第01講 二次函數(shù)（解析版）

第01講二次函數(shù)課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①二次函數(shù)的定義②的圖像與性質(zhì)③的平移與一般形式的平移掌握二次函數(shù)概念，能夠通過二次函數(shù)的概念解決相關(guān)題目。掌握型二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，能夠熟練解決有關(guān)題目。掌握二次函數(shù)與的平移，并能夠通過平移規(guī)律解決相關(guān)題目。知識點(diǎn)01二次函數(shù)的定義二次函數(shù)的定義：一般地，形如的函數(shù)叫做二次函數(shù)。其中：是自變量，是函數(shù)解析式的二次項系數(shù)；是函數(shù)解析式一次項系數(shù)；是函數(shù)解析式的常數(shù)項。又是二次函數(shù)的一般形式。判斷二次函數(shù)時，把二次函數(shù)化為一般形式，右邊一定要是整式，最高次數(shù)是2且二次項系數(shù)不等于0。題型考點(diǎn)：①判斷二次函數(shù)關(guān)系。②根據(jù)二次函數(shù)定義求值。【即學(xué)即練1】1．如圖，正方形ABCD和⊙O的周長之和為20cm，設(shè)圓的半徑為xcm，正方形的邊長為ycm，陰影部分的面積為Scm2．當(dāng)x在一定范圍內(nèi)變化時，y和S都隨x的變化而變化，則y與x，S與x滿足的函數(shù)關(guān)系分別是（）A．一次函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系 B．一次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系 C．二次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系 D．二次函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系【解答】解：由題意得，4y+2πx＝20，∴2y+πx＝10，∴y＝，即y與x是一次函數(shù)關(guān)系，∵S＝y(tǒng)2﹣πx2，即滿足二次函數(shù)關(guān)系，故選：B．【即學(xué)即練2】2．下列函數(shù)中，是二次函數(shù)的是（）A． B． C．y＝2x2﹣2x+2 D．y＝2x+2【解答】解；A．，關(guān)系式不是整式，故不是二次函數(shù)；B．，關(guān)系式不是整式，故不是二次函數(shù)；C．y＝2x2﹣2x+2，自變量的次數(shù)是2，且二次項的系數(shù)不為零，故是二次函數(shù)；D．y＝2x+2，自變量的次數(shù)不是2，是一次函數(shù)，不是二次函數(shù)；故選：C．【即學(xué)即練3】3．已知y＝mx|m﹣2|+2mx+1是y關(guān)于x的二次函數(shù)，則m的值為（）A．0 B．1 C．4 D．0或4【解答】解：由題意得：|m﹣2|＝2，且m≠0，解得：m＝4，故選：C．知識點(diǎn)02二次函數(shù)的圖像二次函數(shù)的圖像：二次函數(shù)的圖像是一條拋物線，有開口方向，頂點(diǎn)，對稱軸。函數(shù)圖像關(guān)于對稱軸對稱。二次函數(shù)的圖像畫函數(shù)圖像的步驟：①列表：列出自變量與相應(yīng)函數(shù)值的表格。②描點(diǎn)：在平面直角坐標(biāo)系中找到相應(yīng)的點(diǎn)的位置。③連線：用一條圓滑的曲線把所有點(diǎn)連接起來。畫二次函數(shù)的函數(shù)圖像。列表：描點(diǎn)與連線：在同一個坐標(biāo)軸畫出函數(shù)圖像（自行畫圖）【即學(xué)即練1】4．把圖中圖象的號碼，填在它的函數(shù)式后面：（1）y＝3x2的圖象是；（2）y＝x2的圖象是；（3）y＝﹣x2的圖象是；（4）y＝x2的圖象是（填序號①，②等）．【解答】解：（1）、（2）二次項系數(shù)都＞0，那么開口都應(yīng)向上，但|3|＞||，那么（1）應(yīng)對應(yīng)3，（2）應(yīng)對應(yīng)1；（3）、（4）的二次項系數(shù)都＜0，那么開口都應(yīng)向下，但|﹣1|＞|﹣|，那么（3）應(yīng)對應(yīng)4，（4）應(yīng)對應(yīng)2．依次填3，1，4，2．