課時驗收評價(三) 等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)

PAGE第5頁共5頁課時驗收評價(三)等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)1．(2022·徐州模擬)設P＝2a2－4a＋3，Q＝(a－1)·(a－3)，aA．P≥Q B．P>QC．P<Q D．P≤Q解析：選A∵P－Q＝2a2－4a＋3－(a－1)(a－3)＝a2≥0，∴P≥2．(2022·珠海調(diào)研)已知a，b∈R，滿足ab<0，a＋b>0，a>b，則()A.eq\f(1,a)<eq\f(1,b)B.eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)>0C．a(chǎn)2>b2 D．a(chǎn)<|b|解析：選C因為ab<0，a>b，所以a>0，b<0，eq\f(1,a)>0，eq\f(1,b)<0，A不正確；eq\f(b,a)<0，eq\f(a,b)<0，則eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)<0，B不正確；又a＋b>0，即a>－b>0，則a2>(－b)2，a2>b2，C正確；由a>－b>0得a>|b|，D不正確．3．若a，b都是實數(shù)，則“eq\r(a)－eq\r(b)＞0”是“a2－b2＞0”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選Aeq\r(a)－eq\r(b)＞0?eq\r(a)＞eq\r(b)?a＞b≥0?a2＞b2，但a2－b2＞0eq\a\vs4\al(?/)eq\r(a)－eq\r(b)＞0，所以“eq\r(a)－eq\r(b)＞0”是“a2－b2＞0”的充分不必要條件．4．實數(shù)x，y，z滿足x2＝4x＋z－y－4且x＋y2＋2＝0，則下列關(guān)系成立的是()A．y>x≥z B．z≥x>yC．y>z≥x D．z≥y>x解析：選D由x2＝4x＋z－y－4知，z－y＝x2－4x＋4＝(x－2)2≥0，即z≥y；由x＋y2＋2＝0知，x＝－(y2＋2)，則y－x＝y(tǒng)2＋2＋y＝y(tǒng)＋eq\f(1,2)2＋eq\f(7,4)>0，即y>x.綜上，z≥y>x，故選D.5．已知實數(shù)x，y滿足|x|≤1，且|y|≤1，則|x－y|的最大值為()A．1 B．2C．3 D．4解析：選B因為|x|≤1，|y|≤1，所以－1≤x≤1，－1≤y≤1，所以－1≤－y≤1，由不等式加法運算法則可得，－2≤x－y≤2，所以0≤|x－y|≤2.故|x－y|的最大值為2.6．已知0＜a＜eq\f(1,b)，且M＝eq\f(1,1＋a)＋eq\f(1,1＋b)，N＝eq\f(a,1＋a)＋eq\f(b,1＋b)，則M，N的大小關(guān)系是()A．M＞N B．M＜NC．M＝N D．不能確定解析：選A∵0＜a＜eq\f(1,b)，∴1＋a＞0,1＋b＞0,1－ab＞0.∴M－N＝eq\f(1－a,1＋a)＋eq\f(1－b,1＋b)＝eq\f(21－ab,1＋a1＋b)＞0，∴M＞N.7．(2022·廣州模擬)若α，β滿足－eq\f(π,2)＜α＜β＜eq\f(π,2)，則α－β的取值范圍是()A．－π＜α－β＜π B．－π＜α－β＜0C．－eq\f(π,2)＜α－β＜eq\f(π,2) D．－eq\f(π,2)＜α－β＜0解析：選B從題中－eq\f(π,2)＜α＜β＜eq\f(π,2)可分離出三個不等式－eq\f(π,2)＜α＜eq\f(π,2)①，－eq\f(π,2)＜β＜eq\f(π,2)②，α＜β③.根據(jù)不等式的性質(zhì)，②式同乘以－1得－eq\f(π,2)＜－β＜eq\f(π,2)④，根據(jù)同向不等式的可加性，可得－π＜α－β＜π.由③式得α－β＜0，所以－π＜α－β＜0，故選B.8．古希臘科學家阿基米德在《論平面圖形的平衡》一書中提出了杠桿原理，它是使用天平秤物品的理論基礎，當天平平衡時，左臂長與左盤物品質(zhì)量的乘積等于右臂長與右盤物品質(zhì)量的乘積．某金店用一桿不準確的天平(兩邊臂不等長)稱黃金，某顧客要購買10g黃金，售貨員先將5g的砝碼放在左盤，將黃金放于右盤使之平衡后給顧客；然后又將5g的砝碼放入右盤，將另一黃金放于左盤使之平衡后又給顧客，則顧客實際所得黃金()A．大于10g B．小于10gC．大于等于10g D．小于等于10g解析：選A由于天平的兩臂不相等，故可設天平左臂長為a，右臂長為b(不妨設a>b)，先稱得的黃金的實際質(zhì)量為m1，后稱得的黃金的實際質(zhì)量為m2.由杠桿的平衡原理得，bm1＝a×5，am2＝b×5，解得m1＝eq\f(5a,b)，m2＝eq\f(5b,a)，則m1＋m2＝eq\f(5b,a)＋eq\f(5a,b).下面比較m1＋m2與10的大小(作差比較法)：因為(m1＋m2)－10＝eq\f(5b,a)＋eq\f(5a,b)－10＝eq\f(5b－a2,ab)，又a≠b，所以eq\f(5b－a2,ab)>0，即m1＋m2>10.故顧客實際所得黃金大于10g.9．已知a>0，b>0，且a＋b＝1，則下列結(jié)論錯誤的是()A．a(chǎn)2＋b2≥eq\f(1,2) B．2a－b>eq\f(1,2)C．log2a＋log2b≥－2D.eq\r(a)＋eq\r(b)≤eq\r(2)解析：選C∵a2＋b2≥eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋b)),2)2＝eq\f(1,2)，∴A正確；易知0<a<1,0<b<1，∴－1<a－b<1，∴2a－b>2－1＝eq\f(1,2)，∴B正確；對于選項C，令a＝eq\f(1,4)，b＝eq\f(3,4)，則log2eq\f(1,4)＋log2eq\f(3,4)＝－2＋log2eq\f(3,4)<－2，∴C錯誤；∵(eq\r(a)＋eq\r(b))2＝a＋b＋2eq\r(ab)＝1＋2eq\r(ab)≤1＋a＋b＝2，∴eq\r(a)＋eq\r(b)≤eq\r(2)，∴D正確．