工程流體力學(xué) 第2版 項(xiàng)目8 邊界層理論基礎(chǔ)

普朗特針對(duì)大雷諾數(shù)流動(dòng)，提出邊界層概念和正確地簡(jiǎn)化N-S方程組的方法，使相當(dāng)發(fā)展的理想流體理論有了實(shí)際價(jià)值。所以邊界層理論被譽(yù)為近代流體力學(xué)的重大發(fā)展之一。目前，邊界層理論已廣泛地應(yīng)用于航空、航海、水利、氣象、機(jī)械、化工及環(huán)境科學(xué)等方面。本項(xiàng)目主要介紹邊界層理論中最基本的內(nèi)容，包括：邊界層概念，邊界層基本特征及邊界層厚度，邊界層方程，并對(duì)平板層流邊界層的計(jì)算問題和邊界層分離現(xiàn)象及繞流阻力等進(jìn)行了分析和討論。項(xiàng)目8邊界層理論基礎(chǔ)

【案例導(dǎo)入】改變世界的科技—特斯拉渦輪機(jī)

圖1特斯拉渦輪機(jī)

圖2內(nèi)部原理圖主要內(nèi)容任務(wù)1邊界層的概念任務(wù)2邊界層厚度任務(wù)3平面層流邊界層的微分方程任務(wù)5平板上層流邊界層的計(jì)算任務(wù)4邊界層的動(dòng)量積分方程任務(wù)6邊界層分離現(xiàn)象及繞流阻力如圖3所示，假設(shè)一薄平板平行于流速的方向，流體以均勻速度U流過平板。

任務(wù)1邊界層的概念一、邊界層的定義圖3邊界層和外流區(qū)（1）邊界層的定義在雷諾數(shù)較大的流動(dòng)中，緊靠物體表面，流速受到粘性顯著影響，摩擦剪應(yīng)力不能略去不計(jì)，這一極薄層流體，定義為邊界層（附面層）。通常設(shè)定v=0.99U的位置線作為邊界層的外邊界（理論上講應(yīng)伸至無(wú)窮遠(yuǎn)），U為完全理想流體繞流時(shí)物面上的切向速度。（2）邊界層概念提出的意義對(duì)大雷諾數(shù)的擾流問題，可將流動(dòng)區(qū)域劃分為兩部分分別處理，即：①流體粘性影響完全局限在邊界層內(nèi)部，由邊界層理論求解有關(guān)問題：②至于邊界層外面，可借助勢(shì)流理論獲得有關(guān)速度、壓強(qiáng)分布，其結(jié)果可作為邊界層內(nèi)流動(dòng)的外邊界條件。二、邊界層的流動(dòng)狀態(tài)

在邊界層中由層流轉(zhuǎn)變?yōu)槲闪鞯睦字Z數(shù)，稱為臨界雷諾數(shù)，其表達(dá)式為：

根據(jù)實(shí)驗(yàn)測(cè)定，實(shí)際邊界層中存在層流區(qū)、過渡區(qū)和紊流區(qū)，具體如圖4所示。

圖4邊界層的沿程發(fā)展及層內(nèi)流態(tài)變化三、邊界層的特征（1）邊界層為一減速流體薄層，邊界層厚度沿流向增加；（2）在邊界層內(nèi)粘性力和慣性力屬于同一數(shù)量級(jí)，均應(yīng)考慮；（3）邊界層內(nèi)也會(huì)出現(xiàn)層流及紊流流態(tài)，故有層流邊界層及紊流邊界層；（4）邊界層外表面不是流面，所以有質(zhì)量、能量和動(dòng)量隨流體由外流區(qū)流進(jìn)邊界層內(nèi)，邊界層厚度的增加率應(yīng)滿足質(zhì)量、動(dòng)量和能量守恒定律。任務(wù)2邊界層厚度

一、名義厚度圖5邊界層名義厚度示意圖一、流體靜壓強(qiáng)特性二、位移厚度

如果是不可壓縮流動(dòng)則上式

如圖6所示圖6邊界層位移厚度示意圖一、流體靜壓強(qiáng)特性

如為不可壓流動(dòng)

或

一、流體靜壓強(qiáng)特性

如為不可壓流動(dòng)或

任務(wù)3平面層流邊界層的微分方程層流邊界層的微分方程組為

或

任務(wù)4邊界層的動(dòng)量積分方程卡門動(dòng)量積分方程：

一、從邊界層的微分方程出發(fā)建立積分關(guān)系式二、取邊界層控制體微元段建立積分方程也可以從物理上動(dòng)量方程的概念來推導(dǎo)出動(dòng)量積分關(guān)系式。取邊界層微元段控制體，如圖7所示。圖7邊界層微元段控制體

控制面bd上無(wú)質(zhì)量交換。（1）連續(xù)性方程的積分方程

（2）動(dòng)量方程的積分方程依據(jù)動(dòng)量守恒定理，有：

代入連續(xù)性方程的積分方程得：

以上積分關(guān)系式可以改造成更簡(jiǎn)單的形式：

任務(wù)5平板上層流邊界層的計(jì)算一、平板層流邊界層（1）邊界層內(nèi)的流速分布關(guān)系式

圖8層流邊界層速度分布（2）邊界層內(nèi)的切應(yīng)力分布關(guān)系式圖9層流邊界層阻力分布

如需求流體對(duì)平板兩面的總摩擦阻力時(shí)，只需將上式乘2即可。

二、平板上的紊流邊界層（1）光滑平板上的紊流邊界層

（2）光滑平板上的混合邊界層

平板混合邊界層的摩阻系數(shù)為：

或

（3）粗糙平板上的紊流邊界層

任務(wù)6邊界層分離現(xiàn)象及繞流阻力在自然界和工程實(shí)踐中液體繞過凸形物時(shí)，我們常可觀察到物體后面有許多旋渦形成。圖10所示為液體繞圓柱體流動(dòng)時(shí)的情況。這種現(xiàn)象的發(fā)生可以用邊界層的理論加以定性的說明。圖10液體繞圓柱體流動(dòng)圖11光滑邊界層分離流動(dòng)如圖11所示。在C點(diǎn)以下，若壓強(qiáng)繼續(xù)增加，就無(wú)動(dòng)能可以變?yōu)閴耗埽虼酥髁髦挥须x開曲面，以減緩水流擴(kuò)散，下游液體隨即填補(bǔ)主流所空出的區(qū)域，形成旋渦，這種現(xiàn)象叫做邊界層的分離。C點(diǎn)叫做分離點(diǎn)，CD面叫做分離面。圖12有凸出的銳角的繞流C點(diǎn)的位置與物體形狀、表面粗糙度及液流狀態(tài)均有密切關(guān)系，至今尚無(wú)一般方法可以確定。只有當(dāng)固體表面有凸出的銳角時(shí)，其分離點(diǎn)往往就在銳角的尖端，如圖12所示。

綜合實(shí)例

康達(dá)效應(yīng)(CoandaEffect)亦稱附壁作用或柯恩達(dá)效應(yīng)。流體(水流或氣流)有離開本來的流動(dòng)方向，改為隨著凸出的物體表面流動(dòng)的傾向。當(dāng)流體與它流過的物體表面之間存在表面摩擦?xí)r(也可以說是流體粘性)，只要曲率不大，流體會(huì)順著物體表面流動(dòng)。根據(jù)牛頓第三定律，物體施與流體一個(gè)偏轉(zhuǎn)的力，則流體也必定要施與物體一個(gè)反向偏轉(zhuǎn)的力。這種力在輕質(zhì)物體上體現(xiàn)得非常