第2章 對(duì)稱圖形-圓 綜合測(cè)試卷（解析版）

（蘇科版）九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)《第2章對(duì)稱圖形---圓》綜合測(cè)試卷時(shí)間：120分鐘試卷滿分：120分一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1．（2022秋?廣平縣期末）下列條件中，能確定一個(gè)圓的是（）A．經(jīng)過已知點(diǎn)M B．以點(diǎn)O為圓心，10cm長(zhǎng)為半徑 C．以10cm長(zhǎng)為半徑 D．以點(diǎn)O為圓心【分析】確定一個(gè)圓有兩個(gè)重要因素，一是圓心，二是半徑，據(jù)此可以得到答案．【解答】解：∵圓心確定，半徑確定后才可以確定圓，∴B選項(xiàng)正確，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了確定圓的條件，確定圓要首先確定圓的圓心，然后也要確定半徑．2．（2022?濱州）如圖，在⊙O中，弦AB、CD相交于點(diǎn)P．若∠A＝48°，∠APD＝80°，則∠B的大小為（）A．32° B．42° C．52° D．62°【分析】根據(jù)圓周角定理，可以得到∠D的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，可以求出∠B的度數(shù)．【解答】解：∵∠A＝∠D，∠A＝48°，∴∠D＝48°，∵∠APD＝80°，∠APD＝∠B+∠D，∴∠B＝∠APD﹣∠D＝80°﹣48°＝32°，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓周角定理、三角形外角的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是求出∠D的度數(shù)．3．（2023?綏江縣二模）如圖，在⊙O中，∠AOC＝100°，BD平分∠ABC，則∠CBD的度數(shù)為（）A．100° B．50° C．30° D．25°【分析】根據(jù)圓周角定理和角平分線定理即可得出答案．【解答】解：∵∠AOC＝100°，∴∠ABC=1∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=12∠ABC＝故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了求圓周角的度數(shù)，掌握?qǐng)A周角定理：同弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角度數(shù)的一半是解題的關(guān)鍵．4．（2023?江夏區(qū)校級(jí)模擬）已知平面內(nèi)有⊙O和點(diǎn)M，N，若⊙O半徑為2cm，線段OM＝3cm，ON＝2cm，則直線MN與⊙O的位置關(guān)系為（）A．相離 B．相交 C．相切 D．相交或相切【分析】根據(jù)直線上點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定得出直線與圓的位置關(guān)系．【解答】解：∵⊙O的半徑為2cm，線段OM＝3cm，ON＝2cm，即點(diǎn)M到圓心O的距離大于圓的半徑，點(diǎn)N到圓心O的距離等于圓的半徑，∴點(diǎn)M在⊙O外，點(diǎn)N在⊙O上，∴直線MN與⊙O的位置關(guān)系為相交或相切，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．5．（2023?柘城縣模擬）已知⊙O的圓心到直線l的距離是一元二次方程x2﹣x﹣20＝0的一個(gè)根，若⊙O與直線l相離，⊙O的半徑可取的值為（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】先求方程的根，可得d的值，由直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法可求解．【解答】解：∵x2﹣x﹣20＝0，∴x1＝5，x2＝﹣4，∵⊙O的圓心到直線l的距離d是一元二次方程x2﹣x﹣20＝0的一個(gè)根，∴d＝5，∵⊙O與直線l相離，∴⊙O的半徑r＜d，即r＜5，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是直線與圓的位置關(guān)系，解一元二次方程，熟練掌握直線與圓的位置關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．6．如圖，⊙O為△ABC的內(nèi)切圓，AC＝10，AB＝8，BC＝9，點(diǎn)D，E分別為BC，AC上的點(diǎn)，且DE為⊙O的切線，則△CDE的周長(zhǎng)為（）A．9 B．7 C．11 D．8【分析】設(shè)AB，AC，BC，DE和圓的切點(diǎn)分別是P，N，M，Q．根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到NC＝MC，QE＝DQ．