知識點(diǎn)03二次函數(shù)的性質(zhì)二次函數(shù)的性質(zhì)：由函數(shù)的圖像可知二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)：大致圖像開口方向開口向上開口向下頂點(diǎn)坐標(biāo)（0，0）（0，0）對稱軸y軸y軸增減性對稱軸右邊y隨x的增大而增大。對稱軸左邊y隨x的增大而減小。對稱軸右邊y隨x的增大而減小。對稱軸左邊y隨x的增大而增大。最值函數(shù)值有最小值這個值是0。函數(shù)值有最大值這個值是0。題型考點(diǎn)：①二次函數(shù)性質(zhì)的熟悉。②根據(jù)性質(zhì)求值?！炯磳W(xué)即練1】5．填寫下表：y＝ax2a＞0a＜0圖象開口方向向上向下對稱性關(guān)于y軸對稱關(guān)于y軸對稱頂點(diǎn)與最高、最低點(diǎn)頂點(diǎn)是最低點(diǎn)頂點(diǎn)是最高點(diǎn)【解答】解：當(dāng)y＝ax2（a＞0）時，開口向上，圖象關(guān)于y軸對稱，頂點(diǎn)是最低點(diǎn)；當(dāng)y＝ax2（a＜0）時，開口向下，圖象關(guān)于y軸對稱，頂點(diǎn)是最高點(diǎn)；故答案如下：兩列依次填寫：向上，關(guān)于y軸對稱，頂點(diǎn)是最低點(diǎn)；向下，關(guān)于y軸對稱，頂點(diǎn)是最高點(diǎn)．【即學(xué)即練2】6．已知二次函數(shù)y＝﹣x2，下列說法正確的是（）A．該拋物線的開口向上 B．頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，0） C．對稱軸是直線x＝﹣ D．當(dāng)x＜0時，y隨x的增大而減小【解答】解：A、∵a＝﹣＜0，∴開口向下，故錯誤，不符合題意；B、頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，0），正確，符合題意；C、對稱軸為直線x＝0，故錯誤，不符合題意；D、∵a＝﹣＜0，∴開口向下，當(dāng)x＜0時，y隨x的增大而增大，故錯誤，不符合題意，故選：B．【即學(xué)即練3】7．拋物線y＝ax2與y＝x2的開口大小、形狀一樣、開口方向相反，則a＝．【解答】解：∵y＝x2的二次項系數(shù)是1，拋物線y＝ax2與y＝x2的開口大小、形狀一樣、開口方向相反，∴a＝﹣1．故答案為：﹣1．【即學(xué)即練4】8．已知二次函數(shù)y＝（m﹣2）x2的圖象開口向下，則m的取值范圍是．【解答】解：∵二次函數(shù)y＝（m﹣2）x2的圖象開口向下，∴m﹣2＜0，∴m＜2，故答案為：m＜2．知識點(diǎn)04二次函數(shù)的平移函數(shù)的平移規(guī)律：函數(shù)的平移分左右平移與上下平移，左右平移在自變量上進(jìn)行加減，左加右減。上下平移在函數(shù)解析式上進(jìn)行加減，上加下減。①向左平移個單位之后得到的函數(shù)解析式為。②向右平移個單位之后得到的函數(shù)解析式為。③向上平移個單位之后得到的函數(shù)解析式為。④向下平移個單位之后得到的函數(shù)解析式為。⑤向左右平移個單位后在向上下平移個單位得到的函數(shù)解析式為。⑥向左右平移個單位后在向上下平移個單位得到的函數(shù)解析式為：。題型考點(diǎn)：求平移后的函數(shù)解析式?！炯磳W(xué)即練1】9．將拋物線y＝3x2先向左平移1個單位，再向下平移2個單位，所得拋物線的表達(dá)式為．【解答】解：將拋物線y＝3x2先向左平移1個單位，再向下平移2個單位，所得拋物線的表達(dá)式為y＝3（x+1）2﹣2．故答案為：y＝3（x+1）2﹣2．【即學(xué)即練2】10．將拋物線y＝﹣3x2+1向左平移1個單位長度，再向下平移4個單位長度，得到拋物線為（）A．y＝﹣3（x+1）2﹣3 B．y＝﹣3（x﹣1）2﹣3 C．y＝﹣3（x+1）2+5 D．y＝﹣3（x﹣1）2+5【解答】解：將拋物線y＝﹣3x2+1向左平移1個單位長度，再向下平移4個單位長度，得到的拋物線為：y＝﹣3（x+1）2+1﹣4，即y＝﹣3（x+1）2﹣3．故選：A．【即學(xué)即練3】11．在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)y＝（x+1）2+3的圖象向右平移2個單位長度，再向下平移1個單位長度，所得拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為（）A．y＝（x+3）2+2 B．y＝（x﹣1）2+2 C．