3.3.1 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程（5大題型）（原卷版）

拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程一、拋物線的定義1、定義：平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l（F不在l上）的距離相等的點(diǎn)的軌跡.2、焦點(diǎn)：定點(diǎn)F叫作拋物線的焦點(diǎn).3、準(zhǔn)線：直線l叫作拋物線的準(zhǔn)線.4、集合表示：.5、注意事項(xiàng)：（1）定點(diǎn)F不在定直線l上，否則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡不是拋物線，而是過(guò)點(diǎn)F垂直于直線l的一條直線．（2）拋物線的定義中指明了拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離的等價(jià)性，故二者可相互轉(zhuǎn)化，這也是利用拋物線定義解題的實(shí)質(zhì)．二、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程開(kāi)口方向向右向左向上向下三、由拋物線方程求焦點(diǎn)與準(zhǔn)線方程的基本方法1、已知拋物線方程求焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程時(shí)，一般先將所給方程式化為標(biāo)準(zhǔn)形式，由焦點(diǎn)方程準(zhǔn)確得到參數(shù)，從而得焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程，要注意；2、焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸由標(biāo)準(zhǔn)方程的一次項(xiàng)確定，系數(shù)為正，焦點(diǎn)在正半軸；系數(shù)為負(fù)，焦點(diǎn)在負(fù)半軸。四、求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法1、直接法：直接利用題中已知條件確定焦參數(shù)；2、待定系數(shù)法：先設(shè)出拋物線的方程，再根據(jù)題中條件，確定焦參數(shù).當(dāng)焦點(diǎn)位置不確定時(shí)，應(yīng)分類討論或設(shè)拋物線方程為或；注意：（1）已知焦點(diǎn)坐標(biāo)或準(zhǔn)線方程可確定拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式；（2）已知拋物線過(guò)某點(diǎn)不能確定拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，需根據(jù)四種拋物線的圖形及開(kāi)口方向確定。題型一對(duì)拋物線定義的理解【例1】（2023·河北·高二校聯(lián)考期中）若為拋物線上一點(diǎn)，且到焦點(diǎn)的距離為9，則到軸的距離為（）A．7B．10C．8D．9【變式11】（2023·江西·高二浮梁縣第一中學(xué)校聯(lián)考期中）設(shè)拋物線：（）的焦點(diǎn)為，若點(diǎn)在上，則（）A．B．C．D．【變式12】（2023·河北邢臺(tái)·高二校聯(lián)考期中）已知F是拋物線C：的焦點(diǎn)，A，B是拋物線C上的兩點(diǎn)，，則線段AB的中點(diǎn)到x軸的距離為（）A．3B．4C．5D．6【變式13】（2023·黑龍江哈爾濱·高二哈師大附中校考期中）已知?jiǎng)狱c(diǎn)P(x，y)滿足，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是（）A．直線B．橢圓C．雙曲線D．拋物線題型二求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程【例2】（2023·廣西梧州·高二校聯(lián)考期中）準(zhǔn)線方程為的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A．B．C．D．【變式21】（2023秋·湖南株洲·高二校考階段練習(xí)）焦點(diǎn)坐標(biāo)為的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A．B．C．D．【變式22】（2023·江蘇連云港·高二校聯(lián)考期中）（多選）已知拋物線的焦點(diǎn)在直線上，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A．B．C．D．【變式23】以雙曲線的左焦點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_____.題型三與拋物線有關(guān)的軌跡方程【例3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)且與直線相切的動(dòng)圓圓心的軌跡方程為．【變式31】（2023·江蘇·高二南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考階段練習(xí)）若動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線的距離大1，則的軌跡方程是．【變式32】（2023·全國(guó)·高二課堂例題）已知直線l平行于y軸，且l與x軸的交點(diǎn)為，點(diǎn)A在直線l上，動(dòng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)與A的縱坐標(biāo)相同，且，求P點(diǎn)的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡方程的形狀．【變式33】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)P是曲線上任意一點(diǎn)，，連接PA并延長(zhǎng)至Q，使得，求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程．題型四拋物線中距離和差的最值【例4】（2023·江蘇淮安·高二統(tǒng)考期中）設(shè)拋物線上一點(diǎn)到軸的距離為，點(diǎn)為圓任一點(diǎn)，則的最小值為（）A．B．2C．3D．4【變式41】（2023·河南周口·高二統(tǒng)考期中）已知點(diǎn)是拋物線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，若，則的最小值為（）A．3B．4C．5D．6【變式42】（2023·江蘇·高二鹽城市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F且傾斜角為的直線交C于A，B兩點(diǎn)，Q為AB的中點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，則的最小值為（）A．B．C．D．【變式43】（2023·天津·高二天津市第一百中學(xué)校聯(lián)考期中）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，O為原點(diǎn)，點(diǎn)M是拋物線C準(zhǔn)線上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A在拋物線C上，且，則的最小值為.題型五拋物線在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用【例5】（2023·江西贛州·高二校聯(lián)考期中）石城永寧橋，省級(jí)文物保護(hù)單位，位于江西省贛州市石城縣高田鎮(zhèn).永寧橋建筑風(fēng)格獨(dú)特，是一座樓閣式拋物線形石拱橋.當(dāng)石拱橋拱頂離水面時(shí)，水面寬，當(dāng)水面下降時(shí)，水面的寬度為（）A．7mB．7.5mC．8mD．【變式51】（2023·江蘇·高二南京市第五高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖所示，一隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路，其截面由一個(gè)長(zhǎng)方形和拋物線構(gòu)成，為保證安全，要求行駛車輛頂部（設(shè)為平頂）與隧道頂部在豎直方向上高度之差至少要有，已知行車道總寬度，那么車輛通過(guò)隧道的限制高度為（

）A．B．C．D．【變式52】（2023·廣西玉林·統(tǒng)考二模）南宋晚期的龍泉窯粉青釉刻花斗笠盞如圖1所示，忽略杯盞的厚度，這只杯盞的軸截面如圖2所示，其中光滑的曲線是拋物線的一部分，已知杯盞盛滿茶水時(shí)茶水的深度為3cm，則該拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（）A．B．C．D．【變式53】（2022·浙江·高二校聯(lián)考期中）如圖1，太陽(yáng)灶是一種將太陽(yáng)光反射至一點(diǎn)用來(lái)加熱水或食物的設(shè)備，上面裝有拋物面形的反光鏡，鏡的軸截面是拋物線的一部分（如圖2），盛水或食物的容器放在拋物線的焦點(diǎn)