25、玻爾茲曼方程-金屬的電導(dǎo)過程

Page1輸運(yùn)現(xiàn)象如果系統(tǒng)中存在像溫度、濃度、電勢等強(qiáng)度量的不均勻性，那么將導(dǎo)致像能量、粒子數(shù)、電荷數(shù)等的流動，這就是輸運(yùn)現(xiàn)象。假定沿晶體的某個方向存在溫度梯度、濃度梯度、電勢梯度，則輸運(yùn)過程中的熱流通量、粒子流通量、電流通量與相應(yīng)的梯度通過如下唯象關(guān)系相聯(lián)系：§6.3玻爾茲曼方程熱流通量粒子流通量電流通量輸運(yùn)理論的任務(wù)就是要從微觀上提揭示這些唯象系數(shù)與內(nèi)稟性質(zhì)的關(guān)系。稱為熱導(dǎo)系數(shù)、擴(kuò)散系數(shù)和電導(dǎo)系數(shù)。這就是所謂的熱導(dǎo)、擴(kuò)散、和電導(dǎo)現(xiàn)象。Page2唯象方程的形式意味著輸運(yùn)過程是一個擴(kuò)散過程。§6.3玻爾茲曼方程金屬的電導(dǎo)過程經(jīng)典的電子氣電導(dǎo)理論描述：

金屬中自由電子在外加電場作用下加速電子受到來自同金屬離子碰撞而表現(xiàn)為阻尼力，阻尼力的大小與速度成正比。達(dá)到電流穩(wěn)定時，電場力和阻尼力相平衡，電子達(dá)到其在電場中獲得的穩(wěn)定速度，即附加的漂移速度

漂移速度與電場成正比，從而解釋歐姆定律。Page3索末菲的電子氣量子理論

同樣能給出歐姆定律，并能更深刻地描繪電導(dǎo)過程的物理圖像。在量子理論里電子的狀態(tài)是以波矢k來表征的，在電場中電子態(tài)的改變是以k的變化來描述的。電子的動量為§6.3玻爾茲曼方程電子的動量或波矢k在外場中的變化規(guī)律與經(jīng)典物理一樣與外場相關(guān)決定于體系的能帶結(jié)構(gòu)Page4§6.3玻爾茲曼方程阻尼力的微觀機(jī)制是金屬中能使電子平面波遭受散射的各種因素，主要是晶格振動和各種晶體缺陷、雜質(zhì)。不同狀態(tài)的電子有不同的速度，它們對電導(dǎo)的貢獻(xiàn)是不同的，所以必須考慮電子的分布函數(shù)。在外場下，將是非平衡的分布函數(shù)

建立確定非平衡分布函數(shù)的方程－－玻爾茲曼方程，解決上述問題。Page5§6.3玻爾茲曼方程一、非平衡分布函數(shù)溫度均勻，無外場條件下，電子氣在熱平衡時的分布函數(shù)－－費(fèi)米分布

考慮晶體的能帶結(jié)構(gòu)以及電子按能量分布，電導(dǎo)公式為分布與電子位置r無關(guān)。f（k）是k波矢空間的分布函數(shù)。如果分布函數(shù)f(k)不受電場E的影響，仍然維持平衡態(tài)下的分布函數(shù)，那么，由Page6§6.3玻爾茲曼方程得到即分布函數(shù)對于k是對稱的。如圖虛線所示。另外，由它對于k是反對稱的，因此，由（2）式即平衡態(tài)下，電流為0。（a）分布函數(shù)在外場下的變化（b）費(fèi)米球在外場下的漂移Page7§6.3玻爾茲曼方程實(shí)際上，在外場作用下，電子在k空間將以恒定的速度沿－E（電場）方向漂移。如圖實(shí)線所示。顯然對于非平衡分布函數(shù)有（a）分布函數(shù)在外場下的變化（b）費(fèi)米球在外場下的漂移它不再是k的對稱函數(shù)，假定外場并不影響能帶結(jié)構(gòu)，仍有Page8§6.3玻爾茲曼方程那么這時就有電流在晶體中流動。除了點(diǎn)陣周期勢對電子的散射外，下列因素是電阻產(chǎn)生的主要原因：晶格振動引起的聲子對電子的無規(guī)散射，它是溫度的函數(shù)；晶體中的缺陷和雜質(zhì)對電子的無規(guī)律散射。Page9§6.3玻爾茲曼方程因此，在整個電導(dǎo)過程中一方面，電子在外場中被加速，使系統(tǒng)偏離平衡態(tài)另一方面，電子受到無規(guī)散射，使電子失去在外場中獲得的定向運(yùn)動，這種不可逆的因素產(chǎn)生兩種效應(yīng)：能量耗散使系統(tǒng)趨于平衡。這樣，在恒定電場下，漂移和碰撞的共同作用就可以使體系處于一種定態(tài)。假定碰撞的平均馳豫時間為那么分布函數(shù)大約偏離平衡態(tài)得到一個非平衡的定態(tài)分布函數(shù)。恢復(fù)平衡所需時間平均馳豫時間的意義Page10§6.3玻爾茲曼方程二、玻爾茲曼方程通過非平衡情況下的分布函數(shù)來研究輸運(yùn)過程的方法通常稱為分布函數(shù)法。在非平衡統(tǒng)計理論中，通過分布函數(shù)來研究輸運(yùn)過程的一個主要方法就是列出粒子狀態(tài)的分布函數(shù)的方程－－－玻爾茲曼方程，并由此求出分布函數(shù)。確立了非平衡態(tài)分布函數(shù)f(k),就可以直接計算電流密度。模型假設(shè)：近平衡態(tài)假設(shè)：系統(tǒng)中每個宏觀小、微觀大的區(qū)域已達(dá)到平衡，但整個系統(tǒng)仍處于非平衡態(tài)Page11§6.3玻爾茲曼方程考慮分布函數(shù)的變化在粒子數(shù)守恒條件下，分布函數(shù)的總變化率為漂移項：溫度梯度、密度梯度和外場引起的分布函數(shù)變化。電子因受碰撞散射引起的分布函數(shù)變化－碰撞項假設(shè)電子分布不隨時間變化而處于穩(wěn)定狀態(tài)外場與散射的作用相互抵消?！?.3玻爾茲曼方程t時刻在（r,k）附近單位體積中的電子是由t-dt時刻在處單位體積中的電子漂移而來的，即漂移