所以三角形CDE的周長(zhǎng)即是CM+CN的值，再進(jìn)一步根據(jù)切線長(zhǎng)定理由三角形ABC的三邊進(jìn)行求解即可．【解答】解：設(shè)AB，AC，BC，DE和圓的切點(diǎn)分別是P，N，M，Q，CM＝x，根據(jù)切線長(zhǎng)定理，得CN＝CM＝x，BM＝BP＝9﹣x，AN＝AP＝10﹣x．則有9﹣x+10﹣x＝8，解得：x＝5.5．所以△CDE的周長(zhǎng)＝CD+CE+QE+DQ＝2x＝11．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要是考查了切線長(zhǎng)定理．要掌握?qǐng)A中的有關(guān)定理，才能靈活解題．7．（2022秋?綏中縣期末）已知：如圖，在扇形OAB中，∠AOB＝100°，半徑OA＝18，將扇形OAB沿過點(diǎn)B的直線折疊，點(diǎn)O恰好落在AB上的點(diǎn)D處，折痕交OA于點(diǎn)C，則AD的長(zhǎng)為（）A．2π B．3π C．4π D．5π【分析】如圖，連接OD．根據(jù)折疊的性質(zhì)、圓的性質(zhì)推知△ODB是等邊三角形，則易求∠AOD＝100°﹣∠DOB＝40°，然后由弧長(zhǎng)公式弧長(zhǎng)的公式l=nπr180來求【解答】解：如圖，連接OD．根據(jù)折疊的性質(zhì)知，OB＝DB．又∵OD＝OB，∴OD＝OB＝DB，即△ODB是等邊三角形，∴∠DOB＝60°．∵∠AOB＝100°，∴∠AOD＝∠AOB﹣∠DOB＝40°，∴AD的長(zhǎng)為40π?18180=4故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算，翻折變換（折疊問題）．折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．所以由折疊的性質(zhì)推知△ODB是等邊三角形是解答此題的關(guān)鍵之處．8．（2022秋?玄武區(qū)期中）如圖，在⊙O中，AB是直徑，點(diǎn)C，D，E在圓上，AC＝2，AD＝6，AE＝8，AB＝10．下列結(jié)論：①AD=CE；②AE=BD；③ADA．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【分析】連接CE、DB，如圖，根據(jù)三角形三邊的關(guān)系得到CE＞AE﹣AC，所以AD＜CE，則根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系可對(duì)①進(jìn)行判斷；再根據(jù)圓周角定理得到∠ADB＝90°，根據(jù)勾股定理得到BD＝8，所以AE＝BD＝8，則根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系可對(duì)②進(jìn)行判斷；結(jié)合圖形可對(duì)③進(jìn)行判斷；利用BD=AE可對(duì)【解答】解：連接CE、DB，如圖，∵AC＝2，AE＝8，∴CE＞AE﹣AC，即CE＞6，而AD＝6，∴AD＜CE，∴AD＜CE，所以∵AB是直徑，∴∠ADB＝90°，∴BD=AB∵AE＝BD＝8，∴BD=AE，所以AD+DE=∵BD=∴AD+AE=故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．9．（2023春?銅梁區(qū)校級(jí)期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)O是斜邊AB邊上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓，⊙O恰好與邊BC相切于點(diǎn)D，連接AD，若AD＝BD，⊙O的半徑為4，則CD的長(zhǎng)度為（）A．23 B．4 C．3 D．5【分析】由切線的性質(zhì)得BC⊥OD，則∠ODB＝∠C＝90°，所以O(shè)D∥AC，則∠ODA＝∠CAD，由OA＝OD，得∠ODA＝∠BAD，所以∠CAD＝∠BAD，因?yàn)锳D＝BD，所以∠BAD＝∠B，則∠CAD＝∠BAD＝∠B＝30°，所以O(shè)B＝2OD＝8，則AD＝BD=OB2-OD2=43，所以【解答】解：∵⊙O與邊BC相切于點(diǎn)D，∠C＝90°，∴BC⊥OD，∴∠ODB＝∠C＝90°，∴OD∥AC，∴∠ODA＝∠CAD，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠BAD，∴∠CAD＝∠BAD，∵AD＝BD，∴∠BAD＝∠B，∴∠CAD＝∠BAD＝∠B，∵∠CAD+∠BAD+∠B＝∠CAB+∠B＝90°，∴∠CAD＝∠BAD＝∠B＝30°，∴OB＝2OD＝2×4＝8，∴AD＝BD=OB2∴CD=12AD=12×故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查切線的性質(zhì)定理、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的兩個(gè)銳角互余、勾股定理等知識(shí)，求得∠CAD＝∠BAD＝∠B＝30°是解題的關(guān)鍵．