泉州五校2015高考理科數(shù)學(xué)“最后一卷”

2015年南僑中學(xué)、荷山中學(xué)、永春僑中、南安三中、永春三中高中畢業(yè)班“最后一卷”聯(lián)考理科數(shù)學(xué)學(xué)科試卷本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)，第Ⅱ卷第21題為選考題，其他題為必考題．滿分150分．考試時(shí)間120分鐘．第Ⅰ卷（選擇題共50分）一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，滿分50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1．設(shè)集合,集合，則為() A． B． C．D．2.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S值為()A．9 B．16C．25 D．363．等差數(shù)列中，，則數(shù)列的公差為（）A．1B．2C．3D．44.“”是“”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件正視圖側(cè)視圖俯視圖5343（6題圖）5.已知直線正視圖側(cè)視圖俯視圖5343（6題圖）則的值為（）.A．B．C．D．6.若某幾何體的三視圖(單位：)如圖所示，則該幾何體的體積等于()A．B．C．D．7．如圖，四邊形為矩形，，，以為圓心，1為半徑畫圓，交線段于E，在圓弧DE上任取一點(diǎn)P，則直線AP與線段BC有公共點(diǎn)率為（）A．B．C．D．8.已知半圓的直徑，為圓心，為半圓上不同于的任意一點(diǎn)，若為半徑上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（）Ａ．Ｂ.Ｃ．Ｄ.9．設(shè)方程與的根分另為，則（）A．B．C．D．10.已知函數(shù)QUOTE,QUOTE,若QUOTE,使QUOTE,則實(shí)數(shù)QUOTE的取值范圍是（）A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.QUOTE第Ⅱ卷（非選擇題共100分）二、填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分.）11.復(fù)數(shù)(i為虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)是12.若變量滿足約束條件,則的最大值是13．展開式中項(xiàng)的系數(shù)490,則實(shí)數(shù)的值為.14.已知正項(xiàng)，奇數(shù)項(xiàng)成公差為1的等差數(shù)列，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)點(diǎn)等于15.平面內(nèi)兩定點(diǎn)M（0，-2）和N(0,2），動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿足，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線E，給出以下命題：①m，使曲線E過坐標(biāo)原點(diǎn)；②對m，曲線E與x軸有三個(gè)交點(diǎn)；③曲線E只關(guān)于y軸對稱，但不關(guān)于x軸對稱；④若P、M、N三點(diǎn)不共線，則△PMN周長的最小值為2＋4;⑤曲線E上與M,N不共線的任意一點(diǎn)G關(guān)于原點(diǎn)對稱的另外一點(diǎn)為H，則四邊形GMHN的面積不大于m。其中真命題的序號(hào)是．（填上所有真命題的序號(hào)）三、解答題（本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16．在中,角所對的邊分別為，，．(Ⅰ)求角的大??；（Ⅱ）若，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間17．4月10日，2015《中國漢字聽寫大會(huì)》全國巡回賽正式啟動(dòng)，并拉開第三屆“漢聽大會(huì)”全國海選的帷幕。某市為了了解本市高中學(xué)生的漢字書寫水平，在全市范圍內(nèi)隨機(jī)抽取了近千名學(xué)生參加漢字聽寫考試，將所得數(shù)據(jù)整理后，繪制出頻率分布直方圖如圖所示．（Ⅰ）求頻率分布直方圖中的值,試估計(jì)全市學(xué)生參加漢字聽寫考試的平均成績；（Ⅱ）如果從參加本次考試的同學(xué)中隨機(jī)選取1名同學(xué)，求這名同學(xué)考試成績在80分以上（含80分）的概率；（Ⅲ）如果從參加本次考試的同學(xué)中隨機(jī)選取3名同學(xué)，這3名同學(xué)中考試成績在80分以上（含80分）的人數(shù)記為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．（注：頻率可以視為相應(yīng)的概率）18.如圖,在四棱錐B-AA1C1C中,AA1C1C是邊長為4的正方形,平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.(Ⅰ)求證:AA1⊥平面ABC;(Ⅱ)求二面角A1-BC1-C的余弦值;(Ⅲ)證明:在線段上存在點(diǎn)D,使得AD⊥A1B,并求的值.19.19.已知橢圓C：的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端為的連線互相垂直，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最大距離 （Ⅰ）求橢圓C的方程．（Ⅱ）過軸上一點(diǎn)（的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，試問：在橢圓C上是否存在定點(diǎn)T，使得無論直線如何轉(zhuǎn)動(dòng)，以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)T?