2015年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(二)試題解析

2015年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（二）試題解析戴又發(fā)一、選擇題共8小題，每小題4分，共32分．下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)將所選選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上．下列反常積分收斂的是（）（A）（B）（C）（D）【解析】．故選D．（2）函數(shù)在內(nèi)（）（A）連續(xù)（B）有可去間斷點(diǎn)（C）有跳躍間斷點(diǎn)（D）有無(wú)窮間斷點(diǎn)【解析】，當(dāng)時(shí)，由，，得，故函數(shù)在內(nèi)有可去間斷點(diǎn)，故選B．（3）設(shè)函數(shù)，若在處連續(xù)，則（）（A）（B）（C）（D）【解析】顯然時(shí)，當(dāng)時(shí)，由，在處連續(xù)，有，所以，故選A．（4）設(shè)函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，其2階導(dǎo)數(shù)的圖形如右圖所示，則曲線的拐點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）（A）0（B）1（C）2（D）3【解析】若函數(shù)的2階導(dǎo)數(shù)存在，那么使函數(shù)2的階導(dǎo)數(shù)為零，且三階導(dǎo)數(shù)不為零的點(diǎn)是函數(shù)的拐點(diǎn)，當(dāng)2階導(dǎo)數(shù)不存在時(shí)，只要在某點(diǎn)處的2階導(dǎo)數(shù)改變符號(hào)，該點(diǎn)就是拐點(diǎn)，顯然的拐點(diǎn)個(gè)數(shù)為2，故選C．（5）設(shè)函數(shù)滿(mǎn)足，則與依次是（）（A），0（B）0，（C），0（D）0，【解析】記，得，于是，所以，；，，故選Ｄ．（6）設(shè)是第一象限中的曲線與直線圍成的平面區(qū)域，函數(shù)在上連續(xù)，則（）（A）（B）（C）（D）【解析】記，區(qū)域可表示為，，，，于是，故選Ｂ．(7)設(shè)矩陣A=，，若集合，則線性方程組有無(wú)窮多解的充分必要條件為（）（A）（B）（C）（D）【解析】由方程組有無(wú)窮多解，得，而當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以或．當(dāng)時(shí)，，所以或．故選Ｄ．（8）設(shè)二次型在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)型為，其中，若，則在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)型為（）（A）（B）（C）（D）【解析】設(shè)二次型對(duì)應(yīng)的矩陣為，由經(jīng)正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)型，得，其中，又因?yàn)椋谑怯?，所以在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)型為．故選Ａ．二、填空題：9~14每小題4分，共24分．請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題紙指定位置上．（9）設(shè)，則．【解析】，，，．所以48．（10）函數(shù)在處的階導(dǎo)數(shù)為.【解析】因?yàn)?，；，；，；，；．?1）設(shè)函數(shù)連續(xù)，由方程，若，則．【解析】由，得，又，，所以．（12）設(shè)函數(shù)是微分方程的解，且在處取得極值3，則．【解析】由，得，于是微分方程的特解為，由，，得，所以．(13)若函數(shù)由方程確定，則．【解析】由，方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，，代入得；方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，，代入得；所以．(14)設(shè)三階矩陣的特征值為，,其中為3階單位矩陣，則行列式．【解析】由矩陣的特征值為，且,可知矩陣的特征值為，所以．三、解答題：15～23小題，共94分。請(qǐng)將解答寫(xiě)在答題紙指定位置上，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明﹑證明過(guò)程或算步驟．（15）（本題滿(mǎn)分10分）設(shè)函數(shù)，若與在是等價(jià)無(wú)窮小，求限的值．【解析】．因?yàn)榕c在是等價(jià)無(wú)窮小，所以，即．（本題滿(mǎn)分10分）設(shè)，是由曲線段及直線所圍成的平面區(qū)域，分別表示繞軸和軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積，若，求的值．【解析】由表示繞軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積，得，由表示繞軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積，得，因?yàn)?，即，，，，．?7）（本題滿(mǎn)分10分）已知函數(shù)滿(mǎn)足，，，求的極值．【解析】由，得，，又由，得，所以．．又因?yàn)?，即，．所以．令，，得，所以的極值為．（18）（本題滿(mǎn)分10分）計(jì)算二重積分，其中．【解析】∵區(qū)域關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，于是，所以，令，，所以．（19）（本題滿(mǎn)分10分）已知函數(shù)，求的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【解析】由，．令得唯一駐點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以有極小值．因?yàn)椋?dāng)，有，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為２．（20）（本題滿(mǎn)分11分）已知高溫物體置于低溫介質(zhì)中，任一時(shí)刻物體溫度對(duì)時(shí)間的變化率與該時(shí)刻物體和介質(zhì)的溫差成正比．現(xiàn)將一初始溫度為120℃，物體在20℃恒溫介質(zhì)中冷卻，30min后該物體溫度降至30℃，若要將物體的溫度繼續(xù)降至21℃，還需冷卻多長(zhǎng)時(shí)間？，【解析】設(shè)物體在時(shí)刻的溫度為，有題意有，解此微分方程，得，又由，所以由，所以所以，令，得，所以還需冷卻30min．（本題滿(mǎn)分11分）已知函數(shù)在區(qū)間上具有2階導(dǎo)數(shù)，，設(shè)，曲線在點(diǎn)處的切線與軸的交點(diǎn)是．證明：．【解析】曲線在點(diǎn)處的切線方程為，令，得切線與軸的交點(diǎn)是，即．由，得，所以；下面證明，令，則由，得時(shí)，，所以即，所以．（22）（本題滿(mǎn)分11分）設(shè)矩陣，且．（1）求的值；（2）若矩陣滿(mǎn)足，其中為單位陣，求．【解析】（1）因?yàn)橛?，得?