10．（2022秋?金華期末）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，∠AOD＝30°，半徑為2cm的⊙P的圓心在直線AB上，且位于點(diǎn)O左側(cè)的距離6cm處．如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移動(dòng)，那么（）秒鐘后⊙P與直線CD相切．A．2 B．10 C．2或10 D．6或8【分析】由題意判定CD是圓的切線，從其性質(zhì)在△P1EO中求得OP1，從而求得．【解答】解：由題意CD與圓P1相切于點(diǎn)E，點(diǎn)P在射線OA上，點(diǎn)P只能在直線CD的左側(cè)．∴P1E⊥CD，又∵∠AOD＝30°，r＝2cm，在△OEP1中OP1＝4cm，又∵OP＝6cm，∴P1P＝2cm，∴圓P到達(dá)圓P1需要時(shí)間為：2÷1＝2（秒），∴⊙P與直線CD相切時(shí)，時(shí)間為2秒，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)O的右側(cè)時(shí)，同法可得t＝10秒，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，從切線入手從而解得．二、填空題（每小題3分，共8個(gè)小題，共24分）11．（2023?平陽縣校級(jí)三模）若一個(gè)扇形的圓心角為135°，弧長(zhǎng)為3πcm，則此扇形的半徑是cm．【分析】設(shè)扇形的半徑為r，利用弧長(zhǎng)公式求出半徑r，再利用扇形的面積公式求解即可．【解答】解：設(shè)扇形的半徑為rcm，由題意，135π?r180=3∴r＝4，∴此扇形的半徑是4cm，故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查弧長(zhǎng)公式，扇形的面積公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考常考題型．12．（2022秋?宿豫區(qū)期中）如圖，⊙O的弦AB、DC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，BD＝BE，∠E＝35°，∠AOD的度數(shù)是．【分析】根據(jù)等腰三角形等邊對(duì)等角以及三角形外角的性質(zhì)得出∠ABD的度數(shù)，然后根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半求解即可．【解答】解：∵BD＝BE，∠E＝35°，∴∠BDE＝∠E＝35°，∴∠ABD＝∠BDE+∠E＝70°，∴∠AOD＝2∠ABD＝140°，故答案為：140°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了同弧所對(duì)的圓周角和圓心角的關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半是解本題的關(guān)鍵．13．（2023?海州區(qū)二模）如圖，一把打開的雨傘可近似的看成一個(gè)圓錐，傘骨（面料下方能夠把面料撐起來的支架）末端各點(diǎn)所在圓的直徑AC長(zhǎng)為12分米，傘骨AB長(zhǎng)為10分米，那么制作這樣的一把雨傘至少需要綢布面料為平方分米．【分析】圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，根據(jù)題意可得該圓錐的母線長(zhǎng)為AB，則扇形的直徑為AC，根據(jù)AC的長(zhǎng)度可求出圓錐地面周長(zhǎng)，即可得出扇形的弧長(zhǎng)，最后根據(jù)扇形面積公式S=1【解答】解：∵AC＝12分米，∴該圓錐底面周長(zhǎng)為12π分米，∴該圓錐側(cè)面積=1故答案為：60π．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了求圓錐側(cè)面積，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A錐的側(cè)面展開圖為扇形，以及扇形面積公式S=114．（2023?蒙陰縣三模）已知⊙O的半徑為5，AB是⊙O的弦，點(diǎn)P在弦AB上，若PA＝2，PB＝4，則OP＝．【分析】過點(diǎn)O作OC⊥AB于點(diǎn)C，連接OB，根據(jù)垂徑定理可得AC＝BC＝5，所以PC＝PB﹣BC＝1，根據(jù)勾股定理即可解決問題．【解答】解：如圖，過點(diǎn)O作OC⊥AB于點(diǎn)C，連接OB，則OB＝5，∵PA＝2，PB＝4，∴AB＝PA+PB＝6，∵OC⊥AB，∴AC＝BC＝3，∴PC＝PB﹣BC＝1，在Rt△OBC中，根據(jù)勾股定理得：OC2＝OB2﹣BC2＝52﹣32＝16，在Rt△OPC中，根據(jù)勾股定理得：OP=O故答案為：17．