所有大二上概率一章講

第二講

隨機事件及其概率

上一講中，我們了解到，隨機現(xiàn)象有其偶然性的一面，也有其必然性的一面，這種必然性表現(xiàn)在大量重復(fù)試驗或觀察中呈現(xiàn)出的固有規(guī)律性，稱為隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性.而概率論正是研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的一門學(xué)科.現(xiàn)在，就讓我們一起，步入這充滿隨機性的世界，開始第一步的探索和研究.

從觀察試驗開始

研究隨機現(xiàn)象，首先要對研究對象進(jìn)行觀察試驗.這里的試驗，指的是隨機試驗.

1.可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行;

2.每次試驗的可能結(jié)果不止一個,并且能事先明確試驗的所有可能結(jié)果;

3.進(jìn)行一次試驗之前不能確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn).

在概率論中,把具有以下三個特征的試驗稱為隨機試驗.定義隨機試驗：H

例如,

擲硬幣試驗擲一枚硬幣，觀察出正還是反.T擲骰子試驗擲一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)

壽命試驗測試在同一工藝條件下生產(chǎn)出的燈泡的壽命.隨機事件(RandomEvents)：

在一次試驗中可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件稱為隨機事件，簡稱事件.

在隨機試驗中，我們往往會關(guān)心某個或某些結(jié)果是否會出現(xiàn).這就是例如，在擲骰子試驗中，“擲出1點”“擲出2點”事件基本事件復(fù)合事件（相對于觀察目的不可再分解的事件）（兩個或一些基本事件并在一起，就構(gòu)成一個復(fù)合事件）事件

B={擲出奇數(shù)點}如在擲骰子試驗中，觀察擲出的點數(shù).

事件Ai

={擲出i點}

i=1,2,3,4,5,6兩個特殊的事件：必件然事例如，在擲骰子試驗中，“擲出點數(shù)小于7”是必然事件;即在試驗中必定發(fā)生的事件，常用S或Ω表示;

不件可事能即在一次試驗中不可能發(fā)生的事件，常用φ表示.而“擲出點數(shù)8”則是不可能事件.下面我們來為隨機試驗建立一個數(shù)學(xué)模型

現(xiàn)代集合論為表述隨機試驗提供了一個方便的工具.樣本空間(thesamplespace)與事件

我們把隨機試驗的每個基本結(jié)果稱為樣本點，記作e或ω.全體樣本點的集合稱為樣本空間.樣本空間用S或Ω表示.樣本點e.

S

如果試驗是將一枚硬幣拋擲兩次，則樣本空間由如下四個樣本點組成：S={(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)}第1次第2次HHTHHTTT(H,T)：(T,H):(T,T)：(H,H):其中

樣本空間在如下意義上提供了一個理想試驗的模型：

在每次試驗中必有一個樣本點出現(xiàn)且僅有一個樣本點出現(xiàn).如果試驗是測試某燈泡的壽命：

則樣本點是一非負(fù)數(shù)，由于不能確知壽命的上界，所以可以認(rèn)為任一非負(fù)實數(shù)都是一個可能結(jié)果，S={t

：t≥0｝故樣本空間

調(diào)查城市居民（以戶為單位）煙、酒的年支出，結(jié)果可以用（x，y）表示，x，y分別是煙、酒年支出的元數(shù).

也可以按某種標(biāo)準(zhǔn)把支出分為高、中、低三檔.這時，樣本點有（高,高）,（高,中），…，(低,低）等9種，樣本空間就由這9個樣本點構(gòu)成.這時，樣本空間由坐標(biāo)平面第一象限內(nèi)一定區(qū)域內(nèi)一切點構(gòu)成.

引入樣本空間后，事件便可以表示為樣本空間的子集.例如，擲一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)S={i：i=1,2,3,4,5,6｝樣本空間：事件B就是S的一個子集B={1,3,5｝B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)B中的樣本點1，3，5中的某一個出現(xiàn).答案寫出下列隨機試驗的樣本空間.1.同時擲三顆骰子,記錄三顆骰子之和.2.生產(chǎn)產(chǎn)品直到得到10件正品,記錄生產(chǎn)產(chǎn)品的總件數(shù).課堂練習(xí)事件之間的關(guān)系與運算1、稱事件A包含于事件B指A發(fā)生則B必然發(fā)生

A=BA、B互為包含BA我中獎了！我中獎了！我們公司有人中獎了！其他如積事件，和事件，差事件，對立事件等以及事件之間的關(guān)系與集合類似，請大家自己看課本。ABBAAB對立事件與互斥事件的區(qū)別SSABABA、B對立A、B互斥互斥對

立例1設(shè)A,B,C表示三個隨機事件,試將下列事件用A,B,C表示出來.(1)A出現(xiàn),B,C不出現(xiàn);(5)三個事件都不出現(xiàn);(2)A,B都出現(xiàn),C不出現(xiàn);(3)三個事件都出現(xiàn);(4)三個事件至少有一個出現(xiàn);(6)不多于一個事件出現(xiàn);(7)不多于兩個事件出現(xiàn);(8)三個事件至少有兩個出現(xiàn);(9)A,B至少有一個出現(xiàn),C不出現(xiàn);(10)A,B,C中恰好有兩個出現(xiàn).解數(shù)學(xué)文化欣賞

-----Koch曲線與分形幾何

歐氏幾何以及以此為背景的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)所研究的圖形或空間形式都是足夠正則足夠光滑的，然而自然界的真實形態(tài)并非如此光滑規(guī)則。充滿空隙的宇宙空間，起伏不平的地形地貌，九曲回腸的河流，曲曲彎彎的海岸線，縱橫交錯的大地褶皺，斷層裂縫，生物體的形態(tài)與結(jié)構(gòu)，靜電傳輸誤差股票市場的波動，它們不是歐氏幾何意義下的光滑規(guī)則形體。根據(jù)研究問題的需要光滑規(guī)則的形態(tài)不僅不能較好地近似它們，有的甚至連一級近似也做不出來。首先畫一個線段，然后把它平分成三段，去掉中間那一段并用兩條等長的線段代替。這樣，原來的一條線段就變成了四條小的線段。用相同的方法把每一條小的線段的中間三分之一替換為等邊三角形的兩邊，得到了16條更小的線段。然后繼續(xù)對16條線段進(jìn)行相同的操作，并無限地迭代下去。

當(dāng)把三條這樣的曲線頭尾相接組成一個封閉圖形時，有趣的事情發(fā)生了。這個雪花一樣的圖形有著無限長的邊界，但是它的總面積卻是有限的。換句話說，無限長的曲線圍住了一塊有限的面積。這個神奇的雪花圖形叫做Koch雪花，其中那條無限長的曲線就叫做Koch曲線。他是由瑞典數(shù)學(xué)家HelgevonKoch最先提出來的。（1.26維）

分形這一課題提出的時間比較晚。Koch曲線于1904年提出，是最早提出的分形圖形之一。我們仔細(xì)觀察一下這條特別的曲線。它有一個很強的特點：你可以把它分成若干部分，每一個部分都和原來一樣（只是大小不同）。這樣的圖形叫做“自相似”圖形(self-similar)，它是分形圖形(fractal)最主要的特征。自相似往往都和遞歸、無窮之類的東西聯(lián)系在一起。一條Koch曲線中包含有無數(shù)大小不同的Koch曲線。你可以對這條曲線的尖端部分不斷放大，但你所看到的始終和最開始一樣。它的復(fù)雜性不