矩陣的Kronecker積及其應(yīng)用

word文檔可自由復(fù)制編輯分類號(hào)：學(xué)士學(xué)位論文矩陣的Kronecker積及其應(yīng)用學(xué)院名稱數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)工程學(xué)院word文檔可自由復(fù)制編輯目錄摘要 1關(guān)鍵詞 1引言 21矩陣的Kronecker積的定義 22矩陣的Kronecker積的性質(zhì)、定理及推論 23.矩陣的Kronecker積的特征值、特征向量的性質(zhì)、推論及定理 54.矩陣的Kronecker積的應(yīng)用 64.1矩陣的行（列）展開的定義及其相關(guān)性質(zhì) 64.2利用Kronecker積解決特殊的矩陣方程 74.2.1EMBEDEquation.3型方程的求解 74.2.2型方程的求解 84.2.3型方程的求解 84.3利用Kronecker積求一些特殊矩陣的特征值和特征向量 9小結(jié) 11參考文獻(xiàn) 11致謝 12word文檔可自由復(fù)制編輯矩陣的Kronecker積及其應(yīng)用劉陽（西安文理學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)工程學(xué)院,陜西西安，710065）摘要：本文主要介紹了矩陣?yán)碚撝械腒ronecker積與它的特征值及特征向量。利用Kronecker積的概念、性質(zhì)和定理，得到了其特征值及特征向量的相關(guān)結(jié)論和部分特殊的特征向量和特征值的計(jì)算方法。最后舉例說明如何利用Kronecker積求解特殊的矩陣方程。關(guān)鍵詞：Kronecker積；特征值；特征向量；＋型矩陣方程；型矩陣方程ThekroneckerproductofamatrixanditsapplicationsLiuyang(Schoolofmathematicsandcomputerengineering,Xi’anUniversity,Xi’an,710065,China）Abstract:Thisarticlemainlyintroducedthekroneckerproductofmatrixtheoryofeigenvalueandeigenvector.Usingthekroneckerproductconcept,natureandtheorem,gottheeigenvalueandeigenvectoroftherelevantconclusionsandsomespecialcharacteristicvectorinsolvingspecialvectormatrixandthecaculationmethodofspecialvalues.Finally,anexampleisgiventoillustratehowtousethekroneckerproducttosolvespecialmatrixequationKeywords:Kroneckerproduct；characteristicvalue、eigenvector；＋matrixequation；matrixequation引言：在高等代數(shù)中，矩陣內(nèi)容是非常重要的基礎(chǔ)內(nèi)容，很多代數(shù)問題往往會(huì)歸結(jié)為矩陣乘積問題。然而，兩個(gè)矩陣可以相乘的條件是：前面矩陣的列數(shù)等于后面矩陣的行數(shù)，如果不滿足這個(gè)條件，則我們就無法求解這兩個(gè)矩陣的乘積。但在實(shí)際的學(xué)習(xí)、生活過程中，我們發(fā)現(xiàn)大多數(shù)問題的解決并不滿足此條件，如何解決該問題呢？恰好矩陣的Kronecker積不需要這個(gè)限制。下面，將主要介紹Kronecker積的定義、性質(zhì)、及其在求解一些特殊矩陣方程中的應(yīng)用。