若存在，求出的值及點(diǎn)T的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.20.已知函數(shù)（Ⅰ）求函數(shù)處的切線方程;（Ⅱ）若為實(shí)數(shù)，函數(shù)上的有極值，求的取值范圍；（Ⅲ）試問是否存在，使得恒成立？若存在，請寫出的值，并證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由。21．（本小題滿分14分）本題設(shè)有（1）（2）（3）三個(gè)選考題，每題7分，請考生任選兩題作答，共14分．如果多做，則按所做的前兩題計(jì)分．(1)（本小題滿分7分）選修4-2：矩陣與變換已知矩陣A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,11))，B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(02,32)).（Ⅰ）求滿足條件AM＝B的矩陣M；（Ⅱ）若矩陣M對應(yīng)的變換將曲線C：x2＋y2＝1變換為曲線C′，求曲線C′的方程(2)（本小題滿分7分）選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知在直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，直線SKIPIF1<0的參數(shù)方程為SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為參數(shù)），在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0取相同的長度單位，且以原點(diǎn)SKIPIF1<0為極點(diǎn)，以SKIPIF1<0軸正半軸為極軸）中，曲線SKIPIF1<0的極坐標(biāo)方程為SKIPIF1<0.（Ⅰ）求直線SKIPIF1<0普通方程和曲線SKIPIF1<0的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0是曲線SKIPIF1<0上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線SKIPIF1<0的距離的取值范圍.(3)（本小題滿分7分）選修4－5：不等式選講設(shè)不等式的解集與關(guān)于的不等式的解集相同．（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）求函數(shù)的最大值，以及取得最大值時(shí)的值.2015年南僑中學(xué)、荷山中學(xué)、永春僑中、南安三中、永春三中高中畢業(yè)班“最后一卷”聯(lián)考理科數(shù)學(xué)學(xué)科試卷答案本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)，第Ⅱ卷第21題為選考題，其他題為必考題．本試卷共5頁．滿分150分．考試時(shí)間120分鐘．第Ⅰ卷（選擇題共50分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，滿分50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．設(shè)集合,集合,則為 A． B． C．D．2.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S值為(B)A．9 B．16C．25 D．363．等差數(shù)列中，，則數(shù)列的公差為（B）A．1B．2C．3D．44.“”是“”的(B)A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件正視圖側(cè)視圖俯視圖5343（6題圖）5.已知直線與冪函數(shù)的圖像將于正視圖側(cè)視圖俯視圖5343（6題圖）A．B．C．D．6.若某幾何體的三視圖(單位：)如圖所示，則該幾何體的體積等于(B)A．B．C．D．7．如圖，四邊形為矩形，，，以為圓心，為半徑畫圓，交線段于，在圓弧上任取一點(diǎn)，則直線與線段有公共點(diǎn)的概率為（C）A．B．C．D．8.已知半圓的直徑，為圓心，為半圓上不同于的任意一點(diǎn)，若為半徑上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是(D)Ａ．Ｂ.Ｃ．Ｄ.9．設(shè)方程與的根分另為，則（A）A．B．C．D．10.已知函數(shù)QUOTE,QUOTE,若QUOTE,使QUOTE,則實(shí)數(shù)QUOTE的取值范圍是（B）A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.QUOTE第Ⅱ卷（非選擇題共100分）二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分.11.復(fù)數(shù)z＝i(i＋1)(i為虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)是－1－i12.若變量滿足約束條件,則的最大值是5/313．展開式中項(xiàng)的系數(shù)490,則實(shí)數(shù)的值為.答案：14.已知正項(xiàng)，奇數(shù)項(xiàng)成公差為1的等差數(shù)列，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)點(diǎn)等于答案：15.