y＝（x﹣1）2+4 D．y＝（x+3）2+4【解答】解：將二次函數(shù)y＝（x+1）2+3的圖集向右平移2個單位長度，再向下平移1個單位長度，所得拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝（x+1﹣2）2+3﹣1，即y＝（x﹣1）2+2．故選：B．【即學(xué)即練4】12．若拋物線y＝x2+2x﹣3不動，將平面直角坐標(biāo)系先沿水平方向向左平移2個單位長度，再沿鉛垂方向向下平移3個單位長度，則原拋物線的解析式應(yīng)變?yōu)椋ǎ〢．y＝（x﹣2）2+3 B．y＝（x﹣1）2﹣1 C．y＝（x+3）2﹣7 D．y＝x2+4【解答】解：將平面直角坐標(biāo)系xOy先沿水平方向向左平移2個單位長度，再沿鉛垂方向向下平移3個單位長度，這個相當(dāng)于把拋物線向右平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度，∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴原拋物線圖象的解析式應(yīng)變?yōu)閥＝（x+1﹣2）2﹣4+3＝（x﹣1）2﹣1．故選：B．題型01二次函數(shù)的定義【典例1】自由落體公式h＝gt2（g為常量），h與t之間的關(guān)系是（）A．正比例函數(shù) B．一次函數(shù) C．二次函數(shù) D．以上答案都不對【解答】解：因為等號的右邊是關(guān)于t的二次式，所以h是t的二次函數(shù)．故選：C．【典例2】下列函數(shù)中：（1）y＝2（x﹣1）（x+4）；（2）y＝3（x﹣1）2+2；（3）y＝x2+；（4）y＝（x﹣3）2﹣x2．不是二次函數(shù)的是（）A．（1）（2） B．（3）（4） C．（1）（3） D．（2）（4）【解答】解：（1）y＝2（x﹣1）（x+4），是二次函數(shù)；（2）y＝3（x﹣1）2+2，是二次函數(shù)；（3）y＝x2+，含有分式，不是二次函數(shù)，符合題意；（4）y＝（x﹣3）2﹣x2，整理后是一次函數(shù)，符合題意；故不是二次函數(shù)的是：（3），（4）．故選：B．【典例3】已知函數(shù)y＝（m+3）x2+4是二次函數(shù)，則m的取值范圍為（）A．m＞﹣3 B．m＜﹣3 C．m≠﹣3 D．任意實數(shù)【解答】解：∵函數(shù)y＝（m+3）x2+4是二次函數(shù)，∴m+3≠0，解得：m≠﹣3，故選：C．【典例4】若y＝（a2+a）是二次函數(shù)，那么（）A．a(chǎn)＝﹣1或a＝3 B．a(chǎn)≠﹣1且a≠0 C．a(chǎn)＝﹣1 D．a(chǎn)＝3【解答】解：根據(jù)題意，得：a2﹣2a﹣1＝2解得a＝3或﹣1又因為a2+a≠0即a≠0或a≠﹣1所以a＝3．故選：D．題型02二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)【典例1】如圖所示，函數(shù)y＝ax2（a≠0）和y＝﹣ax+b（a≠0）在同一坐標(biāo)系中的圖象可能為（）A． B． C． D．【解答】解：當(dāng)a＞0時，二次函數(shù)的開口向上，一次函數(shù)中一次項的系數(shù)﹣a＜0，圖象將經(jīng)過二四象限，排除A，當(dāng)a＜0時，二次函數(shù)的開口向下，一次函數(shù)中一次項的系數(shù)﹣a＞0，圖象將經(jīng)過一三象限，排除B、C．故選：D．【典例2】對于函數(shù)y＝6x2，下列說法正確的是（）A．當(dāng)x＞0時，y隨x的增大而減小 B．當(dāng)x＜0時，y隨x的增大而減小 C．y隨x的增大而減小 D．y隨x的增大而增大【解答】解：∵a＝6＞0，對稱軸為x＝0；∴當(dāng)x＞0時，y隨x的增大而增大，當(dāng)x＜0時，y隨x的增大而減?。蔬x：B．【典例3】拋物線y＝x2與y＝﹣x2的圖象的關(guān)系是（）A．開口方向不同，頂點(diǎn)相同，對稱軸相同 B．開口方向不同，頂點(diǎn)不同，對稱軸相同 C．開口方向相同，頂點(diǎn)相同，對稱軸相同 D．開口方向相同，頂點(diǎn)不同，對稱軸不同【解答】解：∵拋物線y＝x2與y＝﹣x2的二次項系數(shù)互為相反數(shù)，∴其開口方向相反，頂點(diǎn)相同，對稱軸相同，故選：A．【典例4】若拋物線的開口向下，則m的值為（）A． B． C．3 D．﹣3【解答】解：的開口向下，3+m＜0，m2﹣10＝2，m＜﹣3，m＝，∴m＝﹣2，故選：B．