矩陣的Kronecker積的定義定義1.1，則稱由所確定的矩陣是與的Kronecker積或稱與的直積，記作例1.1設(shè)，則==.顯然，矩陣的Kronecker積不滿足交換律，即一般情況下≠.2、矩陣的Kronecker積的性質(zhì)、定理及推論Kronecker積的性質(zhì)可以由定義1.1得到性質(zhì)2.1.性質(zhì)2.2性質(zhì)2.3性質(zhì)2.4定理2.1設(shè)則（）（）=.證明：（）（）=.推論2.1（1）（2）.推論2.2若為階矩陣，為階矩陣，則=.利用性質(zhì)2.1—2.4及推論2.1，可以得到以下常用到的性質(zhì).性質(zhì)2.5設(shè)是階矩陣，是階矩陣.若、都可逆，則也可逆，且證明：∵根據(jù)定理2.1，，，∴.推論2.3若均為方陣，且均可逆（）,則.推論2.4.證明：由性質(zhì)2.5和定理2.1知,=.性質(zhì)2.6若、均為上（下）三角矩陣，則也是上（下）三角矩陣。性質(zhì)2.7若、均為對(duì)角陣，則也是對(duì)角陣。性質(zhì)2.8若、均為對(duì)稱矩陣，則也是對(duì)稱矩陣。性質(zhì)2.9設(shè)，，則，.性質(zhì)2.10，則性質(zhì)2.11設(shè)，則rank()=rankrank.證明：設(shè)rank=，rank=.使對(duì)矩陣，必存在可逆矩陣，使，其中=.對(duì)矩陣，必存在可逆矩陣，使得，其中=.則由推論2.1知：.由性質(zhì)2.5知：、仍為可逆矩陣.∵矩陣乘以可逆矩陣后，其秩不變∴rank()=rank（）==rankrank定理2.2設(shè)是個(gè)線性無關(guān)的維列向量，是個(gè)線性無關(guān)的維列向量，則個(gè)維列向量()線性無關(guān)。反之，若向量組（)線性無關(guān)，則和均線性無關(guān).證明：令,則有rank=，rank=.∵∴()==.又∵是矩陣，∴是列滿秩矩陣,即的列向量組（）是線性無關(guān)的.反之，若列向量組（)是線性無關(guān)的，則是列滿秩的?！鄏ank()==rankrank.下證rank=，rank=.假設(shè)rank＜，則rank＞，這與已知矛盾.∴有rank=.同理，得：rank=.即、為列滿秩的矩陣.∴和是線性無關(guān)的.性質(zhì)2.12設(shè)為階矩陣，為階矩陣，則有相似于.性質(zhì)2.13設(shè)，則矩陣的Kronecker積的特征值、特征向量的性質(zhì)、推論及定理考慮由變量、組成的復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式.若分別為階方陣，我們考慮階矩陣.例如，，則.特別地，當(dāng)時(shí)，有.定理3.1設(shè)是階矩陣的特征值，為的對(duì)應(yīng)于的特征向量；是階矩陣的特征值，是的對(duì)應(yīng)于的特征向量，則個(gè)數(shù)()為的特征值，是對(duì)應(yīng)于的特征向量.證明：由知：.∴推論3.1的特征值是個(gè)值(),對(duì)應(yīng)的特征向量是().推論3.2的特征值是，其對(duì)應(yīng)的特征向量是().推論3.3(推論3.2的推廣)的特征值為，其對(duì)應(yīng)的特征向量為().定理3.2設(shè)的特征值為；的特征值,則.證明：（1）由性質(zhì)2.4知：，且，又由性質(zhì)2.12知：相似于，即,所以.（2）.定理3.3設(shè)是的特征向量，是的特征向量，則是的特征向量.證明：，由定理2.1得，定理3.4設(shè)，，則對(duì)于矩陣的Kronecker積也存在冪的定義.定義3.1記…，稱為Kronecker積的冪.