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握垂徑定理．15．（2022秋?北侖區(qū)期中）在半徑為1的圓中，長(zhǎng)度等于2的弦所對(duì)的弧的度數(shù)為．【分析】如圖，⊙O的半徑為1，弦AB=2，連接OA、OB，利用勾股定理的逆定理可判斷△OAB為等腰直角三角形，則∠AOB＝90【解答】解：如圖，⊙O的半徑為1，弦AB=2連接OA、OB，∵OA＝OB＝1，∴OA2+OB2＝AB2，∴△OAB為等腰直角三角形，∴∠AOB＝90°，∴AB所所的弧的度數(shù)為90°或270°．故答案為90°或270°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等．16．如圖，點(diǎn)O為△ABC的內(nèi)心，∠A＝50°，則∠BOC的度數(shù)為．【分析】分析見詳細(xì)解答．【解答】解：∵點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心，∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠OBC=12∠ABC，∠∴∠OBC+∠OCB==1=1＝65°，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣65°＝115°，故答案為：115°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了內(nèi)心的定義，三角形的內(nèi)角和等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是掌握內(nèi)心是三角形內(nèi)角平分線的交點(diǎn)．17．（2023?環(huán)翠區(qū)一模）如圖，在半徑為6的⊙O中，AB是直徑，AC是弦，D是AC的中點(diǎn)，AC與BD交于點(diǎn)E，若E是BD的中點(diǎn)，則AC的長(zhǎng)是．【分析】連接DO，交AC于點(diǎn)F，根據(jù)垂徑定理得出OD⊥AC，∠ABD＝∠CBD，OF=12BC，進(jìn)而證明△DEF≌△BEC得出DF＝CB，根據(jù)半徑為6，得出BC＝4【解答】解：如圖所示，連接DO，交AC于點(diǎn)F，∵D是AC的中點(diǎn)，∴OD⊥AC，∠ABD＝∠CBD，∴AF＝FC，∵AO＝OB，∴OF=1∵E是BD的中點(diǎn)，∴DE＝EB，又∵OD＝OB，∴∠ABD＝∠FDE，∴∠FDE＝∠EBC，又∠DEF＝∠BEC，∴△DEF≌△BEC（ASA），∴DF＝CB，∴OD=3∴BC＝4，∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，∴AC=A故答案為：82【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．18．（2023?黃島區(qū)一模）如圖，半圓O的直徑AB＝3，AC=3BC．E是BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，弦DE∥OF⊥AB，交DE于點(diǎn)F．OH＝EF．則圖中陰影部分周長(zhǎng)的最大值為．【分析】連接OE，可證四邊形HOEF是平行四邊形，則DF+AH+HF＝3，所以當(dāng)E與C點(diǎn)重合時(shí)，AD弧的長(zhǎng)最大，可求∠BOC＝45°，即可求AD弧的長(zhǎng)=3π【解答】解：連接OE，∵DE//AB，OF⊥AB，∴OF⊥DE，∴DF＝EF，∵DE∥AB，OH＝EF，∴四邊形HOEF是平行四邊形，∴HF＝OE，DF＝OH，∵HO＝EF，∴DF+AH＝HO+AH＝AO，∴DF+AH+HF＝AO+OE＝AB，∵AB＝3，∴DF+AH+HF＝3，∵點(diǎn)E是BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∴當(dāng)E與C點(diǎn)重合時(shí)，AD弧的長(zhǎng)最大，此時(shí)陰影部分周長(zhǎng)最大，∵AC=3BC∴∠BOC＝45°，∴AD弧的長(zhǎng)=45π×3∴陰影部分周長(zhǎng)的最大值為38π+3故答案為：38π+3【點(diǎn)評(píng)】本題考查動(dòng)點(diǎn)的最值問題，熟練掌握弧長(zhǎng)的求法，將陰影部分周長(zhǎng)的最大值問題轉(zhuǎn)化為求弧長(zhǎng)最大值是解題的關(guān)鍵．三、解答題（共8個(gè)小題，共66分）19．（6分）如圖，在△ABC中，以點(diǎn)A為圓心畫弧分別交BA的延長(zhǎng)線，AC于E、F，聯(lián)結(jié)EF并延長(zhǎng)交BC于G，EG⊥BC．求證：AB＝AC．【分析】先利用AE＝AF，然后根據(jù)等角的余角相等得到∠B＝∠C，從而得到AB＝AC．