【典例5】下列四個二次函數(shù)：①y＝x2，②y＝﹣2x2，③y＝，④y＝3x2，其中拋物線開口從大到小的排列順序是（）A．③①②④ B．②③①④ C．④②①③ D．④①③②【解答】解：∵1＜|﹣2|＜3，∴拋物線開口從大到小的排列順序是③①②④，故選：A．題型03二次函數(shù)的平移【典例1】在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)y＝x2﹣2的圖象向左平移1個單位長度，再向下平移3個單位長度，所得函數(shù)的表達(dá)式為（）A．y＝（x+1）2﹣5 B．y＝（x﹣1）2﹣5 C．y＝（x+1）2+1 D．y＝（x﹣1）2﹣1【解答】解：∵將二次函數(shù)y＝x2﹣2的圖象向左平移1個單位長度，再向下平移3個單位長度，∴所得拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝（x+1）2﹣2﹣3＝（x+1）2﹣5．故選：A．【典例2】把二次函數(shù)y＝x2+2x+1先向右平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度，新二次函數(shù)表達(dá)式變?yōu)椋ǎ〢．y＝（x+3）2+2 B．y＝（x﹣1）2+2 C．y＝（x﹣1）2+1 D．y＝（x+3）2﹣1【解答】解：y＝x2+2x+1＝（x+1）2，將二次函數(shù)y＝（x+1）2的圖象向右平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度，得到的新的二次函數(shù)y＝（x+1﹣2）2+1，即y＝（x﹣1）2+1．故選：C．【典例3】要得到拋物線y＝2（x﹣4）2+1，可以將拋物線y＝2x2（）A．向左平移4個單位長度，再向上平移1個單位長度 B．向左平移4個單位長度，再向下平移1個單位長度 C．向右平移4個單位長度，再向上平移1個單位長度 D．向右平移4個單位長度，再向下平移1個單位長度【解答】解：∵y＝2（x﹣4）2+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4，1），y＝2x2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），∴將拋物線y＝2x2向右平移4個單位，再向上平移1個單位，可得到拋物線y＝2（x﹣4）2+1．故選：C．【典例4】若拋物線向右平移m個單位長度后經(jīng)過點(diǎn)（3，3），則m＝（）A．﹣2 B．﹣2或4 C．2或4 D．2或﹣4【解答】解：設(shè)把拋物線向右平移m個單位長度后得到，∵經(jīng)過點(diǎn)（3，3），∴，解得：m＝﹣2或m＝4．故選：B．【典例5】將二次函數(shù)y＝ax2﹣8ax+2的圖象向左平移m（m＞0）個單位后過點(diǎn)（5，2），則m的值為（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：將二次函數(shù)y＝ax2﹣8ax+2＝a（x﹣4）2+2﹣16a的圖象向左平移m個單位后的函數(shù)解析式為y＝a（x﹣4+m）2+2﹣16a，∵平移后的圖象經(jīng)過點(diǎn)（5，2），a≠0，m＞0，∴a（5﹣4+m）2+2﹣16a＝2，解得m＝3或m＝﹣5（舍去），故選：B．【典例6】已知拋物線C1：y＝3x2﹣6x+1，拋物線C2是由拋物線C1向右平移4個單位得到的，那么我們可以得到拋物線C1和拋物線C2一定關(guān)于某條直線對稱，則這條直線為（）A． B．x＝3 C．x＝2 D．【解答】解：∵y＝3x2﹣6x+1＝3（x﹣1）2﹣2，∴拋物線C1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣2），對稱軸為x＝1，根據(jù)平移的性質(zhì)得：拋物線C2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（5，﹣2），∴拋物線C2的對稱軸為x＝5，∵x＝1和x＝5關(guān)于x＝3對稱，∴拋物線C1，C2關(guān)于x＝3對稱．故選：B．1．下列函數(shù)中，是二次函數(shù)的是（）A．y＝3x﹣1 B．y＝x3+2 C．y＝（x﹣2）2﹣x2 D．y＝x（4﹣x）【解答】解：A、y＝3x﹣1是一次函數(shù)，不符合題意；B、y＝x3+2中，x的次數(shù)是3，不是二次函數(shù)，不符合題意；C、y＝（x﹣2）2﹣x2可化為y＝﹣4x+4是一次函數(shù)，不符合題意；D、y＝x（4﹣x）可化為y＝4x﹣x2，是二次函數(shù)，符合題意．