設(shè)=，=，則.4、矩陣的Kronecker積的應(yīng)用4.1矩陣的行（列）展開的定義及其相關(guān)性質(zhì)定義4.1設(shè)=將的各行依次橫排得到維向量，稱為矩陣的行展開，記為；將的各列依次縱排得到維列向量稱為矩陣的列展開，記為，即很容易得到，定理4.1.1設(shè)，則（1）（2）推論4.1.1,則推論4.1.2設(shè)為階矩陣，為階矩陣，,則（1）.（2）.（3）.證明：(1)(2)(3)推論4.1.3設(shè)，則證明：接下來，我們就用矩陣Kronecker積和矩陣的行（列）展開概念相結(jié)合，看看它們?cè)趯?shí)際中的運(yùn)用。本小結(jié)我們主要研究經(jīng)常遇到的兩類特殊的線性矩陣方程：＋和，它們?cè)谙到y(tǒng)穩(wěn)定性、控制性問題中有著基本而廣泛的應(yīng)用.而這兩個(gè)方程又是型矩陣方程的特殊情況。4.2利用Kronecker積解決特殊的矩陣方程4.2.1型矩陣方程一般的線性矩陣方程可表示為：…（1）其中，為階矩陣，為階矩陣（）,均是已知矩陣，是未知矩陣.由上述方程我們可以構(gòu)造一個(gè)對(duì)應(yīng)的線性方程組（2）其中定理1矩陣是矩陣方程（1）的解的充要條件為是方程（2）的解.證明：對(duì)方程（1）施行列展開，得∴故（1）與（2）同解.例4.1求方程.其中,,解：.解方程（2）得4.2.2＋（3）型矩陣方程定理2方程（3）有唯一解的必要條件為：A和-B沒有相同的特征值.例4.2求解矩陣方程＋其中，解：設(shè)∴，則.得：，∴.4.2.3型矩陣方程定理3設(shè)的所有特征值具有負(fù)實(shí)部，則方程（3）有唯一解，且可以表示成定理4設(shè)則矩陣方程有唯一解的充要條件為：其中分別是的特征值。例4.3求矩陣方程的解，其中.解：由定理4知，方程有唯一解.令則原方程可化為因此由定理3知，4.3利用Kronecker積求一些特殊矩陣的特征值和特征向量例4.3.1求矩陣的特征值和特征向量.解：令,,通過計(jì)算我可以發(fā)現(xiàn).容易得到的特征值為1,2,3；的特征值為1,2.所以，求得的6個(gè)特征值為1,2,2,3,4,6；求出的對(duì)應(yīng)于1,2,3的特征向量分別為,；的對(duì)應(yīng)1,2的特征向量分別為.所以的對(duì)應(yīng)于1,2,2,3,4,6的特征向量為，,例4.3.2求矩陣的特征值及相應(yīng)的特征向量.解：令, 我們可計(jì)算得到.那么由推論3.2得，的6個(gè)特征值為2,3,3,4,4,5，對(duì)應(yīng)的特征向量如上例.小結(jié)總之，本文主要通過對(duì)矩陣Kronecke積定義、性質(zhì)和定理的深入研究，從而簡(jiǎn)化了部分特殊矩陣的特征值和特殊向量的求解過程，并對(duì)一階線性矩陣方程給出了一般求解方法。如何在二階及其以上矩陣方程中利用Kronecker積是一個(gè)新的研究問題。除此之外，Kronecker積還可以表示并表達(dá)模糊推理中關(guān)系矩陣，在研究空間計(jì)量、空間統(tǒng)計(jì)等理論問題中也有著重要的作用?！緟⒖嘉墨I(xiàn)】[1]史榮昌、魏豐.《矩陣分析》[M].北京理工大學(xué)出版社，2010[2]蘇育才、姜翠波、張躍輝.《矩陣?yán)碚摗穂M].科學(xué)出版社，2006[3]程云鵬.《矩陣論》[M].西北工業(yè)大學(xué)出版社，1991[4]陳公寧.《矩陣?yán)碚撆c應(yīng)用》[M].高等教育出版社，1990[5]董增福.《矩陣分析教程》[M].哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2003[6]李俊杰.《矩陣分析》[M].機(jī)械工業(yè)出版社，1995[7]張凱院.《矩陣論導(dǎo)教.導(dǎo)學(xué).導(dǎo)考》[M].西北工業(yè)大學(xué)出版社，2004[8]張禾瑞、赦炳新.高等代數(shù)[M]．5版，高等教育出版社，2007[9]徐仲