【解答】證明：∵AE＝AF，∴∠E＝∠AFE，∵∠AFE＝∠CFG，∴∠E＝∠CFG，∵EG⊥BC，∴∠E+∠B＝90°，∠C+∠CFG＝90°，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的認(rèn)識(shí)：通常利用半徑相等得到等腰三角形，然后利用等腰三角形的性質(zhì)解決問題．20．（8分）如圖，已知△ABC中，AB為半圓O的直徑，AC、BC分別交半圓O于點(diǎn)E、D，且BD＝DE．（1）求證：點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)．（2）若點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，判斷△ABC的形狀，并說明理由．【分析】（1）連接AD，根據(jù)圓周角定理得到∠ADB＝∠ADC＝90°，證明△BAD≌△CAD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明；（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到DE＝AE＝EC，得到CA＝CB，根據(jù)等邊三角形的判定定理證明．【解答】（1）證明：連接AD，∵AB為半圓O的直徑，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵BD＝DE，∴BD=∴∠BAD＝∠CAD，在△BAD和△CAD中，∠BAD=∠CADAD=AD∴△BAD≌△CAD（ASA），∴BD＝DC，即點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)；（2）解：∵△BAD≌△CAD，∴AB＝AC，∵∠ADC＝90°，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，∴DE＝AE＝EC，由（1）得，DE＝BD＝DC，∴CA＝CB，∴CA＝CB＝AB，∴△ABC是等邊三角形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定，掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵．21．（8分）（2023?岱岳區(qū)二模）已知⊙O的直徑為10cm，AB，CD是⊙O的兩條弦，AB∥CD，AB＝8cm，CD＝6cm，求AB與CD之間的距離．【分析】過O點(diǎn)作OE⊥AB于點(diǎn)E，交CD于F點(diǎn)，連接OA、OC，如圖，根據(jù)平行線的性質(zhì)OF⊥CD，則根據(jù)垂徑定理得到AE＝4cm，CF＝3cm，再分別利用勾股定理計(jì)算出OE＝3cm，OF＝4cm，討論：當(dāng)點(diǎn)O在AB與CD之間時(shí)，如圖1，EF＝OF+OE＝7cm；當(dāng)點(diǎn)O不在AB與CD之間時(shí)，如圖2，EF＝OF﹣OE＝1cm．【解答】解：過O點(diǎn)作OE⊥AB于點(diǎn)E，交CD于F點(diǎn)，連接OA、OC，如圖，∵AB∥CD，∴OF⊥CD，∴AE＝BE=12AB＝4cm，CF＝DF=12CD在Rt△OAE中，∵OA＝5cm，AE＝4cm，∴OE=52-4在Rt△OCF中，∵OC＝5cm，CF＝3cm，∴OF=52-3當(dāng)點(diǎn)O在AB與CD之間時(shí)，如圖1，EF＝OF+OE＝4+3＝7（cm）；當(dāng)點(diǎn)O不在AB與CD之間時(shí)，如圖2，EF＝OF﹣OE＝4﹣3＝1（cm）；綜上所述，EF的值為1cm或7cm，即AB與CD之間的距離為1cm或7cm．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。部疾榱斯垂啥ɡ恚?2．（8分）（2023?蚌山區(qū)三模）如圖，AB是⊙O的直徑，將弦AC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到AD，此時(shí)點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D落在AB上，延長(zhǎng)CD，交⊙O于點(diǎn)E．（1）證明：OC⊥OE；（2）若CE＝4，求圖中陰影部分的面積．【分析】（1）連接BC，由旋轉(zhuǎn)知AC＝AD，∠CAD＝30°，所以∠BOC＝60°，∠ACE＝75°，根據(jù)圓周角定理得∠ACB＝90°，所以∠BCE＝90°﹣∠ACE＝15°，∠BOE＝2∠BCE＝30°，即∠EOC＝90°，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)（1）可推出△EOC是等腰直角三角形，根據(jù)扇形面積減三角形面積計(jì)算即可．【解答】（1）證明：連接BC，由旋轉(zhuǎn)知AC＝AD，∠CAD＝30°，∴∠BOC＝60°，∠ACE＝（180°﹣30°）÷2＝75°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠BCE＝90°﹣∠ACE＝15°，∴∠BOE＝2∠BCE＝30°，∴∠EOC＝90°，∴OC⊥OE；（2）解：∵OC⊥OE，∴△EOC為等腰直角三角形，∵CE＝4，∴OE＝OC＝22，∴S陰影＝S扇形OEC﹣S△OEC=90π×(22)2360-12×【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及扇形面積的計(jì)算，圓周角定理，熟練掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．