故選C.10．我國經(jīng)典數(shù)學名著《九章算術(shù)》中有這樣的一道題：“今有出錢五百七十六，買竹七十八，欲其大小率之，問各幾何？”其意是：“今有人出錢576，買竹子78根，擬分大、小兩種竹子為單位進行計算，每根大竹子比小竹子貴1錢，問買大、小竹子各多少根？每種竹子單價各是多少錢？”則在這個問題中大竹子的單價可能為()A．6錢 B．7錢C．8錢 D．9錢解析：選C依題意可設買大竹子x根，每根單價為m，購買小竹子78－x根，每根單價為m－1錢，所以576＝mx＋(78－x)(m－1)，即78m＋x＝654，即x＝6(109－13m)．因為0≤x≤78，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(109－13m≥0，,6109－13m≤78，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≤\f(109,13)，,\f(96,13)≤m，))即eq\f(96,13)≤m≤eq\f(109,13).根據(jù)選項知m＝8，x＝30，所以買大竹子30根，每根8錢．11．已知a>0>b，則下列不等式一定成立的是()A．a(chǎn)2>b2 B．a(chǎn)b>b2C．lneq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))>0 D．2a－b>1解析：選D對于A，由a>0>b知，a2>b2不一定成立，故A錯誤；對于B，由ab－b2＝b(a－b)<0，知ab<b2，故B錯誤；對于C，取a＝eq\f(1,4)，b＝eq\f(1,4)，則lneq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))＝ln1＝0，C不一定成立，故C錯誤；由a>b?a－b>0，知2a－b>1，D正確．故選D.12．已知a>b>c，下列不等式不一定成立的是()A．a(chǎn)c＋b2<ab＋bcB.eq\f(a,c2＋1)>eq\f(b,c2＋1)C．a(chǎn)b＋c2>ac＋bc D．b2>ac解析：選Dac＋b2－(ab＋bc)＝a(c－b)＋b(b－c)＝(a－b)(c－b)．由a>b>c，即a－b>0，c－b<0，所以(a－b)(c－b)<0，則ac＋b2<ab＋bc一定成立，A正確；由a>b，且c2＋1>0，所以eq\f(a,c2＋1)>eq\f(b,c2＋1)一定成立，B正確；ab＋c2－(ac＋bc)＝b(a－c)＋c(c－a)＝(a－c)(b－c)>0，所以ab＋c2>ac＋bc一定成立，C正確；當a＝3，b＝eq\f(5,2)，c＝1時，b2>ac；當a＝3，b＝eq\f(3,2)，c＝1時，b2<ac，則b2>ac不一定成立．故選D.13．已知a＋b>0，則eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)與eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的大小關(guān)系是________________．解析：eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝eq\f(a－b,b2)＋eq\f(b－a,a2)＝(a－b)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b2)－\f(1,a2)))＝eq\f(a＋ba－b2,a2b2)，∵a＋b>0，(a－b)2≥0，∴eq\f(a＋ba－b2,a2b2)≥0，∴eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)≥eq\f(1,a)＋eq\f(1,b).答案：eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)≥eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)14．若a∈[12,60]，b∈[16,36]，則a－b的取值范圍是________．解析：因為a∈[12,60]，b∈[16,36]，即12≤a≤60,16≤b≤36，可得－36≤－b≤－16，則－24≤a－b≤44，故a－b的取值范圍是[－24,44]．答案：[－24,44]15.給出三個不等式：①a2>b2；②2a>2b－1；③eq\r(a－b)＞eq\r(a)－eq\r(b).能夠使以上三個不等式同時成立的一個條件是________．解析：使三個不等式同時成立的一個條件是a>b>0.當a>b>0時，①②顯然成立．對于③，(eq\r(a－b))2－(eq\r(a)－eq\r(b))2＝2eq\r(ab)－2b＝2eq\r(b)(eq\r(a)－eq\r(b))，∵a＞b＞0，∴2eq\r(b)(eq\r(a)－eq\r(b))＞0，∴(eq\r(a－b))2－(eq\r(a)－eq\r(b))2＞0，即eq\r(a－b)＞eq\r(a)－eq\r(b).答案：a>b>0(答案不唯一)16．已知三個不等式：ab>0，bc－ad>0，eq\f(c,a)－eq\f(d,b)>0(其中a，b，c，d均為實數(shù))，用其中兩個不等式作為條件，余下的一個不等式作為結(jié)論組成一個命題，可組成正確命題的個數(shù)是________．解析：若ab>0，bc－ad>0成立，不等式bc－ad>0兩邊同除以ab可得eq\f(c,a)－eq\f(d,b)>0，即ab>0，bc－ad>0?eq\f(c,a)－eq\f(d,b)>0；若ab>0，eq\f(c,a)－eq\f(d,b)>0成立，不等式eq\f(c