2023年高考數(shù)學(xué)大招3特殊值極限法秒解函數(shù)圖象題

大招3特殊值極限法秒解函數(shù)圖象題

大招總結(jié)

函數(shù)圖象是函數(shù)的靈魂，識(shí)圖、作圖與用圖是高考的重點(diǎn)考查方向.中學(xué)階段

函數(shù)圖象的描繪一般是描點(diǎn)作圖和變換作圖.選擇題中，根據(jù)點(diǎn)在圖象上，抓

住特殊值，可以代人排除.由基本的極限知識(shí)，也容易把握住變化趨勢(shì)，快速

做出選擇題.解圖象選擇題的一般步幌是先看定義域，其次看有沒有特殊值，

然后看極限值，如果還不行，最后判斷單調(diào)性.因?yàn)閱握{(diào)性涉及到求導(dǎo)，有些

復(fù)雜，所以不到萬不得已，不要用.

附：函數(shù)圖象基礎(chǔ)知識(shí)

1.函數(shù)圖象的識(shí)辨可從以下方面人手：

(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上

下位置；

(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；

(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性；

(4)從函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)；

(5)從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象.

2.掌握以下兩個(gè)結(jié)論，會(huì)給解題帶來方便：

⑴/(%)為偶函數(shù)=/(x)=/(|x|).(2)若奇函數(shù)在x=0處有意義，則

/(0)=0.

3.圖象變換

(1)平移變換

內(nèi)(x)+無

上k(k>0)

移個(gè)單位

左移右移

y=f(x+h)\]y=f(x)\*|y=/(x-A)

A個(gè)單位九個(gè)單位

(A>0)下*(*>0)(A>0)

移個(gè)單位

-k

(2)對(duì)稱變換

⑴)，=/意)關(guān)于謝對(duì)稱〉y=_/(%);

(2)y=),=/(一幻；

(3)y=/(x)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱〉y=_/(-x)；

(4)y=a\a>0且awl)—關(guān)土'=*對(duì)稱>y=log”x(a〉0且4工1).

(3)伸縮變換

橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊槐?，縱坐標(biāo)不變

①y=/(x)--------------------------1y=f(ax).

一、縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?。倍，橫坐標(biāo)不變,,、

?y=/(x)--------------------------=a/(x).

(4)翻折變換

GC、保留工軸上方圖象

①尸八外將，軸下方圖象n折上去9=1/(x)l-

自〃、保留，軸右傅圖象..

@y=f(Q技二亡利七.=f(I力)?

將y軸右側(cè)圖象翻折到左側(cè)

典型例題

[x=3t-4t3

例1.(2021?上海)已知參數(shù)方程,一，"-1,1],以下哪個(gè)圖符合該

[y=2rVr?

?程()

解利用特株值法進(jìn)行排除,

當(dāng)y=0時(shí)，=0,1,-1,

當(dāng)t=0時(shí)，x=0,

當(dāng)t—\時(shí)，x=—1,

當(dāng)r=-l時(shí)，x=l,

故當(dāng)y=()時(shí)，%=。或1或T即圖象經(jīng)過(-1,0),(0,0),(1,0)三個(gè)點(diǎn),

對(duì)照四個(gè)選項(xiàng)中的圖象，只有選項(xiàng)B符合要求.

故選B.

例2.(2021?天津)函數(shù)/?(犬)=型義的圖象大致為()

X+2

ABCD

解根據(jù)題意，/(幻=空詈，其定義域?yàn)閧X|XHO},有

人—幻=坐1=/(幻，是偶函數(shù)，排除AC,

x+2

在區(qū)間(0,1)上，ln|x|=lnx<0,必有/(x)<0,排除D,故造B.

例3.函數(shù)f(x)=a'--(a>O,a^l)的圖象可能是()

a

a

函數(shù)f(x)=ax--,為增函數(shù)，且當(dāng)x=-l時(shí)，/(-1)=0,即函數(shù)愜經(jīng)過

a

點(diǎn)(-1,0),故選D.方法2:當(dāng)x=-l,y=O,特殊值代入，選D.

例4函數(shù)y=log“(x+a)(a>0,axl)的圖象可能是()

解方法1:若?>1,函數(shù)y=log〃(x+a)為增函數(shù)，且圖象是把y=log“x

左移?個(gè)單位，由此可知選項(xiàng)C中的圖象等合.故選C.

方法2：當(dāng)x=O,y=l,特殊值代入，選C.

例5函數(shù)/(幻=電區(qū)的圖象可能是()

解方法1：■/(幻=皿勾,;.函數(shù)定義域?yàn)?e,0)U(0,m)，

X

/(—月=皿二以=_業(yè)1=-/(幻,二函數(shù)/(X)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)

XX

稱.故排除B、C.?/當(dāng)0<x<l時(shí)，lnx<0,二

/(x)=U3<0,xe(0,l).故排除D.故選A.