23．（8分）（2023?銀川校級(jí)四模）如圖△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于點(diǎn)D，以點(diǎn)D為圓心，BD為半徑作⊙D交AB于點(diǎn)E．（1）求證：⊙D與AC相切；（2）若AC＝5，BC＝3，試求AE的長(zhǎng)．【分析】（1）過D作DF⊥AC于F，利用角平分線的性質(zhì)定理可得BD＝FD即可證明：⊙D與AC相切；（2）在直角三角形ABC中由勾股定理可求出AB的長(zhǎng)，設(shè)圓的半徑為x，利用切線長(zhǎng)定理可求出CF＝BC＝3，所以AF＝2，AD＝AB﹣x，利用勾股定理建立方程求出x，進(jìn)而求出AE的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：過D作DF⊥AC于F，∵∠B＝90°，∴AB⊥BC，∵CD平分∠ACB交AB于點(diǎn)D，∴BD＝DF，∴⊙D與AC相切；（2）解：設(shè)圓的半徑為x，∵∠B＝90°，BC＝3，AC＝5，∴AB=AC∵AC，BC，是圓的切線，∴BC＝CF＝3，∴AF＝AB﹣CF＝2，∵AB＝4，∴AD＝AB﹣BD＝4﹣x，在Rt△AFD中，（4﹣x）2＝x2+22，解得：x=3∴AE＝4﹣3＝1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的切線的判定、角平分線的性質(zhì)、切線長(zhǎng)定理以及勾股定理的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理列方程．24．（9分）（2022春?東莞市校級(jí)期中）如圖，AB、BC、CD分別與⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，BO＝6，CO＝8．（1）判斷△OBC的形狀，并證明你的結(jié)論；（2）求BC的長(zhǎng)；（3）求⊙O的半徑OF的長(zhǎng)．【分析】（1）由切線長(zhǎng)定理，易得∠OBE＝∠OBF=12∠EBF，∠OCG＝∠OCF=12∠GCF，又由AB∥CD，則可求得∠（2）由BO＝6，CO＝8，利用勾股定理即可求得BC的長(zhǎng)；（3）利用直角三角形斜邊上的高等于兩直角邊的積除以斜邊，即可求得⊙O的半徑OF的長(zhǎng)．【解答】（1）答：△OBC是直角三角形．證明：∵AB、BC、CD分別與⊙O相切于E、F、G，∴∠OBE＝∠OBF=12∠EBF，∠OCG＝∠OCF=1∵AB∥CD，∴∠EBF+∠GCF＝180°，∴∠OBF+∠OCF＝90°，∴∠BOC＝90°，∴△OBC是直角三角形；（2）解：∵在Rt△BOC中，BO＝6，CO＝8，∴BC=BO（3）解：∵AB、BC、CD分別與⊙O相切于E、F、G，∴OF⊥BC，∴OF=BO?COBC【點(diǎn)評(píng)】此題考查了切線長(zhǎng)定理、切線的性質(zhì)、勾股定理以及直角三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．25．（9分）（2022秋?清原縣期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)O在AC邊上，⊙O經(jīng)過點(diǎn)C且與AB邊相切于點(diǎn)E，∠FAC=1（1）求證：AF是⊙O的切線；（2）若BC＝6，AB＝10，求⊙O的半徑長(zhǎng)．【分析】（1）作OH⊥FA，垂足為點(diǎn)H，連接OE，證明AC是∠FAB的平分線，進(jìn)而根據(jù)OH＝OE，OE⊥AB，可得AF是⊙O的切線；（2）勾股定理得出AC，設(shè)⊙O的半徑為r，則OC＝OE＝r，進(jìn)而根據(jù)切線的性質(zhì)，在Rt△OEA中，勾股定理即可求解．【解答】（1）證明：如圖，作OH⊥FA，垂足為點(diǎn)H，連接OE，∵∠ACB＝90°，D是AB的中點(diǎn)，∴CD=AD=1∴∠CAD＝∠ACD，∵∠BDC＝∠CAD+∠ACD＝2∠CAD，又∵∠FAC=1∴∠FAC＝∠CAD，即AC是∠FAB的平分線，∵點(diǎn)O在AC上，⊙O與AB相切于點(diǎn)E，∴OE⊥AB，且OE是⊙O的半徑，∴OH＝OE，OH是⊙O的半徑，∴AF是⊙O的切線；（2）解：如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AB＝10，∴AC=A∵BE，BC是⊙O的切線，∴BC＝BE＝6，∴AE＝10﹣6＝4設(shè)⊙O的半徑為r，則OC＝OE＝r，在Rt△OEA中，由勾股定理得：OE2+AE2＝OA2，∴16+r2＝（8﹣r）2