2023年普通高校招生統(tǒng)一考試（理數(shù)）

2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（新課標(biāo)I）

數(shù)學(xué)（理科）

一、選擇題共12小題。每小題5分，共60分。在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求

的一項。

1、已知集合A二｛小2—2x>0｝,B=｛x|一小VxV?。?，則（）

A、AAB=0B、AUB=RC、B^AD、A±B

2、若復(fù)數(shù)z滿足（3—4i）z=|4+3i|,則z的虛部為（）

44

zxZ\?

4(B)-(cJ4(-

A>xz5KZXD)5

3、為了解某地區(qū)的中小學(xué)生視力情況，擬從該地區(qū)的中小學(xué)生中抽取部分學(xué)生進行調(diào)查，事先已了解到

該地區(qū)小學(xué)、初中、高中三個學(xué)段學(xué)生的視力情況有較大差異，而男女生視力情況差異不大，在下面

的抽樣方法中，最合理的抽樣方法是（）

A、簡單隨機抽樣B、按性別分層抽樣C、按學(xué)段分層抽樣D、系統(tǒng)抽樣

22

4、已知雙曲線：=一與=1（?！?,。>0）的離心率為土，則的漸近線方程為

才b~2

11

y=+X

4-2--

5、運行如下程序框圖，如果輸入的1,3],則輸出s屬于

麗衿^入矍親斗^出為球

.[-3,4]」52].[43].[-2,5]

6、如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8cm,將一個球放在容

器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時測得水深為6cm,如果不計容器

的厚度，則球的體積為（）

A、苧城B、審而

7、設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的前“項和為S”，=—2,=0,=3,則=（）

A、3B,4C、5D、6

8、某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為

.16+8乃.8+8萬

.16+16%.8+16%

9、設(shè)m為正整數(shù)，（x+y>"'展開式的二項式系數(shù)的最大值為,俯視圖

（x+y）2'"i展開式的二項式系數(shù)的最大值為，若13=7,則=（）

A、5B、6C、7D、8

10、已知橢圓，+g=l（aM>0）的右焦點為尸（3,0）,過點F的直線交橢圓于A、B兩點。若AB的中點坐標(biāo)

為（1,-1）,則E的方程為)

A、打+*=lB、q+君=1C、蕓+太=1

11、已知函數(shù)=1一”+2%,“"°,若1I2，則的取值范圍是

ln(x+l),x>0

.(-℃,0].(-oo,l].[-2,1].[-2,0]

12、設(shè)△ABC”的三邊長分別為斯力",C"的面積為S””=1,2,3,…

,,.、.，_.CKIa”bnIa“E”,

若">ci，b\+ci—2?i>an+\—antbn+\—,c?+i-,則()

A、｛￡｝為遞減數(shù)列B、｛SJ為遞增數(shù)列

C、｛S2,i｝為遞增數(shù)列，｛&“｝為遞減數(shù)列

D、｛$2,1｝為遞減數(shù)列，｛S2“｝為遞增數(shù)列

二.填空題：本大題共四小題，每小題5分。

13、己知兩個單位向量”，b的夾角為60。，c=ta+(l-t)Z>,若"c=0,則u,

21

14、若數(shù)列｛｝的前n項和為S”=-a+-,則數(shù)列｛｝的通項公式是=.

3n3

15、設(shè)當(dāng)廣。時，函數(shù)/(x)=sinA—2cosx取得最大值，則cosO=

16、若函數(shù)=(1-/)(/+辦+勿的圖像關(guān)于直線=-2對稱，則的最大值是.

三.解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17、(本小題滿分12分)

如圖，在AABC中，ZABC=90°,AB=A/3,BC=1,P為△

ABC內(nèi)一點，ZBPC=90°

⑴若PB=1,求PA；

(2)若NAPB=150°,求tanNPBA

18、(本小題滿分12分)

如圖，三棱柱ABC-AIBIG中，CA=CB,AB=AA|,ZBAAi=60°.

(I)證明ABlAiC;

(II)若平面ABC_L平面AA|B|B,AB=CB=2,求直線AC與平面BB|C|C所成角的正弦值。

19、(本小題滿分12分)

一批產(chǎn)品需要進行質(zhì)量檢驗，檢驗方案是：先從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗，這4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品

的件數(shù)記為n。如果n=3,再從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗，若都為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過檢驗；如

果n=4,再從這批產(chǎn)品中任取1件作檢驗，若為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過檢驗；其他情況下，這批產(chǎn)

品都不能通過檢驗。

假設(shè)這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為50%,即取出的產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率都為，且各件產(chǎn)品是否為優(yōu)質(zhì)品相

互獨立

(1)求這批產(chǎn)品通過檢驗的概率；

(2)已知每件產(chǎn)品檢驗費用為100元，凡抽取的每件產(chǎn)品都需要檢驗，對這批產(chǎn)品作質(zhì)量檢驗所需

的費用記為X(單位：元)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望。

20.(本小題滿分12分)

已知圓：(x+l)2+y2=i,圓：&-1)2+卜2=9,動圓與外切并且與圓內(nèi)切，圓心的軌跡為曲線C.

