北大附屬學校2022屆高一實驗班選拔考試(數(shù)學)篇二

北大附屬學校2022屆高一實驗班選拔考試

數(shù)學

（考試時間：90分鐘滿分：100分）

友情提示：請將答案填寫在答題卷中，寫在試卷上不得分.

一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分，在給出的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的）

1.小紅從家中走了20分鐘到一個離家900米的商店，在店里花了10分鐘買文具后，用了15分

鐘回到家里.下面圖形中可以表示小紅離家的距離y（米）與時間x（分）之間函數(shù)關(guān)系的是

2.若一組數(shù)據(jù)2,3,4,5,x的方差與另一組數(shù)據(jù)5,6,7,8,9的方差相等，則x的值為（）

A.1B.6C.5或6D.1或6

3.如圖，在四邊形A8C。中，ZB=135°,NC=12O°,

AB=娓,BC=2&-2,CD=4,則AD邊的長為

()

A.2上B.4逐C.2>/2+^D.近+2也

4.當卜+1|+除一3|+|%-4|+上一7|取得最小值時，x的取值范圍是（）

A.-l<x<3B.3<x<4C.4<x<7D.-4<^<-3

5.設(shè)王、4是二次方程Y+x—3=0的兩根，則"一4后+19等于（）

A.-4B.8C.6D.0

6.三角形的三邊a、b、c都是正整數(shù)，且滿足ahc++ca++a+/?+c=35,則此三角形

的面積等于（）

A3"D3c3用rr

A.-------------D.-C.」一D.7

224

7.在平面直角坐標系中，已知點P（x”yJ和點。（9,以2），則尸、。兩點間的距離d的計算公

式為△=/了+（y-必了.現(xiàn)有點42,-3），點8（4,—1）,且用、N分別為x軸、y

軸上的動點，則四邊形的周長的最小值為（）

A.2vJ+23B.4^2C.25/2^+———D.2y/5

2

8.給出下列3個命題，其中正確的個數(shù)為（）

4

①在AA3C中，A3=AC=5,BC=8,則AA3C的內(nèi)切圓半徑為一；

3

②已知圓。的半徑為5,圓。2的半徑為8,圓。與圓。2相交于A、B兩點，并且AB=8,

則圓。與圓。2的圓心距?。2=4+3；

③己知圓。的半徑為5,點P在圓。內(nèi)，且OP=3,則過點P的弦長x的取值范圍是

8<x<10.

A.0B.1C.2D.3

二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分）

9.若四邊形的一組對邊中點的連線的長為d,另一組對邊的長分別為a、b,則d與皇的大

小關(guān)系是.

10.如圖，在平面直角坐標系xoy中，多邊形。48CD跖的頂

點坐標分別是0（0,0）、4（0,6）、6（4,6）、。（4,4）、

0（8,2）、￡（8,-2）、*4,0）.若直線/經(jīng)過點/（2,3）,

且將多邊形OABCDEF分割成面積相等的兩部分，則直線/

的函數(shù)表達式是.

11.同時擲出五顆骰子后，向上的五個面上的點數(shù)的和是8的概率與向上的五個面的點數(shù)的和是

的概率相等，那么a=.

kx-4-S

12.若函數(shù)y=’—中自變量的取值范圍是一切實數(shù),則實數(shù)女的取值范圍是_______.

廠+26+4

13.方程+1Ox+J/+5x+1=1的解為

14.如圖，下面每個圖形中的四個數(shù)都是按相同規(guī)律填寫的，根據(jù)此規(guī)律確定x的值為.

E

EJEJ國jttj0

三、解答題（本大題共6小題，共52分）

15.（本小題6分）

1

計算：Q_（2+6嚴|5（G_2）2016_3tan30"+.

