可得答案.【詳解】解:因?yàn)?，所以?xún)墒阶鞑畹茫?，整理得：因?yàn)?，所以，即①，又因?yàn)棰冢瑢?duì)①②兩邊平方得：③④，所以得，所以.故答案為：41．##【解析】【分析】先切化弦，再根據(jù)二倍角的正弦公式、誘導(dǎo)公式、兩角差的余弦公式化簡(jiǎn)即可得解.【詳解】.故答案為：42．證明見(jiàn)解析；【解析】【分析】化簡(jiǎn)，得到，結(jié)合A、B都是銳角即可證得結(jié)論.【詳解】證明：，∴，又∵，∴，∴，∴，又∵A，B是銳角，∴.【點(diǎn)睛】本題考查兩角和的正切公式掌握兩角和的正切公式的逆用是證明的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.43．（1）；（2）【解析】（1）首先化簡(jiǎn)函數(shù)，再根據(jù)是函數(shù)的一條對(duì)稱(chēng)軸，代入求，再求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）先根據(jù)函數(shù)圖象變換得到，并代入后，得，再利用角的變換求的值.【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，，得，，，即，令，解得：，，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是；（2），，得，，，，【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的圖象變換，以及的性質(zhì)，屬于中檔題型，的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)（或縮短）到原來(lái)的倍，得到函數(shù)的解析式是，若向右（或左）平移（）個(gè)單位，得到函數(shù)的解析式是或.44．條件選擇見(jiàn)解析；（1）；（2）.【解析】（1）選擇條件①，利用正弦定理化簡(jiǎn)已知條件，再利用兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)得，根據(jù)三角形內(nèi)角性質(zhì)得出且，即可求出角的值；選擇條件②，根據(jù)向量的數(shù)量積公式以及三角形的面積公式，化簡(jiǎn)得出，即可求出角的值；選擇條件③，根據(jù)兩角和的正弦公式和輔助角公式，化簡(jiǎn)的出，從而可求出角的值；（2）根據(jù)題意，利用正弦定理邊角互化得出，，再根據(jù)三角形面積公式化簡(jiǎn)得出，由為銳角三角形，求出角的范圍，從而得出的面積的取值范圍.【詳解】解：（1）選①，由正弦定理得：，∴，∵，∴，∴，∵，∴；選②，∴，∴，∵，∴，則，∴；選③，得，∴，∴，∵，∴，∴，∴.（2）已知為銳角三角形，且，由正弦定理得：，∴，，∴，∵為銳角三角形，∴，∴，∴.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查正弦定理的邊角互化、兩角和的正弦公式、輔助角公式、向量的數(shù)量積的應(yīng)用，考查三角形的面積公式以及三角形內(nèi)角的性質(zhì)，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求區(qū)間內(nèi)的最值從而求出三角形的面積的取值范圍是解題的關(guān)鍵，考查轉(zhuǎn)化思想和化簡(jiǎn)運(yùn)算能力.45．（1）；（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)題意以及同角基本關(guān)