(I)求C的方程；

(II)是與圓，圓都相切的一條直線，與曲線C交于A,B兩點，當(dāng)圓P的半徑最長時，求|AB|.

21.(本小題滿分共12分)

己知函數(shù)+奴+8，=e'(cx+"),若曲線y=/(x)和曲線y=g(x)都過點P(0,2),且在點P處有

相同的切線y=4x+2

(I)求，，，的值；(H)若》一2時，WZg(x),求的取值范圍。

請考生在第(22)、(23)、(24)三題中任選一題作答。注意：只能做所選定

C

的題目。如果多做，則按所做的第一個題目計分，作答時請用2B鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂

黑。

(22)(本小題滿分10分)選修4—1：幾何證明選講如圖，直線AB為圓的切線，切點為B,點C在

圓上，NABC的角平分線BE交圓于點E,DB垂直BE交圓于D。

(I)證明：DB=DC；

(II)設(shè)圓的半徑為1,BC=,延長CE交AB于點F,求4BCF外接圓的半徑。

x=4+5cos/,一

(23)(本小題10分)選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知曲線C,的參數(shù)方程為《（為參

3=5+5sinf

數(shù))，以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為夕=2sin。。

(I)把Ci的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程；

(II)求Ci與C2交點的極坐標(biāo)(P》0,0W。＜2"

(24)(本小題滿分10分)選修4—5：不等式選講

已知函數(shù)=|2x—l|+|2x+a|,=.

(I)當(dāng)=2時，求不等式〈的解集；

(II)設(shè)＞-1,且當(dāng)3,L)時，二求的取值范圍.

22

參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)

一、選擇題

1、【命題意圖】本題主要考查一元二次不等式解法、集合運算及集合間關(guān)系，是容易題.

【解析】A=(-,0)U(2,+),，AUB=R，故選B.

2、【命題意圖】本題主要考查復(fù)數(shù)的概念、運算及復(fù)數(shù)模的計算，是容易題.

|4+3i|_"2+32(3+旬_34.4

【解析】由題知=3-4z-(3-4z)(3+4z)-55/故z的虛部為一，故選D.

5

3、【命題意圖】本題主要考查分層抽樣方法，是容易題.

【解析】因該地區(qū)小學(xué)、初中、高中三個學(xué)段學(xué)生的視力情況有較大差異，故最合理的抽樣方法是按學(xué)

段分層抽樣，故選C.

4、【命題意圖】本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，是簡單題.

,c5c~ci"+b~.?.2=±_L,.?.的漸近線方程為y=±_Lx,

【解析】由題知，一二—,B|J—=—=------

a24a2a2a24a22

故選.

5、【命題意圖】本題主要考查程序框圖及分段函數(shù)值域求法，是簡單題.

【解析】有題意知，當(dāng)”[—1,1)時,5=3/G[-3,3),當(dāng)時，s=4f—產(chǎn)w[3,4],

二輸出s屬于[-3,4],故選.

6、【命題意圖】本題主要考查球的截面圓性質(zhì)、球的體積公式，是容易題.

【解析】設(shè)球的半徑為R，則由題知球被正方體上面截得圓的半徑為4,球心到截面

圓的距離為R-2,WiJ/?2=(7?-2)2+42,解得R=5,...球的體積為現(xiàn)巨普故

33

選A.

7、【命題意圖】本題主要考查等差數(shù)列的前n項和公式及通項公式，考查方程思想,

是容易題.

【解析】有題意知=皿4,勺)=0,；.=—=一(-)=一2,

2

=-=3,.?.公差=-=1,，3==—2+m，=5,故選C.

8、【命題意圖】本題主要考查簡單組合體的三視圖及簡單組合體體積公式,

是中檔題.

【解析】由三視圖知，該幾何體為放到的半個圓柱底面半徑為2高為4,上邊

放一個長為4寬為2高為2長方體，故其體積為1》X22X4+4X2X2

2

=16+8%，故選.

9、【命題意圖】本題主要考查二項式系數(shù)最大值及組合數(shù)公式，考查方程

思想，是容易題.

..c口口13x(2"/)!7x(2m+l)!

【解析】由題知=,=,..13=7,即---------=------------，俯視圖

m\m\(m+l)!^!

解得二6,故選B.

10、【命題意圖】本題主要考查橢圓中點弦的問題，是中檔題.

