指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性 高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊

指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

整數(shù)指數(shù)冪一、指數(shù)函數(shù)單元知識結(jié)構(gòu)有理數(shù)指數(shù)冪實數(shù)指數(shù)冪指數(shù)定義運算性質(zhì)指數(shù)函數(shù)指數(shù)型復(fù)合函數(shù)定義圖象、性質(zhì)定義性質(zhì)（2023新課標(biāo)Ⅰ卷4）設(shè)函數(shù)

在區(qū)間(0,1)單調(diào)遞減，則a的取值范圍是（

）A.(-∞,-2]B.[-2,0)C.(0,2]D.[2,+∞)對于復(fù)合函數(shù)y=f(g(x)),設(shè)t=g(x)在(a,b)上是單調(diào)函數(shù)，且y=f(t)在(g(a),g(b))或(g(b),g(a))上也是單調(diào)函數(shù)，那么y=f(g(x))在(a,b)上的單調(diào)性如下表所示：t=g(x)y=f(t)y=f(g(x))在(a,b)上增在(g(a),g(b)上增在(a,b)在(a,b)上增在(g(a),g(b)上減

在(a,b)在(a,b)上減在(g(b),g(a)上增

在(a,b)在(a,b)上減在(g(b),g(a)上減在(a,b)若一個函數(shù)是由多個簡單函數(shù)復(fù)合而成的，則此復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性由簡單函數(shù)中減函數(shù)的個數(shù)決定。若減函數(shù)有偶數(shù)個，則這個復(fù)合函數(shù)為

函數(shù)；若減函數(shù)有奇數(shù)個，則這個復(fù)合函數(shù)為

函數(shù)。增減減增增減二、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性同增異減小結(jié)：判斷y=f(g(x))單調(diào)性將復(fù)合函數(shù)分解成y=f(t)與t=g(x)分別確定y=f(t)與t=g(x)的單調(diào)性確定函數(shù)的定義域根據(jù)“同增異減”判斷y=f(g(x))單調(diào)性三、指數(shù)型復(fù)合函數(shù)

的單調(diào)性指數(shù)函數(shù)單調(diào)性指數(shù)型復(fù)合函數(shù)

的單調(diào)性當(dāng)a>1時，

在R上單調(diào)遞增當(dāng)a>1時若t=f(x)在(m,n)上單調(diào)遞增，則

在(f(m),f(n))上單調(diào)遞增，

在(m,n)上若t=f(x)在(p,q)上單調(diào)遞減，則

在(f(q),f(p))上單調(diào)遞增，

在(m,n)上當(dāng)0<a<1時，

在R上單調(diào)遞減當(dāng)0<a<1時若t=f(x)在(m,n)上單調(diào)遞增，則

在(f(m),f(n))上單調(diào)遞減，

在(m,n)上若t=f(x)在(p,q)上單調(diào)遞減，則

在(f(q),f(p))上單調(diào)遞減，

在(m,n)上小結(jié)：相同相反判斷單調(diào)性單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞減單調(diào)遞增a>1

0<a<1

與t=f(x)單調(diào)性與t=f(x)單調(diào)性相同相反判斷單調(diào)性a>1

0<a<1

與t=f(x)單調(diào)性與t=f(x)單調(diào)性四、例題分析例1、判斷下列函數(shù)的單調(diào)性（1）

（2）

（3）

（4）例2、函數(shù)

的單調(diào)遞增區(qū)間為

，單調(diào)遞減區(qū)間為

。解：定義域為x∈R∵a=2>1∴原函數(shù)與t=f(x)=單調(diào)性相同又t=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，1）∴原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，1）變式、函數(shù)

的單調(diào)遞增區(qū)間為

，單調(diào)遞減區(qū)間為

。解：定義域為x∈R∵a=<1∴原函數(shù)與t=f(x)=單調(diào)性相反又t=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，1）∴原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，1)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+∞)例3、（1）已知函數(shù)

單調(diào)遞增區(qū)間是[2,+∞)，則a的取值是

。

（2）已知函數(shù)

在[2,+∞)上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是

。解：（1）定義域為x∈R∵底數(shù)a=2>1∴原函數(shù)與t=f(x)=單調(diào)性相同又t=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[,+∞)∴原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是[,+∞)∴=2即a=4（2）定義域為x∈R∵底數(shù)a=2>1∴原函數(shù)與t=f(x)=單調(diào)性相同又t=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[,+∞)∴原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是[,+∞)∴[2,+∞)[,+∞)∴

≤2即a≤4（2023新課標(biāo)Ⅰ卷4）設(shè)函數(shù)

在區(qū)間(0,1)單調(diào)遞減，則a的取值范圍是（

）A.(-∞,-2]B.[-2,0)C.(0,2]D.[2,+∞)解：定義域為x∈R∵底數(shù)a=2>1∴原函數(shù)與t=g(x)=x(x-a)單調(diào)性相同又t=g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，)∴原函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是

（-∞，)∴(0,1)（-∞，)∴

≥1即a≥2五、小結(jié)判斷單調(diào)性a>1

0<a<1

與t=f(x)單調(diào)性相同與t=f(x)單調(diào)性相反方法1方法2方法3定義法同增異減思考題：已知函數(shù)

在區(qū)間(-1,2)上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是

.解：∵底數(shù)a=<1∴原函數(shù)與t=g(x)=單調(diào)性相反又t=g(x)=在區(qū)間(-1,2)上單調(diào)遞減(1)a=0時t=g(x)=-2x-3在區(qū)間(-1,2)上單調(diào)遞減符合題意(2)a>0時∵t=g(x)=在區(qū)間(-1,2)上單調(diào)遞減∴

≥2，又

a>0∴0<a≤1/2(3)a<0時∵t=g(x)=在區(qū)間(-1,2)上單調(diào)遞減∴

≤-1，又

a<0∴-1≤a<0綜上可知a∈[-1,1/2]1、函數(shù)

的單調(diào)遞增區(qū)間為

，單調(diào)遞減區(qū)間為

。2、函數(shù)

的單調(diào)遞減區(qū)間為

。3、函數(shù)

的單調(diào)遞增區(qū)間為

，單調(diào)遞減區(qū)間為

。4、若(a>0,a≠1)滿足f(1)=1/9，求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為

，單調(diào)遞減區(qū)間為

。

5、若函數(shù)

在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A.(-∞,-4]B.(-∞,-2]C.[-2，+∞）D.（-4，+∞）六、課后作業(yè)6、已知函數(shù)(a>0,a≠1)在(-∞,-1]上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是

。

7、已知函數(shù)(a>0,a≠1)在(1,3)上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是

。

8、已知函數(shù)

在區(qū)間(-∞,a]上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是

。

9、已知函數(shù)