故選：D．2．是二次函數(shù)，則m的值是（）A．m＝0 B．m＝﹣1 C．m＝1 D．m＝±1【解答】解：∵是二次函數(shù)，∴m2+1＝2且m﹣1≠0，解得m＝±1且m≠1，∴m＝﹣1．故選：B．3．線段AB＝5，動點(diǎn)P以每秒1個單位長度的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AB運(yùn)動至點(diǎn)B，以線段AP為邊作正方形APCD，線段PB長為半徑作圓，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t，正方形APCD周長為y，⊙B的面積為S，則y與t，S與t滿足的函數(shù)關(guān)系分別是（）A．正比例函數(shù)關(guān)系，反比例函數(shù)關(guān)系 B．一次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系 C．正比例函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系 D．一次函數(shù)關(guān)系，反比例函數(shù)關(guān)系【解答】解：y＝4t，屬于正比例函數(shù)關(guān)系，S＝π（5﹣t）2，屬于二次函數(shù)關(guān)系，故選：C．4．下列函數(shù)中，y的值隨x值的增大而減小的是（）A．y＝x2+1 B．y＝﹣x2+1 C．y＝2x+1 D．y＝﹣2x+1【解答】解：選項A中，函數(shù)y＝x2+1，x＜0時，y隨x的增大而減?。还蔄不符合題意；選項B中，函數(shù)y＝﹣x2+1，x＞0時，y隨x的增大而減??；故B不符合題意；選項C中，函數(shù)y＝2x+1，y隨x的增大而增大；故C不符合題意；選項D中，函數(shù)y＝﹣2x+1，y隨x的增大而減?。蔇符合題意；故選：D．5．對于函數(shù)y＝x2，下列判斷中，正確的是（）A．若m、n互為相反數(shù)，則x＝m與x＝n對應(yīng)的函數(shù)值相等 B．對于同一自變量x，有兩個函數(shù)值與之對應(yīng) C．對于任意一個實數(shù)y，有兩個x值與之對應(yīng) D．對于任何實數(shù)x，都有y＞0【解答】解：A、∵函數(shù)y＝x2關(guān)于y軸對稱，∴若m、n互為相反數(shù)，則x＝m與x＝n對應(yīng)的函數(shù)值相等正確，故本選項正確；B、應(yīng)為對于同一自變量x，有一個函數(shù)值與之對應(yīng)，故本選項錯誤；C、對于任意一個實數(shù)y，有兩個x值與之對應(yīng)錯誤，例如，x＝0時，y有唯一的值0對應(yīng)，故本選項錯誤；D、x＝0時，y＝0，所以對于任何實數(shù)x，都有y＞0錯誤，故本選項錯誤．故選：A．6．拋物線y＝﹣x2的圖象一定經(jīng)過（）A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限【解答】解：拋物線y＝﹣x2的開口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），所以拋物線一定經(jīng)過第原點(diǎn)、第三、四象限．故選：B．7．在二次函數(shù)①y＝3x2；②y＝x2，③y＝x2中，圖象在同一坐標(biāo)系中的開口大小順序，用題號表示應(yīng)該為（）A．①＞②＞③ B．①＞③＞② C．②＞③＞① D．②＞①＞③【解答】解：∵拋物線的開口大小是由二次項系數(shù)a的絕對值的大小確定，|a|越大則開口越?。嚅_口大小按題號順序表示為②＞③＞①．故選：C．8．函數(shù)y＝kx﹣k與y＝kx2的圖象大致是（）A． B． C． D．【解答】解：由選項中的二次函數(shù)圖象可得k＞0，所以y＝kx﹣k過一，三，四象限．故選：B．9．已知拋物線y＝m的圖象是不在第一、二象限，則m＝．【解答】解：∵y＝m表示拋物線解析式，∴m2+1＝2，解得m＝±1，又∵拋物線y＝m的圖象是不在第一、二象限，∴拋物線開口向下，m＜0，故m＝﹣1．10．已知二次函數(shù)的圖象開口向下，則m的值是．【解答】解：根據(jù)題意得：，解得：，故答案為：．11．如圖所示，四個函數(shù)圖象對應(yīng)的解析式分別是：①y＝ax2，②y＝bx2，③y＝cx2，④y＝dx2，則a，b，c，d的大小關(guān)系是．【解答】解：因為直線x＝1與