【解析】設(shè)4%,必),5(>2，丫2)，則石+“2=2,凹+為二―2,

22A*】

五+2L=1?②

/h2

①一②得(內(nèi)+/)(%-々)+(x+%)(y-為)=0

a2b2

??.=小/=一絲五土皂=匕，X=^-=-,：.^=~,又9=="—〃，解得=9,=18,.?.橢圓方

a

-x2Q(y+%)3-12a~2

程為---F2-=1,故選D.

189

11、【命題意圖】本題主要考查函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)范圍問題的解法，是難題。

—2x,x<0./口[x>0

【解析】??,||=〈，，由||2得，\9且《，

ln(x+l),x>0[x-2x>ax[ln(x+l)>ax

x<0

由,2可得。21一2,則2-2,排除A,B,

x-2x>ax

當(dāng)二1時，易證ln(x+l)<x對恒成立，故二1不適合，排除C,故選D.

12、【解析】B

二.填空題：

13、【命題意圖】本題主要考查平面向量的數(shù)量積，是容易題.

11

(解析]-b^[ta+(l-t)b]=ta^b+(l-t)b~0=—t-^-\-t-l——1-0,解得二.

22

14、【命題意圖】本題主要考查等比數(shù)列定義、通項公式及數(shù)列第n項與其前n項和的關(guān)系，是容易題.

21

【解析】當(dāng)=1時，==—〃]+—,解得=1,

313

212I22

當(dāng)22時，=S-Sr=_uH——(—uH—)=_ci—〃],即=-2a],

〃〃?3〃33〃—xi33"31n*

；.{}是首項為1,公比為一2的等比數(shù)列，.?.=(—2尸.

15、【命題意圖】本題主要考查逆用兩角和與差公式、誘導(dǎo)公式、及簡單三角函數(shù)的最值問題，是難題.

【解析】???二sinx-2cosx二石(去sinx-^^cosx)

令二^~,sin/—-2,,則二逐($吊了<：050+3抽℃0§工)二逐5抽(工+9),

177/

當(dāng)=2k兀+],kez,即=2公r+萬一9次￡z時，取最大值，此時=2Z乃+5-9,%￡z,

八，兀、275

=cos(2&乃+--(p}~——.

16、【命題意圖】本題主要考查函數(shù)的對稱性及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值，是難題.

【解析】由圖像關(guān)于直線=-2對稱，則

0=/(-1)=/(-3)=[1-(-3)2][(-3)2-3a+b],

0=/(I)=/(-5)=L1-(-5)2][(-5)2-5a+h],解得=8,=15,

.\=(1-X2)(X2+8X+15),

八%)=-2x(x2+8x+15)+(1-Y)(2%+8)=-4(/+6/+7x-2)

=-4(x+2)(x+2+逐)(x+2—逐)

當(dāng)e(-8,_2-白)u(-2,-2+后時,f'(x)>0,

,

當(dāng)e(-2-V5,-2)U(一2+石,+8)時，/(%)<o,

.?.在(-8,-2-75)單調(diào)遞增，在(-2-V5,-2)單調(diào)遞減，在(-2,-2+V5)單調(diào)遞增，在

(-2+>/5,+°°)單調(diào)遞減，故當(dāng)=-2-和=-2+時取極大值，/(-2-=/(-2+=16.

三.解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17、（本小題滿分12分）

【命題意圖】本題主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形及兩角

和與差公式，是容易題.

【解析】（I）由已知得，/PBC=,ZPBA=30°,在APBA中，由

117p-j

余弦定理得=3+上一2xVjx-cos30°=一，APA=—；

4242

（H）設(shè)/PBA=,由已知得，PB=,在4PBA中，由正弦定理得，——=一獨？一，化簡得,

sin150°sin（30°-a）

Gcosa=4sina,

tancc——,tanNPBA=—

44

18、（本小題滿分12分）

【命題意圖】本題主要考查空間線面、線線垂直的判定與性質(zhì)及線

面角的計算，考查空間想象能力、邏輯推論證能力，是容易題.

【解析】（I）取AB中點E,連結(jié)CE,,,

?.?AB=,AA44是正三角形,

/.±AB,VCA=CB,.\CE±AB,VC￡nAI￡,=E,；.AB_L面,

.,.AB±；6分

z

(II)由(I)知EC±AB,±AB,

又：面ABC_L面,面ABCC面=AB,

B\

面,AECl,x

y

A4

AEA,EC,兩兩相互垂直，以E為坐標(biāo)原點，的方向為軸正方向，

II為單位長度，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系。-肛z,

有題設(shè)知A(1,O,O),(0,,0),￡(0,0,)通(一1,0,0),貝1卜(1,0,),=有一1,0,),=(0,一，),9

分

設(shè)=(x,y,z)是平面CB與G的法向量，

n*BC=0[x+>j3z=0

則《，即《廣可取=(,1,-1),

n?BBt=0[x+J3y=0

Vio

..cos(n,A.C)--------：L—

'/1〃114cl丁

...直線AC與平面BBiGC所成角的正弦值為學(xué).……12分

19、(本小題滿分12分)