漂移項是外場作用力所引起的電子波矢的漂移以及速度導(dǎo)致位置漂移的結(jié)果。§6.3玻爾茲曼方程實(shí)際上，碰撞也使分布函數(shù)發(fā)生改變，稱為散射項，所以有將上式右邊第一項展開(多元展開)，只保留與dt成正比項，得方程左邊兩項分別為溫度梯度和外場梯度引起的漂移項。對于穩(wěn)態(tài)情況，分布函數(shù)不隨t變化，便得到電子氣系統(tǒng)的玻爾茲曼方程：表示在單位時間由的散射幾率§6.3玻爾茲曼方程假定碰撞碰撞對應(yīng)于不可逆過程，它迫使系統(tǒng)趨于平衡分布，由于聲子或雜質(zhì)的散射，電子可以從躍遷表示在單位時間由的散射幾率在單位時間由態(tài)散射到所有自旋相同的的凈減幾率為表示末被占據(jù)的幾率a表示為單位時間中由于碰撞離開（r,k）處單位體積的電子數(shù)§6.3玻爾茲曼方程在單位時間由所有態(tài)散射到的凈增幾率為兩部分之差就是由于碰撞導(dǎo)致的分布函數(shù)的變化：同樣得到定態(tài)玻爾茲曼方程b表示為單位時間中由于碰撞進(jìn)入（r,k）處單位體積的電子數(shù)本節(jié)結(jié)束§6.5金屬的電導(dǎo)率一、馳豫時間近似玻爾茲曼方程比較復(fù)雜，求解困難，主要在于碰撞項。為了求解方便，我們作一些簡化。對于碰撞項，采用馳豫時間近似，當(dāng)外場取消后，系統(tǒng)經(jīng)厲時間恢復(fù)到平衡分布，分布函數(shù)由馳豫時間決定：負(fù)號表示隨時間增長，偏離平衡程度減小，上式有解：假定非平衡的穩(wěn)態(tài)分布離平衡分布不遠(yuǎn)，f可寫成：系統(tǒng)平衡時的的費(fèi)米分布函數(shù)系統(tǒng)在t=0時分布函數(shù)是系統(tǒng)恢復(fù)平衡的馳豫時間，反映碰撞對分布函數(shù)的影響?？紤]到不同的k態(tài)回復(fù)的差異，它應(yīng)該是k的函數(shù)。利用玻爾茲曼方程可寫為§6.5金屬的電導(dǎo)率小結(jié)：沒有外場或溫度梯度，系統(tǒng)不會離開平衡分布；

有了外場和溫度梯度，系統(tǒng)的分布才會偏離平衡，無休止地漂移。沒有碰撞，系統(tǒng)不會從非平衡分布恢復(fù)到平衡分布；有了碰撞機(jī)制，就使漂移受到遏制，被限制在一定的程度而達(dá)到穩(wěn)定的分布?！?.5金屬的電導(dǎo)率二、金屬電導(dǎo)率電導(dǎo)率公式設(shè)金屬處于恒溫下，在外電場E作用下形成穩(wěn)定的電流密度j。此時玻爾茲曼方程為：

通常外電場強(qiáng)度比原子內(nèi)部電場強(qiáng)度小得多，例如,強(qiáng)電場≈107

伏/米，而原子內(nèi)部電場≈1011伏/米，二者相差4個量級。這時可認(rèn)為f偏離平衡分布不大，于是有

§6.5金屬的電導(dǎo)率§6.5金屬的電導(dǎo)率由于f0是能量E（k）的函數(shù)：（22）式可寫為：知道分布函數(shù)表達(dá)式，就可計算電流密度：§6.5金屬的電導(dǎo)率由于所以f0是k的偶函數(shù)；v(k)是波矢k的奇函數(shù)，這樣有利用計算態(tài)密度時，將對k空間中的體積積分改成在等能面上積分的技巧§6.5金屬的電導(dǎo)率利用計算態(tài)密度時，將對k空間中的體積積分改成在等能面上積分的技巧圖中所示體積元為由于所以電流密度為§6.5金屬的電導(dǎo)率這里f0是平衡分布，而于是電流密度就簡化為在費(fèi)米面上的積分對于立方晶體，若電場沿x方向，電流也沿ox方向，則上式為§6.5金屬的電導(dǎo)率立方結(jié)構(gòu)的金屬的電導(dǎo)率為由于對稱性又所以§6.5金屬的電導(dǎo)率由此