V3-v2

16.（本小題8分）如圖，在放AA8C中，NC=90°,30是角平分線，點。在A3上，以點。

為圓心，08為半徑的圓經(jīng)過點。，并交BC于點E./一~

（1）求證：AC是圓。的切線；（

（2）若OB=5,CD=4,求5E的長.//

DC

17.（本小題8分）旅游公司在景區(qū)內(nèi)配置了50輛觀光車供游客租賃使用，假定每輛觀光車一天

內(nèi)最多只能出租一次，且每輛車的日租金x（元）是5的整數(shù)倍.發(fā)現(xiàn)每天的運營規(guī)律如下:

當x不超過100元時，觀光車能全部租出；當x超過100元時，每輛車的日租金每增加5元,

27

租出去的觀光車就會減少1輛.已知所有觀光車每天的管理費用是（1-x+l100）元.

（1）為使觀光車全部租出且每天的凈收入為正，則每輛車的日租金至少應為多少元？（注:

凈收入=租車收入-管理費）

（2）當每輛車的日租金為多少元時，每天的凈收入最多？

18.（本小題8分）如圖，點6是長度為1的線段AE上任意一點，在AE的同一側(cè)分別作正方

形A8CO和長方形BEFG.

（1）當EF=2BE時,

（i）求正方形ABC。的面積與長方形BEFG的面積和的最小值，并指出對應的6E的長;

（"）若點。和點6重合，M為A5中點，N為EF中點、,與8C交于點〃，將AOM4

沿直線AM/VE沿直線MN分別向矩形AEED內(nèi)折疊，求四邊形。未被兩個折疊三

角形覆蓋的圖形面積；

（2）當所=BE,點8在線段4E上移動時，探究AAC戶的面積5與正方形ABCD的面

積S2間的關(guān)系，請直接寫出一個關(guān)于5、S2間的等量關(guān)系式（不必證明）.

DC

ABE

19.(本小題10分)對某一個函數(shù)給出如下定義：若存在實數(shù)M>0,對于任意的函數(shù)值y,都

滿足則稱這個函數(shù)是有界函數(shù).在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這

個函數(shù)的邊界值.例如，下圖的函數(shù)是有界函數(shù)，其邊界值是1.

(1)分別判斷函數(shù)y=’(x>0)和y=x+l(—5<x?3)是不是有界函數(shù)？若是有界函數(shù)，

x

直接寫出其邊界值；

(2)若函數(shù)y=—2x+l(aWx《仇人>。)的邊界值是3,且這個函數(shù)的最大值也是3,求力的

取值范圍;

(3)將函數(shù)y=m20)的圖像向下平移〃2個單位，得到的函數(shù)的邊界值是

33

問當加在什么范圍時，滿足

42

20.(本小題12分)如圖，拋物線y=~^x2+|x+2與x軸交于A點、3點，與y軸交于點C,

點。與點C關(guān)于x軸對稱，點P(m,0)是x軸上的一個動點，過點P作x軸的垂線/交拋物

線于點Q.

(1)求直線8。的解析式；

(2)當點P在線段OB上運動時，直線/交3。于點M,試探究加為何值時，四邊形CQMD

是平行四邊形；

(3)在點尸的運動過程中，是否存在點。，使

△80。是以8。為直角邊的直角三角形？若存在，求

出所有的點。的坐標；若不存在，請說明理由.

北大附屬學校2022屆高一實驗班選拔考試

數(shù)學答題卷

一、選擇題（每小題3分，共8題，在給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）

題號12345678

答案

二、填空題（每小題4分，共6小題）

9.；10.;11.

12.；13.;14.

三、解答題（共6小題，共52分）

15.（本小題6分）

17.（本小題8分）

19.（本小題10分）

20.（本小題12分）

北大附屬學校2022屆高一實驗班選拔考試

數(shù)學參考答案

一、選擇題（每小題3分，共8題，在給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）

題號12345678

答案BDDBDCAC

二、填空題(每小題4分，共6小題)

9.io.y=--x+4；11.27；12.-2<k<2;

22

13.xx=0,x2=-5；14.390.