平面內(nèi)兩定點(diǎn)M（0，-2）和N(0,2），動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿足，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線E，給出以下命題：①m，使曲線E過坐標(biāo)原點(diǎn)；②對m，曲線E與x軸有三個(gè)交點(diǎn)；③曲線E只關(guān)于y軸對稱，但不關(guān)于x軸對稱；④若P、M、N三點(diǎn)不共線，則△PMN周長的最小值為2＋4;⑤曲線E上與M,N不共線的任意一點(diǎn)G關(guān)于原點(diǎn)對稱的另外一點(diǎn)為H，則四邊形GMHN的面積不大于m。其中真命題的序號(hào)是．（填上所有真命題的序號(hào)）1、4、5三、解答題（本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16．在中,角所對的邊分別為，，．(1).求角的大?。?2).若，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間16.解：（Ⅰ）由得由得,又，得（Ⅱ）由余弦定理可得=由得所以，函數(shù)的對稱軸為由，得所以所求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為17．4月10日，2015《中國漢字聽寫大會(huì)》全國巡回賽正式啟動(dòng)，并拉開第三屆“漢聽大會(huì)”全國海選的帷幕。某市為了了解本市高中學(xué)生的漢字書寫水平，在全市范圍內(nèi)隨機(jī)抽取了近千名學(xué)生參加漢字聽寫考試，將所得數(shù)據(jù)整理后，繪制出頻率分布直方圖如圖所示．（Ⅰ）求頻率分布直方圖中的值,試估計(jì)全市學(xué)生參加漢字聽寫考試的平均成績；（Ⅱ）如果從參加本次考試的同學(xué)中隨機(jī)選取1名同學(xué)，求這名同學(xué)考試成績在80分以上（含80分）的概率；（Ⅲ）如果從參加本次考試的同學(xué)中隨機(jī)選取3名同學(xué)，這3名同學(xué)中考試成績在80分以上（含80分）的人數(shù)記為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．（注：頻率可以視為相應(yīng)的概率）解：（Ⅰ）,,∴,………2分估計(jì)全市學(xué)生參加漢字聽寫考試的平均成績?yōu)椋骸?分（Ⅱ）設(shè)被抽到的這名同學(xué)考試成績在80分以上為事件A．答：被抽到的這名同學(xué)考試成績在80分以上的概率為0.4．………………6分（Ⅲ）由（2）知，從參加考試的同學(xué)中隨機(jī)抽取1名同學(xué)的成績在80分以上的概率為，X可能的取值是0，1，2，3．；；；．的分布列為：0123………………11分所以．………13分（或，所以．）18.如圖,在四棱錐B-AA1C1C中,AA1C1C(Ⅰ)求證:AA1⊥平面ABC;(Ⅱ)求二面角A1-BC1-C的余弦值;(Ⅲ)證明:在線段上存在點(diǎn)D,使得AD⊥A1B,并求的值.(=1\*ROMANI)因?yàn)锳A1C1C為正方形,所以AA1⊥AC.因?yàn)槠矫鍭BC⊥平面AA1C1C,且AA1垂直于這兩個(gè)平面的交線AC,所以AA1⊥平面ABC.(=2\*ROMANII)由(=1\*ROMANI)知AA1⊥AC,AA1⊥AB.由題知AB=3,BC=5,AC=4,所以AB⊥AC.如圖,以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-,則B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4),設(shè)平面A1BC1的法向量為,則,即,令,則,,所以.同理可得,平面BCC1的法向量為,所以.由題知二面角A1-BC1-C為鈍角,所以二面角A1-BC1-C的余弦值為.(=3\*ROMANIII)設(shè)D是直線BC1上一點(diǎn),且.所以.解得,,.所以.由,即.解得.因?yàn)?所以在線段BC1上存在點(diǎn)D,使得AD⊥A1B.此時(shí),.19．（本小題滿分13分）已知橢圓C：的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端為的連線互相垂直，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最大距離 （Ⅰ）求橢圓C的方程．（Ⅱ）過軸上一點(diǎn)（的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，試問：在橢圓C上是否存在定點(diǎn)T，使得無論直線如何轉(zhuǎn)動(dòng)，以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)T?若存在，求出的值及點(diǎn)T的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.解：（Ⅰ）設(shè)橢圓C：的右焦點(diǎn)為依題目意得：解得：所以，橢圓方程為：（Ⅱ）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，由，得：此時(shí)以為直徑的圓的方程為：當(dāng)：直線的斜率為0時(shí)，直線的方程為此時(shí)以為直徑的圓的方程為：要使定點(diǎn)存在，可知方程聯(lián)立方程組只有一解，解得所以點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，可能橢圓上存在定點(diǎn)滿足題意.當(dāng)過點(diǎn)直線斜率存在時(shí)，存在定點(diǎn)滿足題意，設(shè)直線的方程為：，由，得：此時(shí)，因些，過點(diǎn)直線斜率存在時(shí)，以為直徑的圓過定點(diǎn)綜上所述：存在定點(diǎn)滿足題意。20.已知函數(shù)（Ⅰ）求函數(shù)處的切線方程。（Ⅱ）若為實(shí)數(shù)，函數(shù)上的有極值，求的取值范圍；（Ⅲ）試問是否存在，使得恒成立？若存在，請寫出的值，并證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由。