【解析】設(shè)第一次取出的4件產(chǎn)品中恰有3件優(yōu)質(zhì)品為事件A,第一次取出的4件產(chǎn)品中全為優(yōu)質(zhì)品為

事件B,第二次取出的4件產(chǎn)品都是優(yōu)質(zhì)品為事件C,第二次取出的1件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品為事件D,這批產(chǎn)品

通過檢驗為事件E,根據(jù)題意有E=(AB)U(CD),且AB與CD互斥，

(II)X的可能取值為400,500,800,并且

P(X=400)=l-C：(g)3xg—(g)4=E，P(X=500)=\,P(X=8OO)=C：(g)3xg=；,

/.X的分布列為

X400500800

111

P

16164

...10分

EX=400X—+500X—+800X...12分

16164

(20)(本小題滿分12分)

【解析】由已知得圓的圓心為(-1,0)，半徑=1,圓的圓心為(1,0),半徑=3.

設(shè)動圓的圓心為(，)，半徑為R.

(I)??,圓與圓外切且與圓內(nèi)切，.??|PM|+|PN|=(R+G+(與-R)F+[=4,

由橢圓的定義可知，曲線C是以M,N為左右焦點，場半軸長為2,短半軸長為的橢圓(左頂點除外)，其方程

(II)對于曲線C上任意一點(,),由于|PM|-|PN|=2R-2W2,，RW2,

當(dāng)且僅當(dāng)圓P的圓心為(2,0)時，R=2.

.?.當(dāng)圓P的半徑最長時，其方程為(x—2)2+/=4,

當(dāng)?shù)膬A斜角為時，則與軸重合，可得|AB|三

當(dāng)?shù)膬A斜角不為時，由￥1?知不平行軸，設(shè)與軸的交點為Q,則1型=內(nèi),可求得Q(-4,0),.?.設(shè)：

\QM\

y=&(x+4),由于圓M相切得/③右=1,解得6=±也.

Jl+產(chǎn)4

當(dāng)二乎時，將>=￥》+夜代入:+?=1甕*一2)并整理得7f+8x—8=0,解得J，5史,

IAB|-\/1+k~|%]—x,|=.

當(dāng)=一乎時，由圖形的對稱性可知|AB|=更，

1Q

綜上,|AB|=一或上B|=.

7

(21)(本小題滿分共12分)

【命題意圖】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線、函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系、函數(shù)最值，

考查運算求解能力及應(yīng)用意識,是中檔題.

【解析】(I)由已知得/(0)=2,g(0)=2J'(0)=4,g'(0)=4,

ffijf'M-2x+b,-ex(cx+d+c),：.=4,-2,-2,=2；...4分

(H)由(I)知，f(x)=x2+4x+2,g(x)=2e\x+l),

設(shè)函數(shù)=Ag(x)-/(x)=2左eXx+D-x?-4x-2(x>-2),

F\x)-2kex(x+2)-2x-4-2(x+2)(ke'-1),

有題設(shè)可得20,即，

令F'(x)=0得，=—In左，=一2,

(1)若l?A<e2,則一2<W0,.?.當(dāng)]€(—2,玉)時，V0,當(dāng)xe(x，+oo)時，>0,即在(一2,西)單調(diào)

遞減，在(知+8)單調(diào)遞增，故在=取最小值F(xJ,而尸(%)=2占+2-%；一4%一2=—%(％+2)20,

當(dāng)》一2時，20,即W淳(無)恒成立,

(2)若％=e?,則F(x)=2/(x+2)(ex-e2),

當(dāng)》一2時，F(xiàn)'(x)》0,...在(-2,+8)單調(diào)遞增，而"-2)=0,

當(dāng)》一2時,20,即當(dāng)炮(%)恒成立,

⑶若女〉e?,則尸(—2)=—2呢-2+2=-2e-2(k-??2)<0,

當(dāng)》一2時，WZg（x）不可能恒成立，

綜上所述，的取值范圍為[1,].

（22）（本小題滿分10分）選修4一1：幾何證明選講

【命題意圖】本題主要考查幾何選講的有關(guān)知識，是容易題.

【解析】（I）連結(jié)DE,交BC與點G

由弦切角定理得，ZABF=ZBCE,VZABE=ZCBE,.,.ZCBE=

BE=CE,

又?.?DB_LBE,；.DE是直徑，ZDCE=,由勾股定理可得DB=DC.

.?.BG=3.

(II)由(I)知，ZCDE-ZBDE,BD=DC,故DG是BC的中垂線,