三、解答題（共6小題，共52分）

15.（本小題6分）

解:(1)原式=-2_[(2+0)(2—6)]如5(2_百)_0+3+#+立

=-1+有+應（6分）

16.（本小題8分）

解:（1）證明：連接因為3。平分NA6C,

所以NOBD=NCBD,

因為點在圓。上，所以O(shè)B=OD,NODB=NOBD,

則"DB=4CBD,所以O(shè)D//BC,

則ZODA=NC=90°,所以O(shè)O_LAC,又點。在圓。上,

所以AC是圓。的切線；（4分）

(2)過點。作OFLBC于點F,則BR=￡F,NOFC=90°,又NC=NODC=90。，

所以四邊形8。尸是矩形，OF=CD=4,在RMOF中,BF=^OB1-OF-=3,

所以=b=6.(8分)

17.（本小題8分）

27

解：（1）由題意知，若觀光車能全部租出，則0<x<100,由50x-（巴x+1100）>0

148

解得x>24上，又x是5的整數(shù)倍，所以每輛車的日租金至少應為25元.（3分）

223

（2）設(shè)每天的凈收入為y元，

223

當0<x<100時，y=子》一1100,y隨x的增大而增大，

所以當x=100時，y有最大值為223x20—1100=3360；

當x>100時，

x-100271323

y=（z5cn0------）%-（—x+1100）=——x2H----x-1100,

5555

323

對稱軸工=亨=161.5不是5的整數(shù)倍，所以當x=160時，y有最大值為4116；

因為4116>3360,

所以當每輛車的日租金為160元時，每天的凈收入最多是4116元.（8分）

18.（本小題8分）

解：(1)設(shè)BE=x(0<x<l),則AB=l—x,M=2x,(1分)

(i)根據(jù)題意得：S=(1-X)2+2X2=3X2-2X+1,

112

當％=—，即8E=一時，S=-.(3分)

33min3

I?

(ii)當點C和點G重合時，BE=—，AB=AO=—,所以四邊形未被兩個折

33

21122

疊三角形覆蓋的圖形面積為一-4x-x-x-=-.(6分)

32339

(2)S,=-S.(8分)

22

19.(本小題10分)

解：(1)y=，(x＞0)不是有界函數(shù)；

x

y=x+l(—5＜x＜3)是有界函數(shù)，其邊界值是4；(2分)

(2)函數(shù)y=-2x+l(a〈x〈dZ?>a),y隨x的增大而減小，所以一2Z?+1Wy<-2。+1,

__1

—2。+1=3解得|“一—，所以一1＜人〈2.

依題意得4(5分)

-2/7+1>-3[b＜2

(3)由題意，函數(shù)平移后的表達式為y=Y一機(-14x4九根20)

當x=-1時，y-1—m；當x=0時，y=—m；當x=時，y=m2-m；

根據(jù)二次函數(shù)的對稱性，當OW加＜1時，1一根2〃，一〃2：當，〃＞1時，1-〃?＜〃，-/〃；

13311

①當04機＜一時，1—mNm,t—1—m,因為一,所以——＜m＜—,

24224

故0W/〃4—；

4

13333

②當一＜加〈1時，1—加＜加，t—m,因為一W/W一,所以一W—,

24242

故一K/nWl；

4

333

③當1〈加＜2時，t-m,因為一K/K—,所以1＜加4—；

一422

33

④當機22時，t=ne-m＞2,所以不存在滿足巳＜tW工的加值.

42

13333

綜上所述，當0＜加＜—或二＜相＜三時，滿足己＜r＜二.(io分)

44242

20.(本小題12分)

解：依題意得A(-1,0),5(4,0),C(0,2),

(1)因為點。與點C關(guān)于x軸對稱，所以。(0,-2),

設(shè)直線5。為丁=辰—2,將8(4,0)代入得％=g

所以直線8。的解析式為y=2；(3分)