解：（Ⅰ）因?yàn)?，……?分所以函數(shù)在處的切線方程為y=1……3分（Ⅱ）因?yàn)?，，由，令，得?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，…………4分所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減。所以函數(shù)在處取得極大值?！?分因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上有極值，所以，解得。…………7分（=3\*ROMANIII）因?yàn)檫^點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的圖象可知，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象恒有公共點(diǎn)，不合題意，所以，又，故。在不等式中，令，得，又，所以。以下證明，時(shí)命題成立，即證恒成立………………8分方法一：因?yàn)?。?）（=1\*romani）設(shè)，則，令，得。則在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增。所以，即不等式成立?！?0分（=2\*romanii）設(shè)，則，令，得，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減。所以，即不等式成立?！?3分綜上可知（*）式成立，即存在，滿足題意?！?4分方法二：，且。（*）（=1\*romani）設(shè)，。令，得。則在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增。所以，即恒成立。……………10分（=2\*romanii）設(shè)，則，令，得，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增。所以，即恒成立。……………13分綜上可知（*）式成立，即存在，滿足題意。………14分21、1、已知矩陣A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,11))，B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(02,32)).(1)求滿足條件AM＝B的矩陣M；(2)矩陣M對應(yīng)的變換將曲線C：x2＋y2＝1變換為曲線C′，求曲線C′的方程解(1)設(shè)M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))，AM＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,11))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,a＋cb＋d))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(02,32))，得a＝0，b＝2，c＝3，d＝0.∴M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(02,30)).(2)設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P(x，y)在矩陣M對應(yīng)的變換作用下變?yōu)辄c(diǎn)P′(x′，y′)，則Meq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(02,30))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2y,3x))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x′,y′))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2y＝x′，,3x＝y(tǒng)′，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(x′,2)，,x＝\f(y′,3)，))代入曲線C：x2＋y2＝1，得(eq\f(x′,2))2＋(eq\f(y′,3))2＝1.∴曲線C′的方程是eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1.2、已知在直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，直線SKIPIF1<0的參數(shù)方程為SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為參數(shù)），在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0取相同的長度單位，且以原點(diǎn)SKIPIF1<0為極點(diǎn)，以SKIPIF1<0軸正半軸為極軸）中，曲線SKIPIF1<0的極坐標(biāo)方程為SKIPIF1<0.=1\*GB3①求直線SKIPIF1<0普通方程和曲線SKIPIF1<0的直角坐標(biāo)方程；=2\*GB3②設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0是曲線SKIPIF1<0上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線SKIPIF1<0的距離的取值范圍.【答案】=1\*GB3①直線SKIPIF1<0的普通方程為：SKIPIF1<0.…2分曲線SKIPIF1<0的直角坐標(biāo)方程為：SKIPIF1<0【或SKIPIF1<0】.…4分=2\*GB3②曲線SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)方程為SKIPIF1<0，圓心SKIPIF1<0，半徑為1；∴圓心S