X

方法2:此函數(shù)分子是偶函數(shù)，分母是奇函數(shù)，所以這個(gè)函教是奇函牧，故排

除B和C,又因?yàn)閤趨向于正無窮時(shí)，函數(shù)值為正，所以選A.

例6函數(shù)y=lg(|x+l|)的大致圖象是()

解方法1：--函數(shù)y=lg(|x+l|)=|IS(X+1)，X>-1當(dāng)x>-\時(shí)，

Jg(-X-]),x<—1

y=lg(尤+1)的圖象，是函數(shù)y=lgx的圖象向左平移1個(gè)單位得到的；

當(dāng)%<-1時(shí)，y=lg(-x-l)的圖象，與函數(shù)y=lg(尤+1)的圖象關(guān)于直

線x=T對(duì)稱，.?.函數(shù)y=lg(|x+l|)的大致圖象是B.故選B.

方法2：直接看定義域xwT,只有B選項(xiàng)符合.

例7已知函數(shù)f(x)=4-x2,y=g(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí),

g(x)=log2X,則函數(shù)/(x)-g(x)的大致圖象為()

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=4-x2為偶函數(shù)，y=g(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以

函數(shù)fM-g(x)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以排除A,B.當(dāng)

2

X—>+oo時(shí)，g(x)=log2x>0,f(x)=4-x<0.所以此時(shí)/(x)-g(x)<0.所以

排除C.故選D.

例&函數(shù)y=lg」一的大致圖象為()

次+1|

解方法1函數(shù)y=lg」一，故函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=-l對(duì)稱.當(dāng)

|x+l|

x>-l時(shí)，由于y=lg」一=lg」一是減函數(shù)，圖象從左向右是下降的，故

|x+l|x+\

選D.

方法2:先看定義域，排除A和C,然后x超向于正無窮時(shí)，函數(shù)值為

負(fù)，所以選D.

例9.函數(shù)y=k>g“|x+b|(a>O,awl,ab=l)的圖像只可能是()

解由a>O,ab=\,可知/?>0,又y=log"|x+Z?|的圖象關(guān)于x--b

對(duì)稱，故排除A、C.由選項(xiàng)B、D可知-人<一1,.?)>1,.?.0<。<1,由單調(diào)

性可知，B正確.故選B.

例K)函數(shù)>的圖象大致為()

解方法1:函數(shù)有意義，需使e^-e-^O,其定義域?yàn)閧x|xwO},排除

x+p-x巳2Ki2

C,D,又因?yàn)槎?e三二=三==1+*1，所以當(dāng)尤>0時(shí)函數(shù)為減函

e-ee-1e—1

數(shù)，故選A.方法2:當(dāng)x從正無窮趨向于0時(shí)，函數(shù)值趨向于正無窮，所

以選A.

例11函數(shù)y=4的圖象大致是（）

?e*

解函數(shù)是非奇非偶的,故可排除C、D,對(duì)于選項(xiàng)A、B,當(dāng)x趨向于正

無窮大時(shí)，函數(shù)值超向于0,故可排除B,故選A.

自我檢測(cè)

1.（2019.全國(guó)卷III）函數(shù)y=a在［-6,6］的圖象大致為（）

答案B

解y=/?）=之一，分子是奇函數(shù)，分母是偶函數(shù)，所以/（%）是奇函數(shù).

2+2

2"

因此排除C.又人4）=/口>1，因此排除A,D.故選B.

1.（2019?全國(guó)卷I）函數(shù)/（x）=sinx+：的圖象在［一肛劃上的大致為

COSX+JT

（）

答案D

解???分子是奇函數(shù),分母是偶函數(shù)為,/（X）為［-乃，乃］上的奇函數(shù)，因此排

sin?+乃71

除A;又/(%)=2＞0,因此排除B,C.故選D.

COS7T+7V\+7T-

2.（2018?浙江）函數(shù)y=2wsin2x的圖象可能是（）

答案D

解根據(jù)函數(shù)的解析式y(tǒng)=2wsin2x,得到函數(shù)的圖象為奇函數(shù),故排除A和

B.當(dāng)x=-時(shí)，函數(shù)的值也為0，故排除C.故選D.

2

3.（2018?全國(guó)卷III）函數(shù)y=-x4+x2+2的圖象大致為（）

解函數(shù)過定點(diǎn)（0,2）,排除A,B.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

32

y-（x）=-4X+2%=-2x（2x-1）,由,f（x）＞0得2x（2%2-1）＜（）,得

x〈-節(jié)或0＜x〈手，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，由/'（x）＜0得2%（2/-1）〉0,

得》〉也或一受＜》＜0,此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，排除C.也可以利用

22

/(1)=一1+1+2=2〉0,排除A,B.故選D.

4.（2017-全圖卷I）函數(shù)y=回生的部分圖象大致為（）

1-COSX

答案c

解函數(shù)可知函數(shù)是奇函數(shù)，排除選項(xiàng)B.當(dāng)X5時(shí)，

1-C0SX

/（萬）=0,排除D.當(dāng)xf0+（可以理解為%=0.00001）時(shí)，f（x）＞Q,排除

A.故選C.

例6.函數(shù)＞=2/一/在［-2,2］的圖像大致為（）

答案D

2

解函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)x=±2時(shí)，y=8-ee（0,l）,故排除A,B.當(dāng)

xe［0,2］時(shí)，/（x）=y=2x2—e\，r（x）=4x—e*=0有解，故函數(shù)

y=2/一炭在［0,2］不是單調(diào)函數(shù)，故排除C.

故選D.

例7.函數(shù)丁=黑的大致圖像為（）

ABCD

答案A

解分子為奇函數(shù)，分母為偶函數(shù)，所以函數(shù)為奇函數(shù)，排除C和D.當(dāng)%一0+

（可以理解為x=0.00001）時(shí)，f（x）＞0,排除B.故選A

&函數(shù)y咨的部分圖象大致為。

答案B

解根據(jù)題意，對(duì)于/(x)=sinx?『，有

e-1

p-v+1e*+1

/(-x)=sin(-x)-^^=sinx?2=/(x),即函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，據(jù)此可以

e-+1e-1

e，+I

排除A、C.又由在((),乃)上，sinx>0,與一>0,有/'(九)>(),則函數(shù)

e-1

/(x)>0,據(jù)此排除D;故選B.

2.已知函數(shù)/(%)=6、+。龍.

(1)/(X)在x=0處的切線過點(diǎn)(2,-1),求。的值；

(2)討論函數(shù)/(x)在(1,收)上的單調(diào)性；

⑶令a=l,F(x)=xf\x)-x2,若F(X)=F(X2)(X產(chǎn)Z)，證明：％+%2<一2.

解析：⑴f\x)=ex+a,：.f(0)=e(l=1,/'(0)=l+a,

.?./(%)在％=0處的切線為》—1=3+1)"將(2,—1)點(diǎn)帶入切線方程可得。=-2.

⑵由⑴得/'(無)="+。.

①當(dāng)時(shí)，r(x)20恒成立，.??/(X)在(1,+8)上單調(diào)遞增；

②當(dāng)a<0時(shí)，令/'(x)=(),解得x=ln(—a),

當(dāng)尤<ln(-a),f'(x)<0;當(dāng)x>ln(-a),/'(x)>(),

/(x)在(-a)/n(—a))上單調(diào)遞減，在(ln(-?),+a))上單調(diào)遞增，

???當(dāng)ln(-a)<1,即-eWa<0時(shí)，/(x)在(1,+oo)上單調(diào)遞增;

當(dāng)In(-a)>1,即a<—e時(shí)，/(x)在(l,ln(-?))上單調(diào)遞減，在(ln(-a),+s)上單調(diào)遞增.

綜上所述：

當(dāng)aN-e時(shí)，/(幻在上單調(diào)遞增；

當(dāng)a<—e時(shí)，/(x)在(l,ln(—0)上單調(diào)遞成在(ln(—a),+a>)上單調(diào)遞增.

(3)證明;F(x)=xex,尸'(%)=旄*+d=(l+x)e”.令尸(x)=0,x=-l.

當(dāng)％<—1時(shí),F(x)<0,

當(dāng)%>-1時(shí)，F(xiàn)'(x)>0.尸(x)在(—8,—1)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

又"(())=(),

，當(dāng)x<0時(shí)，F(xiàn)(x)<0,當(dāng)x>0時(shí)，F(xiàn)(x)>0.

由題可知/(%)=/(々)(尤1。無2).不妨設(shè)％<尤2，則有％<-1<々<0，

對(duì)于％<-1,-2-X1<-1,現(xiàn)比較F(%2)與F(-2")的大小.

x

F(X2)~F(-2-xt)=/(尤|)-F(-2-x,)=x[e'+(2+無])e-f,

設(shè)g(x)=xe'+(2+x)e~2~x(x<-l),g'(x)=(1+x)(e*-e~2~x),

可證：當(dāng)x<-l時(shí),1+止<0,ex-e~2~x<0,g'(x)>0.

二函數(shù)y=g(無)在(F,-D單調(diào)遞增.

Xvg(-l)=--+-=0,Ag(x)<g(-l)=0,F(x)-F(-2-X))<0.

ee2

?.?工2-2-%€(-1,+00)且/0)在(一1,+00)單調(diào)遞增，X2<-2-%1,即可+々<-2.

3.已知函數(shù)/(幻=。111%-12+(2。-1)式。€口)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)

(1)求a的取值范圍；

(2)設(shè)X],%2是/(X)的兩個(gè)零點(diǎn)，證明X+%2>2。.

解析：⑴/(x)的定義域是(